Nhà bạn định lát lại nền một căn phòng hình vuông có diện tích 25 m² bằng những viên gạch hình vuông cạnh 1 m. Muốn biết cần mua bao nhiêu viên gạch theo mỗi cạnh, bạn phải trả lời một câu hỏi nghe rất đơn giản: cạnh của căn phòng dài bao nhiêu mét? Diện tích hình vuông bằng cạnh nhân cạnh, nên bạn cần tìm một số mà bình phương lên bằng 25. Số đó là 5 — vì 5² = 25 — và người ta viết 5 = √25. Câu hỏi "số nào bình phương lên bằng số đã cho" chính là câu hỏi mở đầu cho cả một chương mới của Toán 9: phép khai căn bậc hai. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc ba công thức gốc của chương: căn bậc hai xác định khi nào, bình phương của một căn bậc hai bằng bao nhiêu, và vì sao căn bậc hai của một bình phương lại dính tới dấu giá trị tuyệt đối.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", căn bậc hai và căn thức bậc hai nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai. Đây là bài học nối tiếp kiến thức lớp 7, nơi bạn đã làm quen với căn bậc hai số học của một số không âm — ví dụ √9 = 3 — và bây giờ bạn sẽ học đầy đủ hơn: căn bậc hai của một số là gì, căn thức bậc hai là gì, khi nào nó xác định, và hằng đẳng thức √(A²) = |A| dùng để rút gọn biểu thức ra sao. Học xong bài này, bạn sẽ biết vì sao √25 = 5, vì sao √((-3)²) = 3 chứ không phải −3, và vì sao biểu thức √(x − 2) chỉ "có nghĩa" khi x ≥ 2.
1. Căn bậc hai là gì? Số mà bình phương lên bằng số đã cho
Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho x² = a. Bạn hãy đọc kĩ định nghĩa này: nó nói về một phép toán ngược. Phép bình phương lấy một số x rồi tính x². Phép khai căn bậc hai làm ngược lại: cho trước a, tìm x sao cho x² = a. Ví dụ số 5 là một căn bậc hai của 25 vì 5² = 25. Nhưng −5 cũng là một căn bậc hai của 25 vì (−5)² = 25. Vậy một số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: √a và −√a. Số 0 chỉ có một căn bậc hai là chính nó: √0 = 0. Còn số âm thì không có căn bậc hai — vì bình phương của bất kì số thực nào cũng không âm, nên không có số thực nào bình phương lên bằng −4.
Trong hai căn bậc hai của một số dương a, người ta gọi căn bậc hai không âm là căn bậc hai số học của a và kí hiệu là √a. Đây là khái niệm bạn đã học ở lớp 7. Ví dụ căn bậc hai số học của 25 là 5, viết √25 = 5; căn bậc hai số học của 9 là 3, viết √9 = 3; căn bậc hai số học của 2 là √2 — một số vô tỉ mà bạn không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, chỉ có thể viết gần đúng √2 ≈ 1,414. Bạn cần phân biệt rõ: "căn bậc hai của 25" có hai số là 5 và −5, còn "căn bậc hai số học của 25" chỉ có một số là 5. Khi đề bài hỏi "tìm căn bậc hai của 16", đáp án là 4 và −4; khi đề bài hỏi "tính √16", đáp án chỉ là 4.
Từ định nghĩa trên, bạn có ngay công thức đầu tiên của bài: (√a)² = a với a ≥ 0. Công thức này nói rằng bình phương của căn bậc hai số học của a thì trở lại a. Ví dụ (√7)² = 7, (√13)² = 13, (√0,25)² = 0,25. Công thức này rất hay dùng khi bạn cần "khử" dấu căn: gặp (√5)² thì viết ngay thành 5, không cần tính √5 bằng bao nhiêu. Bạn hãy nhớ điều kiện a ≥ 0 đi kèm công thức — vì √a chỉ tồn tại khi a không âm. Viết (√(−3))² là viết một biểu thức vô nghĩa, vì √(−3) không tồn tại trong tập số thực.
Một lưu ý nhỏ nhưng quan trọng: √a² và (√a)² là hai biểu thức khác nhau, đừng viết nhầm. Biểu thức (√a)² có nghĩa là "lấy căn bậc hai số học của a rồi bình phương", kết quả bằng a. Biểu thức √a² có nghĩa là "bình phương a rồi lấy căn bậc hai số học", kết quả bằng |a| — và đó chính là nội dung của mục 3 dưới đây. Hai công thức này trông giống nhau nhưng ý nghĩa khác nhau, và nhầm lẫn giữa chúng là một trong những lỗi phổ biến nhất của chương này.
2. Căn thức bậc hai và điều kiện xác định: biểu thức dưới dấu căn không được âm
Khi biểu thức dưới dấu căn không còn là một con số cụ thể mà là một biểu thức đại số, người ta gọi nó là căn thức bậc hai. Cụ thể, với A là một biểu thức đại số, biểu thức √A được gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. Ví dụ √(x − 2), √(2x + 1), √(x² + 3) đều là những căn thức bậc hai. Căn thức bậc hai là bước mở rộng tự nhiên từ căn bậc hai của một số: thay vì hỏi "√25 bằng bao nhiêu", bạn hỏi "√(x − 2) có nghĩa khi nào và bằng bao nhiêu ứng với từng giá trị của x".
Điều kiện để một căn thức bậc hai xác định cũng đi thẳng từ định nghĩa căn bậc hai: √A xác định khi A ≥ 0. Bạn hãy nhớ kĩ: biểu thức dưới dấu căn không được âm. Ví dụ căn thức √(x − 2) xác định khi x − 2 ≥ 0, tức là x ≥ 2. Căn thức √(3 − x) xác định khi 3 − x ≥ 0, tức là x ≤ 3. Căn thức √(x² + 1) xác định với mọi x, vì x² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi số thực x. Căn thức √(2x − 4) xác định khi 2x − 4 ≥ 0, tức là x ≥ 2. Khi làm bài tập tìm điều kiện xác định, bạn chỉ cần làm đúng một việc: đặt biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0 rồi giải bất phương trình đó.
Bạn cũng cần biết cách tính giá trị của một căn thức tại một giá trị cụ thể của biến. Ví dụ căn thức √(x + 1) tại x = 8 có giá trị là √9 = 3. Căn thức √(2x − 4) tại x = 3 có giá trị là √2. Nhưng căn thức √(x − 5) tại x = 2 thì không có giá trị nào cả, vì 2 − 5 = −3 < 0 nên căn thức không xác định tại x = 2. Trước khi tính giá trị của một căn thức, bạn hãy kiểm tra xem giá trị đó của biến có thỏa mãn điều kiện xác định hay không — nếu không thỏa mãn thì căn thức không có giá trị, đừng cố tính.
Một dạng bài tập rất hay gặp là tìm điều kiện để căn thức xác định khi biểu thức dưới dấu căn là một tích hoặc một thương. Ví dụ căn thức √(x(x − 1)) xác định khi x(x − 1) ≥ 0, tức là x ≤ 0 hoặc x ≥ 1. Căn thức √(x/(x − 1)) xác định khi x/(x − 1) ≥ 0 và x − 1 ≠ 0, tức là x < 0 hoặc x > 1 — bạn phải nhớ thêm điều kiện mẫu khác 0 vì biểu thức nằm ở mẫu số. Những bài này chỉ là sự kết hợp giữa điều kiện căn thức và kiến thức giải bất phương trình bạn đã học, nên bạn cứ làm từng bước một cách bình tĩnh.
3. Hằng đẳng thức √(A²) = |A|: dấu giá trị tuyệt đối không được quên
Công thức thứ ba — và cũng là công thức dễ sai nhất — của bài này là hằng đẳng thức √(A²) = |A|. Bạn hãy hiểu vì sao lại có dấu giá trị tuyệt đối ở đây. Bình phương của một số luôn không âm, nên √(A²) là căn bậc hai số học của một số không âm — kết quả của nó cũng không âm. Mà A thì có thể âm hoặc dương. Nếu A ≥ 0 thì √(A²) = A. Nếu A < 0 thì √(A²) = −A — vì −A lúc đó là số dương. Cả hai trường hợp gộp lại thành |A|. Ví dụ √((-3)²) = √9 = 3 = |−3|. Ví dụ √(5²) = √25 = 5 = |5|. Công thức này nói một cách ngắn gọn: căn bậc hai của một bình phương thì bằng giá trị tuyệt đối của số ban đầu, không phải bằng chính số ban đầu.
Bạn hãy xem hằng đẳng thức này hoạt động như thế nào với biểu thức chứa chữ. Ví dụ √(x − 1)² = |x − 1|. Nếu đề bài cho thêm x ≥ 1 thì |x − 1| = x − 1, nên √(x − 1)² = x − 1. Nếu đề bài cho x < 1 thì |x − 1| = 1 − x, nên √(x − 1)² = 1 − x. Một ví dụ nữa: √(5 − 7)² = |5 − 7| = |−2| = 2. Bạn thấy không, nếu bỏ dấu giá trị tuyệt đối và viết √(5 − 7)² = 5 − 7 = −2 thì bạn đã viết một điều vô lí: căn bậc hai số học không bao giờ âm. Dấu giá trị tuyệt đối chính là "người gác cổng" đảm bảo kết quả luôn không âm.
Hằng đẳng thức √(A²) = |A| còn là chìa khóa để rút gọn nhiều biểu thức. Ví dụ rút gọn √(2 − √5)²: vì 2 < √5 (do 2² = 4 < 5) nên 2 − √5 < 0, vậy √(2 − √5)² = |2 − √5| = √5 − 2. Ví dụ rút gọn √(x² − 6x + 9) với x < 3: x² − 6x + 9 = (x − 3)² nên √(x² − 6x + 9) = |x − 3| = 3 − x vì x − 3 < 0. Muốn dùng thành thạo hằng đẳng thức này, bạn cần làm đúng hai bước: bước một, đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng một bình phương; bước hai, bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo dấu của biểu thức bên trong. Nếu bạn chưa biết dấu của biểu thức bên trong thì cứ để nguyên |A| — đó cũng là một đáp án đúng.
Bạn hãy đối chiếu ba công thức của bài này với nhau để nhớ lâu hơn. Công thức (√a)² = a nói về "căn rồi bình phương" — kết quả là a. Công thức √(a²) = |a| nói về "bình phương rồi căn" — kết quả là |a|. Hai công thức này là hai chiều ngược nhau của cùng một mối quan hệ giữa phép bình phương và phép khai căn, và dấu giá trị tuyệt đối chỉ xuất hiện ở chiều thứ hai. Khi nào bạn cũng nhớ được cặp công thức này thì bạn đã nắm được một nửa chương III.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tính √25, √81 và √((-3)²).
√25 = 5 vì 5² = 25 và 5 ≥ 0.
√81 = 9 vì 9² = 81 và 9 ≥ 0.
√((-3)²) = √9 = 3. Bạn cũng có thể dùng hằng đẳng thức: √((-3)²) = |−3| = 3.
Ba kết quả này cho thấy căn bậc hai số học luôn không âm, dù số bên trong bình phương có âm hay không.
Ví dụ 2 (điều kiện xác định): Tìm điều kiện của x để căn thức √(2x − 4) xác định.
Căn thức √(2x − 4) xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm: 2x − 4 ≥ 0.
Giải bất phương trình: 2x ≥ 4, suy ra x ≥ 2.
Vậy căn thức xác định khi x ≥ 2. Bạn có thể kiểm tra: tại x = 2, căn thức bằng √0 = 0; tại x = 5, căn thức bằng √6; còn tại x = 1, biểu thức dưới dấu căn bằng −2 nên căn thức không xác định.
Ví dụ 3 (rút gọn bằng hằng đẳng thức): Rút gọn biểu thức √(3 − √10)².
Áp dụng hằng đẳng thức √(A²) = |A|: √(3 − √10)² = |3 − √10|.
Xét dấu của 3 − √10: vì 3² = 9 < 10 = (√10)² nên 3 < √10, suy ra 3 − √10 < 0.
Vậy |3 − √10| = √10 − 3. Kết quả rút gọn là √10 − 3.
Bạn hãy để ý bước xét dấu: muốn biết 3 và √10 số nào lớn hơn, bạn so sánh bình phương của chúng — 9 và 10. Đây là cách so sánh hai số có chứa căn rất hay dùng trong chương này.
Ví dụ 4 (giá trị của căn thức): Tính giá trị của căn thức √(x²) tại x = −4 và rút gọn √(x² − 6x + 9) với x < 3.
Tại x = −4: √(x²) = √((-4)²) = √16 = 4. Dùng hằng đẳng thức: √(x²) = |x| = |−4| = 4.
Với x < 3: x² − 6x + 9 = (x − 3)² nên √(x² − 6x + 9) = |x − 3|.
Vì x < 3 nên x − 3 < 0, suy ra |x − 3| = 3 − x. Vậy biểu thức rút gọn thành 3 − x.
Khi cần kiểm tra lại các phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Viết √((-3)²) = −3 — quên dấu giá trị tuyệt đối.
Nhiều bạn thấy √((-3)²) thì "bỏ căn, bỏ bình phương" và viết ngay −3. Nhưng căn bậc hai số học không bao giờ âm, nên đáp án −3 là vô lí. Cách tránh: mỗi lần gặp √(A²), bạn hãy viết ngay |A| rồi mới xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. √((-3)²) = |−3| = 3.
Lỗi 2: Cho rằng số âm có căn bậc hai.
Nhiều bạn viết √(−9) = −3 hoặc √(−9) = 3. Cả hai đều sai: không có số thực nào bình phương lên bằng −9, nên √(−9) không tồn tại. Cách tránh: trước khi tính một căn bậc hai, bạn hãy nhìn vào số dưới dấu căn — nếu nó âm thì dừng lại ngay và kết luận biểu thức không xác định trong tập số thực.
Lỗi 3: Nhầm "căn bậc hai của 16" với "√16".
Nhiều bạn trả lời "căn bậc hai của 16 là 4" — thiếu mất −4. Căn bậc hai của 16 có hai số là 4 và −4, còn √16 (căn bậc hai số học) chỉ bằng 4. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ đề bài — nếu đề hỏi "căn bậc hai của a" thì trả lời cả hai số đối nhau; nếu đề hỏi "tính √a" thì chỉ trả lời số không âm.
Lỗi 4: Quên điều kiện xác định của căn thức.
Nhiều bạn tính giá trị của √(x − 5) tại x = 2 và viết √(−3) = −√3. Sai hoàn toàn: tại x = 2, căn thức không xác định nên không có giá trị nào cả. Cách tránh: với mọi bài toán có căn thức chứa chữ, việc đầu tiên bạn làm là tìm điều kiện xác định — đặt biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0 — rồi mới tính toán tiếp.
Lỗi 5: Viết (√a)² = |a| — nhầm hai công thức với nhau.
Nhiều bạn nhớ mang máng có dấu giá trị tuyệt đối ở đâu đó nên viết (√a)² = |a|. Nhưng (√a)² = a (với a ≥ 0), còn √(a²) = |a|. Cách tránh: bạn hãy nhớ theo thứ tự phép tính — "căn trước, bình phương sau" thì kết quả là a; "bình phương trước, căn sau" thì kết quả là |a|. Viết hai công thức cạnh nhau ra giấy nháp mỗi lần làm bài cho đến khi nhớ chắc.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra điều kiện xác định trước khi tính, và đừng quên dấu giá trị tuyệt đối khi gặp căn bậc hai của một bình phương.
Câu 1: Căn bậc hai số học của 81 bằng bao nhiêu?
A. 9
B. −9
C. ±9
D. 81
Câu 2: Căn thức √(x − 2) xác định khi nào?
A. x < 2
B. x ≤ 2
C. x > 2
D. x ≥ 2
Câu 3: √((-5)²) bằng bao nhiêu?
A. −5
B. 5
C. 25
D. ±5
Câu 4: (√7)² bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 49
C. √7
D. 14
Câu 5: √(x²) với x < 0 bằng bao nhiêu?
A. x
B. −x
C. 0
D. x²
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | D | B | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (9) đúng: Căn bậc hai số học của 81 là số không âm mà bình phương lên bằng 81 — số đó là 9 vì 9² = 81. Đáp án B (−9) sai vì căn bậc hai số học không bao giờ âm. Đáp án C (±9) sai vì ±9 là hai căn bậc hai của 81, còn căn bậc hai số học chỉ có một số là 9. Đáp án D (81) sai vì 81² = 6561, không phải 81.
Giải thích Câu 2 — Đáp án D (x ≥ 2) đúng: Căn thức √(x − 2) xác định khi x − 2 ≥ 0, tức là x ≥ 2. Đáp án A (x < 2) sai vì khi x < 2 thì x − 2 < 0, căn thức không xác định. Đáp án B (x ≤ 2) sai vì khi x < 2 thì biểu thức dưới dấu căn âm. Đáp án C (x > 2) sai vì thiếu trường hợp x = 2 — tại x = 2, căn thức bằng √0 = 0, vẫn xác định.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (5) đúng: √((-5)²) = √25 = 5. Dùng hằng đẳng thức: √((-5)²) = |−5| = 5. Đáp án A (−5) sai vì căn bậc hai số học không bao giờ âm — đây chính là lỗi quên dấu giá trị tuyệt đối. Đáp án C (25) sai vì 25 là (−5)², còn căn bậc hai của 25 là 5. Đáp án D (±5) sai vì √((-5)²) là một số xác định duy nhất bằng 5.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (7) đúng: Áp dụng công thức (√a)² = a với a = 7 ≥ 0, ta có (√7)² = 7. Đáp án B (49) sai vì 49 = 7², còn (√7)² thì bằng 7. Đáp án C (√7) sai vì bình phương đã "khử" dấu căn. Đáp án D (14) sai vì 14 = 2 × 7, không liên quan gì tới phép tính này.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (−x) đúng: √(x²) = |x|. Vì x < 0 nên |x| = −x. Đáp án A (x) sai vì x < 0 nên x là số âm, trong khi √(x²) không bao giờ âm. Đáp án C (0) sai vì √(x²) = 0 chỉ khi x = 0. Đáp án D (x²) sai vì x² là biểu thức dưới dấu căn, còn căn bậc hai của nó là |x|.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Số âm có căn bậc hai không?
Đáp: Không, trong tập số thực. Bình phương của bất kì số thực nào cũng không âm, nên không có số thực nào bình phương lên bằng một số âm. Ví dụ √(−4) không tồn tại. Bạn hãy nhớ: biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm.
Hỏi: Căn bậc hai của 0 bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng 0. Số 0 là số duy nhất vừa là căn bậc hai của chính nó: 0² = 0 nên √0 = 0. Đây cũng là trường hợp biên của điều kiện xác định a ≥ 0.
Hỏi: √(a²) và (√a)² khác nhau như thế nào?
Đáp: √(a²) = |a| với mọi số thực a — vì a có thể âm. Còn (√a)² = a nhưng chỉ khi a ≥ 0 — vì √a chỉ tồn tại khi a không âm. Bạn hãy nhớ theo thứ tự: "bình phương trước, căn sau" thì có dấu giá trị tuyệt đối; "căn trước, bình phương sau" thì không.
Hỏi: Vì sao √(x²) = |x| mà không phải = x?
Đáp: Vì √(x²) là căn bậc hai số học nên luôn không âm, còn x có thể âm. Ví dụ x = −4 thì √((-4)²) = √16 = 4, trong khi x = −4. Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo hai vế bằng nhau trong mọi trường hợp. Nếu muốn ôn lại giá trị tuyệt đối, bạn hãy xem lại bài giá trị tuyệt đối của một số thực.
Hỏi: Học căn bậc hai để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Căn bậc hai là nền tảng để bạn học phép khai căn với phép nhân và phép chia — xem bài liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân — rồi biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn, giải phương trình chứa căn, và cả hình học như định lí Pythagore. Nếu muốn ôn lại căn bậc hai số học đã học ở lớp 7, bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.
8. Kết luận
Căn bậc hai và căn thức bậc hai chỉ gói gọn trong ba công thức: √a xác định khi a ≥ 0; (√a)² = a; và √(A²) = |A|. Ba công thức này là chìa khóa mở ra cả chương III của Toán 9. Trước khi tính bất kì căn thức nào, bạn hãy kiểm tra điều kiện xác định; khi gặp căn bậc hai của một bình phương, bạn hãy nhớ ngay tới dấu giá trị tuyệt đối; và khi phân biệt "căn bậc hai của a" với "căn bậc hai số học của a", bạn hãy nhớ số đầu có hai đáp án đối nhau còn số sau chỉ có một. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang bài tiếp theo: khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia — nơi những công thức này bắt đầu "làm việc" với nhau để rút gọn những biểu thức trông rất cồng kềnh.