√48 trông cồng kềnh. √75 cũng vậy. √200 cũng vậy. Nhưng 4√3, 5√3 và 10√2 thì gọn gàng, dễ nhìn, dễ tính. Điều kì diệu là cả hai cách viết đều chỉ cùng một con số — chỉ khác nhau ở chỗ một cách viết đã "dọn dẹp" xong, còn cách viết kia thì chưa. Việc dọn dẹp đó có tên là đưa thừa số ra ngoài dấu căn: bạn tìm trong số dưới dấu căn một thừa số là số chính phương, khai căn thừa số đó rồi đặt kết quả ra ngoài dấu căn. Bài viết này sẽ giúp bạn làm việc đó thành thạo — với số cụ thể, với biểu thức chứa chữ, và với cả những trường hợp có dấu giá trị tuyệt đối lẩn khuất bên trong.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai — mục 1. Đây là bài học nối tiếp Bài 8, nơi bạn đã học √(ab) = √a · √b và √(a/b) = √a / √b. Bài 9 dạy bạn dùng hai công thức đó để biến đổi biểu thức chứa căn: đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn, rồi đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh. Học xong bài này, bạn sẽ biết vì sao √48 = 4√3, vì sao √27 + √12 = 5√3, và vì sao mọi biểu thức chứa căn đều có thể viết về một dạng gọn duy nhất.
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: tìm số chính phương ẩn dưới dấu căn
Với b ≥ 0, ta có √(a²b) = |a|√b. Công thức này nói rằng nếu dưới dấu căn có một thừa số là bình phương của một số, bạn có thể khai căn thừa số đó rồi đặt kết quả ra ngoài dấu căn. Bạn hãy xem công thức này từ đâu mà có: √(a²b) = √(a²) · √b theo công thức khai căn một tích, mà √(a²) = |a| theo hằng đẳng thức ở Bài 7, nên √(a²b) = |a|√b. Ví dụ √48 = √(16 · 3) = √16 · √3 = 4√3. Ví dụ √75 = √(25 · 3) = 5√3. Ví dụ √200 = √(100 · 2) = 10√2. Trong mỗi ví dụ, bạn tách số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương với một số còn lại, rồi khai căn số chính phương đó ra ngoài.
Bạn hãy để ý điều kiện b ≥ 0 đi kèm công thức: thừa số còn lại dưới dấu căn phải không âm, vì √b chỉ tồn tại khi b ≥ 0. Còn a thì có thể là bất kì số thực nào — vì a² luôn không âm. Ví dụ √(9 · 5) = 3√5 với a = 3, b = 5. Ví dụ √((−4)² · 7) = |−4|√7 = 4√7 — ở đây a = −4 nên |a| = 4. Ví dụ √(25 · 2) = 5√2 với a = 5, b = 2. Khi a âm, dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả ra ngoài dấu căn là số dương — vì một căn bậc hai số học không bao giờ âm, và hệ số đứng trước dấu căn trong dạng rút gọn cũng phải là số dương.
Muốn đưa thừa số ra ngoài dấu căn, bạn làm đúng hai bước: bước một, phân tích số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương lớn nhất với một số còn lại; bước hai, khai căn số chính phương đó ra ngoài. Ví dụ √72: 72 = 36 · 2 nên √72 = 6√2. Ví dụ √98: 98 = 49 · 2 nên √98 = 7√2. Ví dụ √180: 180 = 36 · 5 nên √180 = 6√5. Ví dụ √300: 300 = 100 · 3 nên √300 = 10√3. Bạn hãy luyện cách tìm số chính phương lớn nhất mà một số chia hết cho: thử chia cho 100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4 theo thứ tự từ lớn đến bé — số nào chia hết đầu tiên thì đó là số cần tìm.
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn cũng dùng được cho biểu thức chứa chữ. Với x là biểu thức bất kì và y ≥ 0, ta có √(x²y) = |x|√y. Ví dụ √(9x²) với x ≥ 0: √(9x²) = 3x. Ví dụ √(9x²) với x < 0: √(9x²) = 3|x| = −3x. Ví dụ √(27a²b) với a ≥ 0, b ≥ 0: 27a²b = 9 · 3 · a² · b nên √(27a²b) = 3a√(3b). Ví dụ √(50x²y) với x < 0, y ≥ 0: √(50x²y) = 5|x|√(2y) = −5x√(2y). Khi làm việc với biểu thức chứa chữ, bạn nhớ xét dấu của biến để bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho đúng — đó là bước mà nhiều bạn hay quên nhất.
2. Vì sao có dấu giá trị tuyệt đối: |a| chứ không phải a
Dấu giá trị tuyệt đối trong công thức √(a²b) = |a|√b không phải là chi tiết trang trí — nó là điểm mấu chốt của cả công thức. Bạn hãy xem vì sao: √(a²b) là căn bậc hai số học nên luôn không âm. Còn a thì có thể âm. Nếu bạn viết √(a²b) = a√b mà a < 0 thì vế phải âm, vế trái không âm — hai vế không thể bằng nhau. Ví dụ √((−3)² · 5) = √(9 · 5) = 3√5. Nếu bạn viết (−3)√5 thì kết quả là số âm, sai hoàn toàn. Dấu giá trị tuyệt đối sửa lỗi đó: |−3| = 3 nên √((−3)² · 5) = 3√5. Bạn hãy nhớ: hệ số đứng trước dấu căn trong dạng rút gọn luôn là số không âm.
Bạn hãy xem dấu giá trị tuyệt đối hoạt động như thế nào với biểu thức chứa chữ. Ví dụ rút gọn √(4x²) với x < 0: √(4x²) = √4 · √x² = 2|x| = −2x vì x < 0 nên |x| = −x. Ví dụ rút gọn √(25a²) với a ≥ 0: √(25a²) = 5a vì |a| = a. Ví dụ rút gọn √(x² − 6x + 9) với x < 3: x² − 6x + 9 = (x − 3)² nên √(x² − 6x + 9) = |x − 3| = 3 − x vì x − 3 < 0. Trong mỗi ví dụ, bạn làm đúng hai bước: đưa biểu thức về dạng √(a²b) rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo dấu của a. Nếu đề bài không cho biết dấu của a thì bạn cứ để nguyên |a| — đó cũng là một đáp án đúng và đầy đủ.
Một lỗi rất hay gặp là bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi a là một biểu thức chứa chữ mà bạn chưa biết dấu. Ví dụ rút gọn √(a² · 3) thành a√3 — sai nếu a < 0. Đáp án đúng là |a|√3. Ví dụ rút gọn √(x²y) thành x√y — sai nếu x < 0. Đáp án đúng là |x|√y. Bạn hãy tập thói quen: mỗi lần đưa một thừa số chứa chữ ra ngoài dấu căn, bạn hãy viết dấu giá trị tuyệt đối trước, rồi mới xét dấu để bỏ nó. Thói quen này sẽ cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai trong các bài kiểm tra.
Bạn hãy đối chiếu công thức này với hằng đẳng thức √(A²) = |A| ở Bài 7: thực ra công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn chính là hằng đẳng thức đó kết hợp với công thức khai căn một tích. √(a²b) = √(a²) · √b = |a|√b. Khi nào bạn cũng thấy được mối liên hệ này thì bạn đã hiểu công thức ở mức sâu nhất: nó không phải là một công thức mới hoàn toàn, mà là sự kết hợp của hai công thức cũ. Và đó cũng là cách toán học vận hành: những công thức mới thường chỉ là những công thức cũ ghép lại với nhau.
3. Rút gọn biểu thức chứa căn: đưa ra ngoài rồi cộng trừ các căn đồng dạng
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn là bước chuẩn bị bắt buộc cho mọi phép cộng trừ căn thức. Hai căn thức chỉ cộng trừ được với nhau khi chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn — gọi là hai căn thức đồng dạng. Ví dụ √50 và √8 chưa đồng dạng, nhưng sau khi rút gọn thành 5√2 và 2√2 thì chúng đồng dạng và trừ được: √50 − √8 = 3√2. Ví dụ √27 và √12 chưa đồng dạng, nhưng sau khi rút gọn thành 3√3 và 2√3 thì chúng đồng dạng và cộng được: √27 + √12 = 5√3. Ví dụ √45 và √20 rút gọn thành 3√5 và 2√5 nên cộng được: √45 + √20 = 5√5. Bạn hãy nhớ quy trình: rút gọn từng căn về dạng gọn nhất trước, rồi mới cộng trừ những căn có cùng phần dưới dấu căn.
Bạn hãy xem cách rút gọn một biểu thức dài hơn. Ví dụ rút gọn 2√18 + 3√8 − √50: rút gọn từng căn — √18 = 3√2 nên 2√18 = 6√2; √8 = 2√2 nên 3√8 = 6√2; √50 = 5√2 — rồi cộng trừ: 6√2 + 6√2 − 5√2 = 7√2. Ví dụ rút gọn √75 − 2√27 + √12: √75 = 5√3; 2√27 = 2 · 3√3 = 6√3; √12 = 2√3 — kết quả: 5√3 − 6√3 + 2√3 = √3. Ví dụ rút gọn 3√20 + √45 − 2√5: 3√20 = 3 · 2√5 = 6√5; √45 = 3√5 — kết quả: 6√5 + 3√5 − 2√5 = 7√5. Bạn hãy làm chậm rãi: rút gọn từng căn một, viết kết quả ra giấy nháp, rồi mới cộng trừ.
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn còn giúp bạn so sánh các căn thức. Muốn so sánh 3√5 và 2√11, bạn đưa cả hai về dạng căn của một số: 3√5 = √45, 2√11 = √44, mà 45 > 44 nên 3√5 > 2√11. Muốn so sánh 5√2 và 7, bạn viết 5√2 = √50 và 7 = √49, mà 50 > 49 nên 5√2 > 7. Muốn sắp xếp 2√3, 3√2 và √10 theo thứ tự tăng dần: 2√3 = √12, 3√2 = √18, √10 = √10 — thứ tự là √10 < 2√3 < 3√2. Cách làm này — đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh hai số dưới dấu căn — sẽ được học kĩ ở mục đưa thừa số vào trong dấu căn, nhưng bạn đã có thể dùng nó ngay từ bây giờ.
Bạn hãy nhớ một điều: dạng rút gọn của một căn thức là duy nhất. √72 chỉ có một dạng gọn nhất là 6√2, không phải 3√8 hay 2√18. √48 chỉ có một dạng gọn nhất là 4√3. √180 chỉ có một dạng gọn nhất là 6√5. Tính duy nhất này rất quan trọng: khi hai bạn làm cùng một bài rút gọn mà ra hai đáp án khác nhau thì chắc chắn có một bạn chưa rút gọn đến cùng — hoặc một bạn đã rút gọn sai. Bạn hãy kiểm tra lại số dưới dấu căn: nếu nó còn chia hết cho 4, 9, 16 hay 25 thì bạn chưa rút gọn xong.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tính √48.
Đây là ví dụ gốc của bài. Tách 48 thành tích của số chính phương lớn nhất với một số còn lại: 48 = 16 · 3.
Áp dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: √48 = √(16 · 3) = √16 · √3.
√16 = 4 nên √48 = 4√3.
Vậy √48 = 4√3 ≈ 6,928. Dạng 4√3 vừa gọn vừa chính xác.
Ví dụ 2 (cộng trừ căn thức): Tính √27 + √12.
Rút gọn từng căn thức về dạng gọn nhất: √27 = √(9 · 3) = 3√3; √12 = √(4 · 3) = 2√3.
Thay vào biểu thức: √27 + √12 = 3√3 + 2√3.
Hai căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn là √3 nên cộng được: 3√3 + 2√3 = 5√3.
Vậy √27 + √12 = 5√3.
Ví dụ 3 (căn thức chứa chữ): Rút gọn √(27x²) với x ≥ 0 và √(50a²) với a < 0.
√(27x²) = √(9 · 3 · x²) = √9 · √3 · √x² = 3 · √3 · |x| = 3x√3 vì x ≥ 0.
√(50a²) = √(25 · 2 · a²) = √25 · √2 · √a² = 5 · √2 · |a| = −5a√2 vì a < 0 nên |a| = −a.
Bạn hãy để ý hai ví dụ cho hai kết quả khác nhau về dấu: x ≥ 0 thì hệ số là 3x, còn a < 0 thì hệ số là −5a — cả hai hệ số đều là số dương khi thay giá trị cụ thể của biến vào.
Ví dụ 4 (rút gọn biểu thức dài): Rút gọn 2√18 + 3√8 − √50.
Rút gọn từng căn thức: √18 = 3√2 nên 2√18 = 6√2; √8 = 2√2 nên 3√8 = 6√2; √50 = 5√2.
Thay vào biểu thức: 2√18 + 3√8 − √50 = 6√2 + 6√2 − 5√2.
Ba căn thức đều chứa √2 nên cộng trừ được: 6√2 + 6√2 − 5√2 = 7√2.
Vậy 2√18 + 3√8 − √50 = 7√2. Khi cần kiểm tra lại các phép nhân số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi đưa thừa số chứa chữ ra ngoài.
Nhiều bạn viết √(x² · 3) = x√3. Sai nếu x < 0 — đáp án đúng là |x|√3. Cách tránh: mỗi lần đưa một thừa số chứa chữ ra ngoài dấu căn, bạn hãy viết dấu giá trị tuyệt đối trước, rồi mới xét dấu của biến để bỏ nó.
Lỗi 2: Tách số chính phương chưa lớn nhất rồi dừng lại.
Nhiều bạn viết √72 = √(9 · 8) = 3√8 rồi dừng lại, tưởng đã xong. Nhưng √8 = 2√2 nên √72 = 6√2 mới là dạng gọn nhất. Cách tránh: sau khi rút gọn, bạn hãy kiểm tra lại số dưới dấu căn — nếu nó còn chia hết cho 4, 9, 16 hay 25 thì bạn chưa rút gọn xong.
Lỗi 3: Cộng trừ các căn thức chưa đồng dạng.
Nhiều bạn viết √27 + √12 = √39 — cộng hai số dưới dấu căn với nhau. Sai hoàn toàn: phép cộng căn thức không làm như vậy. Cách tránh: bạn phải rút gọn từng căn về dạng gọn nhất trước, rồi chỉ cộng những căn có cùng biểu thức dưới dấu căn — √27 + √12 = 3√3 + 2√3 = 5√3.
Lỗi 4: Đưa thừa số ra ngoài mà quên khai căn.
Nhiều bạn viết √48 = 16√3 — đưa 16 ra ngoài mà quên lấy căn bậc hai của 16. Cách tránh: bạn hãy nhớ thừa số đưa ra ngoài là căn bậc hai của số chính phương, không phải chính số đó — √16 = 4 nên √48 = 4√3, không phải 16√3.
Lỗi 5: Áp dụng công thức khi thừa số còn lại âm.
Nhiều bạn viết √((−4)² · (−3)) = 4√(−3). Sai: √(−3) không tồn tại. Cách tránh: trước khi dùng công thức √(a²b) = |a|√b, bạn hãy kiểm tra b ≥ 0. Với √((−4)² · (−3)) = √(−48) thì biểu thức không xác định trong tập số thực — đừng cố rút gọn.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tách số chính phương lớn nhất, đừng quên dấu giá trị tuyệt đối, và chỉ cộng trừ những căn có cùng biểu thức dưới dấu căn.
Câu 1: √75 bằng bao nhiêu?
A. 5√3
B. 3√5
C. 25√3
D. 15
Câu 2: √200 bằng bao nhiêu?
A. 2√10
B. 10√2
C. 20√2
D. 100√2
Câu 3: √98 bằng bao nhiêu?
A. 2√7
B. 7√2
C. 14√2
D. 49√2
Câu 4: 3√8 bằng bao nhiêu?
A. 3√2
B. 6√2
C. 12√2
D. 24
Câu 5: √27 + √12 bằng bao nhiêu?
A. 2√3
B. 3√3
C. 5√3
D. √39
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | B | B | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (5√3) đúng: 75 = 25 · 3 nên √75 = √25 · √3 = 5√3. Đáp án B (3√5) sai vì 3√5 = √45, không phải √75. Đáp án C (25√3) sai vì bạn đã đưa 25 ra ngoài mà quên lấy căn bậc hai của 25 — √25 = 5 chứ không phải 25. Đáp án D (15) sai vì 15 = √225, không phải √75.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (10√2) đúng: 200 = 100 · 2 nên √200 = √100 · √2 = 10√2. Đáp án A (2√10) sai vì 2√10 = √40, không phải √200. Đáp án C (20√2) sai vì (20√2)² = 800, không phải 200. Đáp án D (100√2) sai vì bạn đã đưa 100 ra ngoài mà quên lấy căn bậc hai của 100 — √100 = 10 chứ không phải 100.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (7√2) đúng: 98 = 49 · 2 nên √98 = √49 · √2 = 7√2. Đáp án A (2√7) sai vì 2√7 = √28, không phải √98. Đáp án C (14√2) sai vì (14√2)² = 392, không phải 98. Đáp án D (49√2) sai vì bạn đã đưa 49 ra ngoài mà quên lấy căn bậc hai của 49 — √49 = 7 chứ không phải 49.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (6√2) đúng: √8 = 2√2 nên 3√8 = 3 · 2√2 = 6√2. Đáp án A (3√2) sai vì bạn đã viết √8 = √2 — quên mất √8 = 2√2. Đáp án C (12√2) sai vì 12√2 = 3 · 4√2, mà √8 = 2√2 chứ không phải 4√2. Đáp án D (24) sai vì 24 = 3 · 8 là tích của hệ số với số dưới dấu căn, không phải kết quả rút gọn.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (5√3) đúng: √27 = 3√3 và √12 = 2√3 nên √27 + √12 = 3√3 + 2√3 = 5√3. Đáp án A (2√3) sai vì 2√3 chỉ là √12, bạn đã bỏ mất √27. Đáp án B (3√3) sai vì 3√3 chỉ là √27, bạn đã bỏ mất √12. Đáp án D (√39) sai vì phép cộng căn thức không cộng hai số dưới dấu căn với nhau — √27 + √12 không bằng √(27 + 12).
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao phải đưa thừa số ra ngoài dấu căn?
Đáp: Vì dạng rút gọn vừa ngắn gọn, vừa cho thấy cấu trúc của con số, và vừa là điều kiện để cộng trừ các căn thức với nhau. Ví dụ √50 − √8 chỉ trừ được sau khi rút gọn thành 5√2 − 2√2. Nếu không rút gọn trước, bạn sẽ không bao giờ thấy hai căn thức đó có điểm chung.
Hỏi: Làm sao để biết mình đã rút gọn đến cùng chưa?
Đáp: Bạn hãy kiểm tra số dưới dấu căn — nếu nó còn chia hết cho 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 hay 100 thì bạn chưa rút gọn xong. Ví dụ 3√8 chưa gọn vì 8 chia hết cho 4, còn 6√2 đã gọn vì 2 không chia hết cho bất kì số chính phương nào lớn hơn 1.
Hỏi: √(a²b) = |a|√b có đúng khi a âm không?
Đáp: Có, chính vì có dấu giá trị tuyệt đối nên công thức đúng với mọi số thực a. Ví dụ √((−4)² · 7) = |−4|√7 = 4√7. Nếu bạn viết a√b thay vì |a|√b thì công thức chỉ đúng khi a ≥ 0. Bạn hãy luôn viết dấu giá trị tuyệt đối trước rồi mới xét dấu.
Hỏi: Đưa thừa số ra ngoài khác gì đưa thừa số vào trong?
Đáp: Đưa ra ngoài là tách một số chính phương khỏi dấu căn để rút gọn — ví dụ √48 = 4√3. Đưa vào trong là bình phương hệ số rồi nhân vào dưới dấu căn để so sánh — ví dụ 3√5 = √45. Hai phép biến đổi ngược nhau, sẽ được học kĩ ở bài đưa thừa số vào trong dấu căn.
Hỏi: Công thức này dùng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Đưa thừa số ra ngoài là bước đầu tiên để rút gọn mọi biểu thức chứa căn, cộng trừ các căn thức, và giải phương trình chứa căn. Nếu muốn ôn lại công thức khai căn một tích, bạn hãy xem lại bài liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân. Nếu muốn ôn lại hằng đẳng thức √(A²) = |A|, bạn hãy xem lại bài căn bậc hai và căn thức bậc hai.
8. Kết luận
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn chỉ gói gọn trong một công thức: √(a²b) = |a|√b với b ≥ 0. Công thức này là sự kết hợp của hai công thức bạn đã học: khai căn một tích và hằng đẳng thức √(A²) = |A|. Muốn rút gọn một căn thức, bạn tìm số chính phương lớn nhất ẩn dưới dấu căn, khai căn nó ra ngoài, và đừng quên dấu giá trị tuyệt đối khi thừa số chứa chữ. Sau khi rút gọn, mọi căn thức đều về một dạng gọn duy nhất — và chỉ lúc đó bạn mới cộng trừ hay so sánh chúng với nhau được. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang mục tiếp theo của Bài 9: đưa thừa số vào trong dấu căn — phép biến đổi ngược lại, dùng để so sánh các căn thức với nhau.