Bạn bấm máy tính: √72 bằng bao nhiêu? Máy hiện 8,485281374... — một dãy số thập phân dài vô tận, chẳng gợi cho bạn điều gì. Nhưng một bạn khác viết √72 = 6√2 rồi dừng bút. Cùng một con số, hai cách viết khác nhau một trời một vực: cách viết 6√2 vừa ngắn gọn, vừa cho thấy cấu trúc của con số — 72 bằng 36 nhân 2, và 36 là một số chính phương. Bí quyết để biến √72 thành 6√2 nằm trong một công thức rất ngắn: √(ab) = √a · √b. Bài viết này sẽ giúp bạn dùng thành thạo công thức đó — khai căn một tích, nhân hai căn bậc hai với nhau, và rút gọn bất kì căn thức nào thành dạng gọn nhất.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia — tiết 1. Đây là bài học nối tiếp Bài 7, nơi bạn đã học √a xác định khi a ≥ 0 và hằng đẳng thức √(A²) = |A|. Bài 8 dạy bạn một điều mới: dấu căn có thể "tách" qua phép nhân — căn của một tích bằng tích các căn — và ngược lại, tích của hai căn bằng căn của tích. Học xong bài này, bạn sẽ biết vì sao √72 = 6√2, vì sao √3 · √12 = 6, và vì sao mọi căn thức đều có thể rút gọn về một dạng gọn đẹp duy nhất.
1. Khai căn bậc hai của một tích: tách tích thành tích các căn
Với a, b là các số không âm, ta có √(ab) = √a · √b. Công thức này nói rằng căn bậc hai của một tích bằng tích các căn bậc hai của từng thừa số. Bạn hãy kiểm tra bằng số: √(36 · 2) = √72, còn √36 · √2 = 6 · √2 = 6√2. Hai vế bằng nhau — và vế phải gọn hơn hẳn vế trái. Điều kiện a, b ≥ 0 là bắt buộc: √a và √b chỉ tồn tại khi a và b không âm. Ví dụ √(9 · 16) = √9 · √16 = 3 · 4 = 12. Ví dụ √(25 · 3) = √25 · √3 = 5√3. Ví dụ √(4 · 7) = √4 · √7 = 2√7.
Bạn hãy để ý ý nghĩa thực tế của công thức này: nó cho phép bạn "bẻ nhỏ" một căn thức cồng kềnh thành những căn thức đơn giản hơn. Muốn tính √72, bạn tách 72 thành 36 · 2 — vì 36 là số chính phương lớn nhất mà 72 chia hết cho — rồi viết √72 = √36 · √2 = 6√2. Muốn tính √200, bạn tách 200 thành 100 · 2 rồi viết √200 = 10√2. Muốn tính √98, bạn tách 98 thành 49 · 2 rồi viết √98 = 7√2. Kĩ năng quan trọng nhất ở đây là tách số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương với một số còn lại — số chính phương càng lớn thì kết quả càng gọn.
Công thức khai căn một tích còn mở rộng được cho nhiều thừa số. Với a, b, c là các số không âm, ta có √(abc) = √a · √b · √c. Ví dụ √(4 · 9 · 5) = √4 · √9 · √5 = 2 · 3 · √5 = 6√5. Ví dụ √(16 · 25 · 2) = 4 · 5 · √2 = 20√2. Bạn cứ tách từng thừa số là số chính phương ra khỏi dấu căn, nhân các kết quả lại với nhau, phần còn lại giữ nguyên dưới dấu căn. Công thức này cũng dùng được cho biểu thức chứa chữ: √(x²y) = √x² · √y = |x|√y với y ≥ 0 — và ở đây bạn lại gặp dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc từ Bài 7.
Một ứng dụng nữa của công thức này là so sánh các căn bậc hai. Muốn so sánh √50 và 7, bạn viết √50 = 5√2 ≈ 5 · 1,414 = 7,07 > 7. Muốn so sánh 3√5 và 2√11, bạn đưa cả hai về dạng căn của một số: 3√5 = √45, 2√11 = √44, mà 45 > 44 nên 3√5 > 2√11. Cách làm này — đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh hai số dưới dấu căn — sẽ được học kĩ ở bài đưa thừa số vào trong dấu căn, nhưng bạn đã có thể dùng nó ngay từ bây giờ nhờ công thức khai căn một tích.
2. Nhân hai căn bậc hai: gộp tích thành căn của tích
Công thức √(ab) = √a · √b đọc từ phải sang trái cho bạn quy tắc nhân hai căn bậc hai: với a, b không âm, √a · √b = √(ab). Muốn nhân hai căn bậc hai, bạn nhân hai biểu thức dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn của tích đó. Ví dụ √3 · √12 = √(3 · 12) = √36 = 6. Ví dụ √5 · √20 = √100 = 10. Ví dụ √2 · √8 = √16 = 4. Bạn thấy không, những phép nhân trông rất "xấu" — √3 nhân √12 — lại cho kết quả là những số nguyên đẹp đẽ. Đó là vì tích của hai biểu thức dưới dấu căn thường là một số chính phương.
Quy tắc nhân hai căn bậc hai cũng mở rộng cho biểu thức chứa chữ. Với A, B là các biểu thức không âm, ta có √A · √B = √(AB). Ví dụ √(x) · √(x) = √(x²) = |x| = x với x ≥ 0 — và đây chính là công thức (√x)² = x mà bạn đã học ở Bài 7, viết dưới một dạng khác. Ví dụ √2x · √8x = √(16x²) = 4|x| = 4x với x ≥ 0. Khi nhân các căn thức chứa chữ, bạn nhớ kiểm tra điều kiện của biến để bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho đúng.
Bạn hãy chú ý một điểm tinh tế: công thức nhân hai căn bậc hai chỉ đúng khi cả hai biểu thức dưới dấu căn đều không âm. Viết √(−4) · √(−9) = √36 = 6 là sai hoàn toàn, vì √(−4) và √(−9) đều không tồn tại. Trong tập số thực, bạn không bao giờ được viết căn bậc hai của một số âm — dù là để nhân, chia hay cộng trừ. Đây là lỗi mà nhiều bạn mắc phải khi làm bài tập biến đổi biểu thức: thấy công thức thì áp dụng mà quên kiểm tra điều kiện.
Nhân các căn bậc hai còn là bước trung gian để rút gọn biểu thức. Ví dụ rút gọn √18 · √2: bạn nhân hai biểu thức dưới dấu căn được √36 = 6. Ví dụ rút gọn 2√3 · 3√5: bạn nhân các hệ số ngoài dấu căn với nhau (2 · 3 = 6) và nhân các căn với nhau (√3 · √5 = √15), kết quả là 6√15. Ví dụ rút gọn √a · √a với a ≥ 0: kết quả là √(a²) = a. Bạn hãy tập thói quen: gặp tích của các căn thì gộp lại thành một căn, gặp căn của một tích thì tách ra — hai chiều của cùng một công thức, dùng chiều nào tiện hơn thì dùng chiều đó.
3. Rút gọn căn thức về dạng gọn nhất: tách số chính phương lớn nhất
Một căn thức được gọi là đã rút gọn về dạng gọn nhất khi biểu thức dưới dấu căn không còn thừa số nào là số chính phương lớn hơn 1. Ví dụ √72 chưa gọn vì 72 = 36 · 2, còn 6√2 đã gọn vì 2 không chia hết cho bất kì số chính phương nào lớn hơn 1. Ví dụ √48 chưa gọn vì 48 = 16 · 3, còn 4√3 đã gọn. Ví dụ √45 chưa gọn vì 45 = 9 · 5, còn 3√5 đã gọn. Muốn rút gọn một căn thức, bạn làm đúng hai bước: bước một, phân tích số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương lớn nhất với một số còn lại; bước hai, khai căn số chính phương đó ra ngoài dấu căn.
Bạn hãy luyện cách tìm số chính phương lớn nhất mà một số chia hết cho. Với 72: các số chính phương nhỏ hơn 72 là 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 — trong đó 36 là số lớn nhất mà 72 chia hết cho (72 = 36 · 2). Với 200: số chính phương lớn nhất mà 200 chia hết cho là 100 (200 = 100 · 2). Với 300: 300 = 100 · 3, số chính phương lớn nhất là 100. Với 80: 80 = 16 · 5, số chính phương lớn nhất là 16. Mẹo nhỏ: bạn hãy thử chia số đó cho 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 theo thứ tự từ lớn đến bé — số nào chia hết đầu tiên thì đó là số chính phương lớn nhất cần tìm.
Rút gọn căn thức chứa chữ cũng làm theo đúng hai bước đó, chỉ thêm một việc là xử lí dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ rút gọn √(27x²) với x ≥ 0: 27x² = 9 · 3 · x² nên √(27x²) = √9 · √3 · √x² = 3 · √3 · x = 3x√3. Ví dụ rút gọn √(50a²) với a < 0: √(50a²) = √25 · √2 · √a² = 5 · √2 · |a| = −5a√2 vì a < 0 nên |a| = −a. Ví dụ rút gọn √(12x³) với x ≥ 0: 12x³ = 4 · 3 · x² · x nên √(12x³) = 2x√(3x). Bạn hãy làm chậm rãi từng bước: tách thừa số chính phương, khai căn từng thừa số, rồi nhân các kết quả lại.
Vì sao phải rút gọn căn thức về dạng gọn nhất? Vì hai căn thức chỉ "nhìn giống nhau" và cộng trừ được với nhau khi chúng đã ở dạng gọn nhất và có cùng biểu thức dưới dấu căn. Ví dụ √50 − √8 = 5√2 − 2√2 = 3√2 — bạn chỉ cộng trừ được sau khi rút gọn cả hai về dạng chứa √2. Ví dụ √27 + √12 = 3√3 + 2√3 = 5√3. Nếu không rút gọn trước, bạn sẽ không bao giờ thấy √50 và √8 có điểm chung là √2. Rút gọn căn thức là bước chuẩn bị bắt buộc cho mọi phép cộng trừ căn thức ở bài sau.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tính √72.
Đây là ví dụ gốc của bài. Tách 72 thành tích của số chính phương lớn nhất với một số còn lại: 72 = 36 · 2.
Áp dụng công thức khai căn một tích: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2.
√36 = 6 nên √72 = 6√2.
Vậy √72 = 6√2 ≈ 8,485. Dạng 6√2 vừa gọn vừa chính xác, còn 8,485 chỉ là giá trị gần đúng.
Ví dụ 2 (nhân hai căn): Tính √3 · √12.
Áp dụng quy tắc nhân hai căn bậc hai: √3 · √12 = √(3 · 12) = √36.
√36 = 6.
Vậy √3 · √12 = 6.
Bạn cũng có thể tính theo cách khác: √12 = 2√3 nên √3 · √12 = √3 · 2√3 = 2 · (√3)² = 2 · 3 = 6. Hai cách cho cùng một kết quả.
Ví dụ 3 (rút gọn biểu thức): Rút gọn √50 − √8.
Rút gọn từng căn thức về dạng gọn nhất: √50 = √(25 · 2) = 5√2; √8 = √(4 · 2) = 2√2.
Thay vào biểu thức: √50 − √8 = 5√2 − 2√2.
Hai căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn là √2 nên trừ được: 5√2 − 2√2 = 3√2.
Vậy √50 − √8 = 3√2.
Ví dụ 4 (căn thức chứa chữ): Rút gọn √(27x²) với x ≥ 0.
Tách biểu thức dưới dấu căn: 27x² = 9 · 3 · x².
Áp dụng công thức khai căn một tích: √(27x²) = √9 · √3 · √x².
√9 = 3 và √x² = |x| = x vì x ≥ 0.
Vậy √(27x²) = 3x√3. Khi cần kiểm tra lại các phép nhân số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Tách √72 thành √8 · √9 rồi viết √72 = 2√2 · 3 = 6√2 — đúng kết quả nhưng tách chưa tối ưu.
Cách tách này không sai, nhưng bạn phải rút gọn thêm một bước nữa: √8 = 2√2. Cách tránh: ngay từ đầu, bạn hãy tách số dưới dấu căn thành tích của số chính phương LỚN NHẤT với một số còn lại — 72 = 36 · 2 — để chỉ cần một bước là xong.
Lỗi 2: Viết √(a + b) = √a + √b — "tách" căn qua phép cộng.
Nhiều bạn thấy công thức √(ab) = √a · √b thì suy ra √(a + b) = √a + √b. Hoàn toàn sai: phép khai căn chỉ "tách" qua phép nhân và phép chia, không tách qua phép cộng hay phép trừ. Ví dụ √(9 + 16) = √25 = 5, còn √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức chỉ có dấu nhân ở giữa — thấy dấu cộng hay dấu trừ dưới dấu căn thì đừng tách.
Lỗi 3: Áp dụng công thức khi thừa số âm.
Nhiều bạn viết √((-4) · (−9)) = √(−4) · √(−9). Sai: √(−4) và √(−9) đều không tồn tại. Cách tránh: trước khi tách √(ab) thành √a · √b, bạn hãy kiểm tra a ≥ 0 và b ≥ 0. Với √((-4) · (−9)) = √36 = 6, bạn tính tích trước rồi mới khai căn — đừng tách khi thừa số âm.
Lỗi 4: Quên rút gọn đến cùng.
Nhiều bạn viết √72 = √(9 · 8) = 3√8 rồi dừng lại, tưởng đã xong. Nhưng √8 = 2√2 nên √72 = 6√2 mới là dạng gọn nhất. Cách tránh: sau khi rút gọn, bạn hãy kiểm tra lại số dưới dấu căn — nếu nó còn chia hết cho 4, 9, 16 hay 25 thì bạn chưa rút gọn xong.
Lỗi 5: Cộng trừ các căn thức chưa rút gọn.
Nhiều bạn viết √50 − √8 = √42 — trừ hai số dưới dấu căn với nhau. Sai hoàn toàn: phép trừ căn thức không làm như vậy. Cách tránh: muốn cộng trừ các căn thức, bạn phải rút gọn từng căn về dạng gọn nhất trước, rồi chỉ cộng trừ những căn có cùng biểu thức dưới dấu căn — √50 − √8 = 5√2 − 2√2 = 3√2.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tách số chính phương lớn nhất trước khi khai căn, và kiểm tra điều kiện không âm trước khi tách hay nhân.
Câu 1: √36 · √4 bằng bao nhiêu?
A. 10
B. 12
C. 24
D. 144
Câu 2: √50 bằng bao nhiêu?
A. 5√2
B. 2√5
C. 10√5
D. 25√2
Câu 3: √3 · √12 bằng bao nhiêu?
A. 3
B. 6
C. 36
D. √15
Câu 4: √(9 · 16) bằng bao nhiêu?
A. 25
B. 12
C. 7
D. 144
Câu 5: √18 · √2 bằng bao nhiêu?
A. 6
B. 3
C. 36
D. 9
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | B | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (12) đúng: √36 · √4 = √(36 · 4) = √144 = 12. Bạn cũng có thể tính trực tiếp: √36 = 6, √4 = 2, tích bằng 12. Đáp án A (10) sai vì 10 = 6 + 4 — cộng hai căn chứ không phải nhân. Đáp án C (24) sai vì 24 = 6 · 4 là tích của hai căn, nhưng √36 · √4 thì bằng √(36 · 4) = 12, không phải 6 · 4. Đáp án D (144) sai vì 144 là số dưới dấu căn sau khi gộp, còn căn bậc hai của 144 là 12.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (5√2) đúng: 50 = 25 · 2 nên √50 = √25 · √2 = 5√2. Đáp án B (2√5) sai vì 2√5 = √20, không phải √50. Đáp án C (10√5) sai vì (10√5)² = 500, không phải 50. Đáp án D (25√2) sai vì 25√2 = √1250, không phải √50 — bạn đã khai căn nhầm: √25 = 5 chứ không phải 25.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (6) đúng: √3 · √12 = √(3 · 12) = √36 = 6. Đáp án A (3) sai vì 3 là √9, không liên quan. Đáp án C (36) sai vì 36 là tích dưới dấu căn sau khi gộp, còn căn bậc hai của 36 là 6. Đáp án D (√15) sai vì √15 = √(3 · 5) — bạn đã nhân nhầm 3 với 5 thay vì nhân 3 với 12.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (12) đúng: √(9 · 16) = √9 · √16 = 3 · 4 = 12. Đáp án A (25) sai vì 25 = 9 + 16 — cộng hai thừa số chứ không phải khai căn tích của chúng. Đáp án C (7) sai vì 7 = 3 + 4 — cộng hai căn chứ không phải nhân. Đáp án D (144) sai vì 144 = 9 · 16 là tích dưới dấu căn, còn căn bậc hai của 144 là 12.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (6) đúng: √18 · √2 = √(18 · 2) = √36 = 6. Đáp án B (3) sai vì 3 = √9, không phải kết quả của phép tính này. Đáp án C (36) sai vì 36 là tích dưới dấu căn sau khi gộp, còn căn bậc hai của 36 là 6. Đáp án D (9) sai vì 9 = √81, không liên quan tới phép tính này.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: √(ab) = √a · √b có đúng khi a hoặc b âm không?
Đáp: Không. Công thức chỉ đúng khi a ≥ 0 và b ≥ 0, vì √a và √b phải tồn tại. Ví dụ √((-4) · (−9)) = √36 = 6, nhưng bạn không được viết √(−4) · √(−9) vì hai căn đó không tồn tại. Khi thừa số âm, bạn hãy tính tích trước rồi mới khai căn.
Hỏi: Vì sao phải tách số chính phương LỚN NHẤT?
Đáp: Vì tách số chính phương nhỏ hơn thì bạn phải rút gọn thêm nhiều bước. Ví dụ √72 = √(9 · 8) = 3√8, nhưng √8 chưa gọn nên bạn phải làm tiếp 3√8 = 6√2. Tách ngay 72 = 36 · 2 thì chỉ một bước là xong. Nếu muốn ôn lại cách tìm căn bậc hai của một số, bạn hãy xem lại bài căn bậc hai và căn thức bậc hai.
Hỏi: √(a + b) có bằng √a + √b không?
Đáp: Không. Phép khai căn chỉ tách qua phép nhân và phép chia, không tách qua phép cộng hay phép trừ. Ví dụ √(9 + 16) = 5 còn √9 + √16 = 7. Đây là một trong những lỗi sai phổ biến nhất, bạn hãy nhớ thật kĩ.
Hỏi: Căn thức nào được gọi là đã rút gọn?
Đáp: Căn thức đã rút gọn khi biểu thức dưới dấu căn không còn thừa số nào là số chính phương lớn hơn 1. Ví dụ 6√2 đã gọn vì 2 không chia hết cho 4, 9 hay 16; còn 3√8 chưa gọn vì 8 = 4 · 2. Muốn cộng trừ các căn thức, bạn phải rút gọn chúng về dạng gọn nhất trước.
Hỏi: Công thức này dùng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Khai căn một tích là bước đầu tiên để rút gọn biểu thức chứa căn — xem bài đưa thừa số ra ngoài dấu căn — và để học phép khai căn với phép chia trong bài liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia. Nếu muốn ôn lại tính chất của phép nhân các số thực, bạn hãy xem lại bài tính chất của phép nhân các số thực.
8. Kết luận
Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân chỉ gói gọn trong một công thức đọc được theo hai chiều: √(ab) = √a · √b. Đọc từ trái sang phải, bạn tách một căn thức cồng kềnh thành tích các căn đơn giản hơn — đó là cách rút gọn √72 thành 6√2. Đọc từ phải sang trái, bạn gộp tích của hai căn thành căn của tích — đó là cách tính √3 · √12 = 6. Điều kiện duy nhất bạn phải nhớ là a, b ≥ 0, và phép khai căn không bao giờ tách qua phép cộng hay phép trừ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang tiết 2 của Bài 8: khai căn bậc hai với phép chia — nơi công thức này có một "người anh em" làm việc với phép chia thay vì phép nhân.