Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia: công thức lớp 9

Một hình vuông có diện tích 25/4 m² thì cạnh của nó dài bao nhiêu? Diện tích bằng cạnh nhân cạnh, nên cạnh là căn bậc hai của 25/4 — tức là √25 chia cho √4, bằng 5/2 m. Câu trả lời này dùng một công thức mà bạn có thể đoán được từ bài trước: nếu căn bậc hai "tách" được qua phép nhân thì nó cũng "tách" được qua phép chia. Công thức √(a/b) = √a / √b chính là "người anh em" của công thức √(ab) = √a · √b, và nó là công cụ không thể thiếu mỗi khi bạn gặp một phân số nằm dưới dấu căn. Bài viết này sẽ giúp bạn dùng thành thạo công thức đó — khai căn một thương, chia hai căn bậc hai, và rút gọn những biểu thức chứa căn ở mẫu số.

Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia — tiết 2. Đây là bài học nối tiếp tiết 1, nơi bạn đã học √(ab) = √a · √b. Tiết 2 dạy bạn chiều còn lại của cùng một ý tưởng: dấu căn có thể "tách" qua phép chia — căn của một thương bằng thương các căn — và ngược lại, thương của hai căn bằng căn của thương. Học xong bài này, bạn sẽ biết vì sao √(25/4) = 5/2, vì sao √20 / √5 = 2, và vì sao chia hai căn thức cũng đơn giản như chia hai số thường.

1. Khai căn bậc hai của một thương: tách thương thành thương các căn

Với a ≥ 0 và b > 0, ta có √(a/b) = √a / √b. Công thức này nói rằng căn bậc hai của một thương bằng thương các căn bậc hai của tử số và mẫu số. Bạn hãy kiểm tra bằng số: √(25/4) = 5/2, còn √25 / √4 = 5 / 2 = 5/2. Hai vế bằng nhau. Bạn hãy chú ý điều kiện: a ≥ 0 như mọi công thức căn bậc hai khác, nhưng b > 0 — mẫu số phải dương, không chỉ không âm. Vì sao? Vì b nằm ở mẫu số của phân số a/b, mà mẫu số thì không bao giờ được bằng 0; và vì √b cũng nằm ở mẫu số của thương √a / √b, nên b cũng không được bằng 0. Hai lí do gộp lại thành điều kiện b > 0.

Bạn hãy để ý công thức này giúp bạn tính những căn bậc hai mà trước đây bạn phải bấm máy. Ví dụ √(49/64) = √49 / √64 = 7/8. Ví dụ √(81/100) = 9/10. Ví dụ √(1/16) = 1/4. Ví dụ √(36/25) = 6/5. Mỗi phép tính chỉ gồm hai bước: khai căn tử số, khai căn mẫu số — và cả hai đều là những số chính phương quen thuộc. Khi tử số và mẫu số đều là số chính phương, căn bậc hai của thương là một phân số "đẹp" mà bạn tính được ngay trong đầu, không cần máy tính.

Công thức khai căn một thương cũng dùng được cho biểu thức chứa chữ, với điều kiện tương tự. Với A là biểu thức không âm và B là biểu thức dương, ta có √(A/B) = √A / √B. Ví dụ √(x²/9) với x ≥ 0: √(x²/9) = √x² / √9 = x/3. Ví dụ √(16/y²) với y > 0: √(16/y²) = √16 / √y² = 4/|y| = 4/y. Ví dụ √(a²/b²) với a ≥ 0, b > 0: √(a²/b²) = a/b. Khi làm việc với biểu thức chứa chữ, bạn nhớ kiểm tra điều kiện của biến để bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho đúng — giống như ở Bài 7.

Một ứng dụng quan trọng của công thức này là rút gọn căn thức có mẫu số là một số chính phương. Ví dụ √18/√2 thì chưa gọn, nhưng viết √18 = 3√2 rồi chia cho √2 thì được 3 — hoặc dùng công thức chia hai căn ở mục 2 dưới đây. Ví dụ √(7/4) = √7/2 — bạn không rút gọn thêm được nữa vì 7 không phải số chính phương, nhưng dạng √7/2 đã gọn hơn √(7/4) vì mẫu số không còn nằm dưới dấu căn. Đưa mẫu số ra khỏi dấu căn là một trong những mục tiêu của việc rút gọn biểu thức chứa căn, và công thức khai căn một thương là bước đầu tiên để làm việc đó.

2. Chia hai căn bậc hai: gộp thương thành căn của thương

Công thức √(a/b) = √a / √b đọc từ phải sang trái cho bạn quy tắc chia hai căn bậc hai: với a ≥ 0 và b > 0, √a / √b = √(a/b). Muốn chia hai căn bậc hai, bạn chia hai biểu thức dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn của thương đó. Ví dụ √20 / √5 = √(20/5) = √4 = 2. Ví dụ √75 / √3 = √(75/3) = √25 = 5. Ví dụ √48 / √3 = √(48/3) = √16 = 4. Bạn thấy không, những phép chia trông rất "xấu" — √75 chia cho √3 — lại cho kết quả là những số nguyên đẹp đẽ. Đó là vì thương của hai biểu thức dưới dấu căn thường là một số chính phương.

Quy tắc chia hai căn bậc hai cũng mở rộng cho biểu thức chứa chữ. Với A không âm và B dương, ta có √A / √B = √(A/B). Ví dụ √(18x) / √(2x) với x > 0: √(18x) / √(2x) = √(18x/2x) = √9 = 3. Ví dụ √50a / √2a với a > 0: √50a / √2a = √(50a/2a) = √25 = 5. Khi chia các căn thức chứa chữ, bạn nhớ rút gọn phân số dưới dấu căn trước khi khai căn — giống như khi chia hai phân số thường, bạn rút gọn trước rồi mới tính.

Bạn hãy chú ý một điểm tinh tế: công thức chia hai căn bậc hai chỉ đúng khi mẫu số khác 0. Viết √a / √0 là viết một biểu thức vô nghĩa, vì √0 = 0 mà mẫu số không bao giờ được bằng 0. Trong tập số thực, bạn không bao giờ được chia cho 0 — dù là chia hai số thường hay chia hai căn thức. Đây là lỗi mà nhiều bạn mắc phải khi làm bài tập biến đổi biểu thức: thấy công thức thì áp dụng mà quên kiểm tra điều kiện mẫu khác 0.

Chia các căn bậc hai còn là bước trung gian để rút gọn biểu thức và khử căn ở mẫu. Ví dụ rút gọn √27 / √3: bạn chia hai biểu thức dưới dấu căn được √9 = 3. Ví dụ rút gọn 2√45 / √5: bạn chia √45 cho √5 được √9 = 3, rồi nhân với hệ số 2 được 6. Ví dụ rút gọn √a / √a với a > 0: kết quả là √(a/a) = √1 = 1. Bạn hãy tập thói quen: gặp thương của các căn thì gộp lại thành một căn, gặp căn của một thương thì tách ra — hai chiều của cùng một công thức, dùng chiều nào tiện hơn thì dùng chiều đó.

3. Điều kiện mẫu khác 0: chi tiết nhỏ nhưng không được quên

Điều kiện b > 0 trong công thức khai căn một thương là điểm khác biệt lớn nhất so với công thức khai căn một tích. Với phép nhân, điều kiện chỉ là a, b ≥ 0. Với phép chia, điều kiện là a ≥ 0 và b > 0 — mẫu số phải lớn hơn 0, không được bằng 0. Bạn hãy nhớ vì sao: thứ nhất, b nằm ở mẫu số của phân số a/b nên b ≠ 0; thứ hai, √b nằm ở mẫu số của thương √a / √b nên √b ≠ 0, tức là b ≠ 0; thứ ba, √b chỉ tồn tại khi b ≥ 0. Ba điều kiện gộp lại thành b > 0. Khi làm bài tập, bạn hãy kiểm tra điều kiện này đầu tiên — nếu b = 0 thì công thức không áp dụng được và biểu thức không xác định.

Bạn hãy xem điều kiện này ảnh hưởng như thế nào tới việc tìm điều kiện xác định của căn thức. Ví dụ căn thức √(x/(x − 1)) xác định khi x/(x − 1) ≥ 0 và x − 1 ≠ 0, tức là x < 0 hoặc x > 1. Ví dụ căn thức √(2/(x + 3)) xác định khi 2/(x + 3) ≥ 0 và x + 3 ≠ 0, tức là x > −3. Ví dụ căn thức √(x²/(x − 2)) xác định khi x²/(x − 2) ≥ 0 và x − 2 ≠ 0, tức là x = 0 hoặc x > 2 — vì x² ≥ 0 với mọi x, nên phân số không âm khi mẫu số dương (x > 2) hoặc khi tử số bằng 0 (x = 0, lúc đó phân số bằng 0 và căn thức bằng 0). Những bài này đòi hỏi bạn kết hợp điều kiện căn thức với điều kiện mẫu khác 0, nên bạn cứ làm từng bước một cách bình tĩnh.

Một dạng bài tập rất hay gặp là rút gọn biểu thức có căn ở mẫu số bằng cách nhân cả tử và mẫu với cùng một căn thức — gọi là trục căn thức ở mẫu. Ví dụ 1/√3 = √3/3: bạn nhân cả tử và mẫu với √3. Ví dụ 5/√2 = 5√2/2. Ví dụ 1/(2 + √3) = 2 − √3: bạn nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp 2 − √3. Những kĩ thuật này sẽ được học kĩ ở bài trục căn thức ở mẫu, nhưng bạn đã có thể hiểu ý tưởng của chúng ngay từ bây giờ: dùng công thức chia hai căn để đưa căn ra khỏi mẫu số, vì một phân số không có căn ở mẫu thì gọn và dễ tính hơn.

Bạn hãy đối chiếu hai công thức của Bài 8 với nhau để nhớ lâu hơn. Công thức nhân: √(ab) = √a · √b với a, b ≥ 0. Công thức chia: √(a/b) = √a / √b với a ≥ 0, b > 0. Hai công thức này giống nhau ở chỗ đều "tách" dấu căn qua phép tính, và khác nhau ở điều kiện của mẫu số. Khi nào bạn cũng nhớ được cặp công thức này cùng với điều kiện đi kèm thì bạn đã nắm được toàn bộ Bài 8.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Tính √(25/4).
Đây là ví dụ gốc của bài. Áp dụng công thức khai căn một thương: √(25/4) = √25 / √4.
√25 = 5 và √4 = 2.
Vậy √(25/4) = 5/2.
Bạn cũng có thể tính theo cách khác: 25/4 = 6,25 và √6,25 = 2,5 = 5/2. Hai cách cho cùng một kết quả.

Ví dụ 2 (chia hai căn): Tính √75 / √3.
Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai: √75 / √3 = √(75/3).
75/3 = 25 nên √75 / √3 = √25.
√25 = 5.
Vậy √75 / √3 = 5.

Ví dụ 3 (rút gọn biểu thức): Rút gọn √(49/64) và √18 / √2.
√(49/64) = √49 / √64 = 7/8.
√18 / √2 = √(18/2) = √9 = 3.
Bạn thấy không, cả hai phép tính đều cho kết quả gọn đẹp chỉ sau hai bước: tách hoặc gộp, rồi khai căn.

Ví dụ 4 (căn thức chứa chữ): Rút gọn √(x²/9) với x ≥ 0 và tính giá trị của √(16/y²) với y > 0.
√(x²/9) = √x² / √9 = |x| / 3 = x/3 vì x ≥ 0.
√(16/y²) = √16 / √y² = 4 / |y| = 4/y vì y > 0.
Bạn hãy để ý bước bỏ dấu giá trị tuyệt đối: |x| = x khi x ≥ 0, |y| = y khi y > 0. Khi cần kiểm tra lại các phép chia số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Áp dụng công thức khi mẫu số bằng 0.
Nhiều bạn viết √(a/0) = √a / √0. Sai hoàn toàn: mẫu số không bao giờ được bằng 0, và √0 = 0 cũng không bao giờ được làm mẫu số. Cách tránh: trước khi dùng công thức khai căn một thương, bạn hãy kiểm tra b > 0 — mẫu số phải dương, không chỉ không âm.

Lỗi 2: Viết √(a − b) = √a − √b — "tách" căn qua phép trừ.
Nhiều bạn thấy công thức chia thì suy ra công thức trừ. Hoàn toàn sai: phép khai căn chỉ tách qua phép nhân và phép chia, không tách qua phép cộng hay phép trừ. Ví dụ √(25 − 9) = √16 = 4, còn √25 − √9 = 5 − 3 = 2. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức chỉ có dấu chia ở giữa — thấy dấu trừ dưới dấu căn thì đừng tách.

Lỗi 3: Quên rút gọn phân số dưới dấu căn trước khi khai căn.
Nhiều bạn tính √18 / √2 bằng cách khai căn từng số: √18 ≈ 4,24 rồi chia cho √2 ≈ 1,41 — vừa dài vừa không chính xác. Cách tránh: bạn hãy gộp thương thành căn của thương trước — √18 / √2 = √(18/2) = √9 = 3 — rồi rút gọn phân số 18/2 = 9 trước khi khai căn.

Lỗi 4: Viết √(a/b) = √a / √b khi a âm.
Nhiều bạn thấy a/b dương thì tách ngay, ví dụ √((-9)/(−4)) = √(−9) / √(−4). Sai: √(−9) và √(−4) đều không tồn tại. Cách tránh: trước khi tách, bạn hãy kiểm tra a ≥ 0 và b > 0. Với √((-9)/(−4)) = √(9/4) = 3/2, bạn rút gọn phân số trước — (−9)/(−4) = 9/4 — rồi mới khai căn.

Lỗi 5: Nhầm √(a/b) với √a / b — chỉ khai căn tử số.
Nhiều bạn tính √(25/4) = 5/4 — khai căn tử số mà quên khai căn mẫu số. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức tách cả tử và mẫu — √(25/4) = √25 / √4 = 5/2. Mỗi lần tách, bạn hãy viết rõ cả hai căn ra giấy nháp rồi mới tính.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra mẫu số khác 0 trước khi tách, và rút gọn phân số dưới dấu căn trước khi khai căn.

Câu 1: √(36/49) bằng bao nhiêu?
A. 6/7
B. 7/6
C. 6/49
D. 36/7

Câu 2: √20 / √5 bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 4
C. √15
D. 5

Câu 3: √(1/16) bằng bao nhiêu?
A. 1/2
B. 1/4
C. 1/8
D. 4

Câu 4: √75 / √3 bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 25
C. √72
D. 3

Câu 5: √(81/16) bằng bao nhiêu?
A. 9/16
B. 4/9
C. 9/4
D. 81/4

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (6/7) đúng: √(36/49) = √36 / √49 = 6/7. Đáp án B (7/6) sai vì bạn đã đảo ngược tử số và mẫu số — căn của tử là 6, căn của mẫu là 7. Đáp án C (6/49) sai vì bạn chỉ khai căn tử số mà quên khai căn mẫu số. Đáp án D (36/7) sai vì bạn chỉ khai căn mẫu số mà quên khai căn tử số.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A (2) đúng: √20 / √5 = √(20/5) = √4 = 2. Đáp án B (4) sai vì 4 là thương dưới dấu căn sau khi gộp (20/5 = 4), còn căn bậc hai của 4 là 2. Đáp án C (√15) sai vì √15 = √(20 − 5) — bạn đã trừ hai số dưới dấu căn với nhau, mà phép khai căn không tách qua phép trừ. Đáp án D (5) sai vì 5 là mẫu số, không phải kết quả của phép chia.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (1/4) đúng: √(1/16) = √1 / √16 = 1/4. Đáp án A (1/2) sai vì 1/2 = √(1/4), không phải √(1/16). Đáp án C (1/8) sai vì 1/8 = √(1/64), không phải √(1/16). Đáp án D (4) sai vì 4 = √16 là căn của mẫu số, không phải kết quả của cả phân số.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A (5) đúng: √75 / √3 = √(75/3) = √25 = 5. Đáp án B (25) sai vì 25 là thương dưới dấu căn sau khi gộp (75/3 = 25), còn căn bậc hai của 25 là 5. Đáp án C (√72) sai vì √72 = √(75 − 3) — bạn đã trừ hai số dưới dấu căn với nhau, mà phép khai căn không tách qua phép trừ. Đáp án D (3) sai vì 3 là mẫu số, không phải kết quả của phép chia.

Giải thích Câu 5 — Đáp án C (9/4) đúng: √(81/16) = √81 / √16 = 9/4. Đáp án A (9/16) sai vì bạn chỉ khai căn tử số mà quên khai căn mẫu số. Đáp án B (4/9) sai vì bạn đã đảo ngược tử số và mẫu số. Đáp án D (81/4) sai vì bạn chỉ khai căn mẫu số mà quên khai căn tử số.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao điều kiện của phép chia là b > 0 mà không phải b ≥ 0?
Đáp: Vì b nằm ở mẫu số. Mẫu số không bao giờ được bằng 0 — dù là mẫu số của phân số a/b hay mẫu số của thương √a / √b. Điều kiện b ≥ 0 chỉ đảm bảo √b tồn tại, còn điều kiện b > 0 đảm bảo thêm mẫu số khác 0. Bạn hãy nhớ: phép chia luôn đi kèm điều kiện mẫu khác 0.

Hỏi: √(a/b) có bằng √a / √b khi a và b cùng âm không?
Đáp: Không được tách trực tiếp, vì √a và √b không tồn tại khi a và b âm. Nhưng thương a/b thì dương nên √(a/b) vẫn tồn tại. Cách làm đúng là rút gọn phân số trước: √((-9)/(−4)) = √(9/4) = 3/2. Bạn hãy rút gọn dấu trừ trước rồi mới tách.

Hỏi: Chia hai căn khác gì chia hai số thường?
Đáp: Về bản chất thì giống nhau — bạn gộp thương thành căn của thương rồi rút gọn phân số dưới dấu căn. Điểm khác duy nhất là điều kiện: số dưới dấu căn phải không âm và mẫu số phải dương. Nếu muốn ôn lại phép khai căn với phép nhân, bạn hãy xem lại bài liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân.

Hỏi: Làm sao để khử căn ở mẫu số?
Đáp: Bạn nhân cả tử và mẫu với cùng một căn thức — gọi là trục căn thức ở mẫu. Ví dụ 1/√3 = √3/3. Kĩ thuật này sẽ được học kĩ ở bài trục căn thức ở mẫu. Còn trong bài này, bạn chỉ cần biết dùng công thức chia hai căn để đưa căn ra khỏi mẫu số khi có thể.

Hỏi: Công thức này dùng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Khai căn một thương là bước đầu tiên để rút gọn biểu thức chứa căn có mẫu số — xem bài đưa thừa số ra ngoài dấu căn — và để học cách trục căn thức ở mẫu. Nếu muốn ôn lại khái niệm căn bậc hai và điều kiện xác định, bạn hãy xem lại bài căn bậc hai và căn thức bậc hai.

8. Kết luận

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia chỉ gói gọn trong một công thức đọc được theo hai chiều: √(a/b) = √a / √b với a ≥ 0, b > 0. Đọc từ trái sang phải, bạn tách một căn thức chứa phân số thành thương của hai căn đơn giản hơn — đó là cách tính √(25/4) = 5/2. Đọc từ phải sang trái, bạn gộp thương của hai căn thành căn của thương — đó là cách tính √75 / √3 = 5. Điều kiện duy nhất bạn phải nhớ là mẫu số phải dương, và phép khai căn không bao giờ tách qua phép cộng hay phép trừ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm trọn Bài 8: khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia. Bài tiếp theo — đưa thừa số ra ngoài dấu căn — sẽ dạy bạn dùng hai công thức này để rút gọn bất kì biểu thức chứa căn nào về dạng gọn nhất.