Công thức đưa thừa số vào trong dấu căn: công thức và bài tập lớp 9

Bạn có hai số 4√3 và 3√5. Số nào lớn hơn? Nhìn bên ngoài, 4 có vẻ "to" hơn 3, nhưng √5 lại lớn hơn √3. Hai yếu tố kéo ngược nhau, mắt thường không thể phán ngay được. Cách gọn nhất là đưa cả hai thừa số vào trong dấu căn: 4√3 = √48, 3√5 = √45. Bây giờ chỉ còn so sánh 48 với 45 — rõ ràng 4√3 lớn hơn. Đó chính là sức mạnh của phép đưa thừa số vào trong dấu căn: nó biến những số "nửa trong nửa ngoài" thành một căn thức duy nhất, gọn gàng và dễ so sánh.

Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", đưa thừa số vào trong dấu căn nằm trong Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ở Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba. Đây là phép biến đổi ngược của phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn mà bạn đã học: nếu đưa ra ngoài là "gỡ" một thừa số từ trong căn ra, thì đưa vào trong là "nhét" một thừa số từ ngoài căn vào. Học xong bài này, bạn sẽ đưa được bất kì thừa số nào vào trong dấu căn — kể cả khi thừa số đó là số âm — và dùng nó để so sánh hai số, rút gọn biểu thức và giải quyết những bài toán mà trước đây bạn chỉ biết làm một nửa.

1. Công thức đưa thừa số vào trong dấu căn: hai trường hợp theo dấu của A

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn có hai công thức, phân biệt nhau ở dấu của thừa số A đứng ngoài dấu căn. Bạn hãy nhớ kĩ cả hai, vì nhầm dấu là lỗi phổ biến nhất của bài này. Với A ≥ 0 và B ≥ 0, ta có A√B = √(A²B). Với A < 0 và B ≥ 0, ta có A√B = −√(A²B). Trong cả hai trường hợp, điều kiện bắt buộc là B ≥ 0, vì biểu thức dưới dấu căn bậc hai không bao giờ được âm. Thừa số A được bình phương rồi mới đưa vào trong căn — A² luôn không âm nên việc đưa vào là an toàn, còn dấu của A thì được "giữ lại" ở phía trước dấu căn.

Bạn hãy xem công thức đầu tiên hoạt động như thế nào qua ví dụ gốc của bài: 3√5. Ở đây A = 3 (dương) và B = 5. Bạn bình phương thừa số 3 được 9, rồi nhân với 5 trong căn: 3√5 = √(9 × 5) = √45. Kết quả √45 là một căn thức duy nhất, không còn thừa số nào đứng ngoài nữa. Bạn có thể kiểm tra lại bằng máy tính: 3√5 ≈ 3 × 2,236 = 6,708, còn √45 ≈ 6,708 — khớp nhau. Nếu muốn tính nhanh các giá trị căn bậc hai như thế này, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Công thức thứ hai xử lí trường hợp A âm, và đây là chỗ nhiều bạn vấp nhất. Ví dụ −2√5: A = −2 (âm), B = 5. Bạn bình phương A được (−2)² = 4, đưa vào trong căn thành √20, nhưng vì A âm nên kết quả phải mang dấu trừ: −2√5 = −√20. Bạn đừng viết −2√5 = √20, vì √20 ≈ 4,472 là số dương trong khi −2√5 ≈ −4,472 là số âm — hai số đối nhau, không thể bằng nhau. Quy tắc nhớ rất đơn giản: bình phương thì dấu mất, nên bạn phải "trả lại" dấu trừ ra ngoài dấu căn sau khi đưa thừa số vào.

Một điểm nữa bạn cần nhớ là công thức này chỉ áp dụng cho thừa số đứng ngay trước dấu căn, nhân với căn thức. Nếu biểu thức của bạn là 2 + √3 thì số 2 không phải thừa số của √3 — nó là một hạng tử cộng riêng, bạn không được đưa nó vào trong căn. Tương tự, trong biểu thức 3√5 + 2√5, bạn chỉ đưa từng thừa số vào từng căn một, không được gộp 3 và 2 lại rồi đưa chung. Muốn rút gọn những biểu thức như thế, bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm để nắm chắc điều kiện xác định của căn thức trước đã.

2. Vì sao phải bình phương thừa số trước khi đưa vào?

Nhiều bạn thắc mắc: vì sao 3√5 lại bằng √45 chứ không phải √15? Câu trả lời nằm ở định nghĩa của căn bậc hai. Số 3 có thể viết thành √9, vì (√9)² = 9 và √9 = 3. Vậy 3√5 = √9 × √5. Theo công thức nhân hai căn thức, √9 × √5 = √(9 × 5) = √45. Bạn thấy không, thừa số 3 phải "hóa thân" thành √9 trước khi chui vào trong căn — và √9 chính là căn bậc hai của 3². Đó là lí do công thức yêu cầu bình phương A: A = √(A²) với A ≥ 0, nên A√B = √(A²) × √B = √(A²B). Nếu muốn ôn lại công thức nhân hai căn thức, bạn hãy xem lại bài tính chất của phép nhân các số thực — ở đó, quy tắc nhân các số thực cũng là nền tảng của phép nhân căn thức.

Với A âm, lập luận tương tự nhưng có thêm một bước đổi dấu. Số −2 có thể viết thành −√4, vì √4 = 2. Vậy −2√5 = −√4 × √5 = −√20. Dấu trừ đứng ngoài, không bao giờ chui vào trong dấu căn được, vì trong căn chỉ chứa số không âm. Bạn hãy ghi nhớ hình ảnh này: thừa số A giống như một người muốn vào nhà (dấu căn) thì phải "cởi giày" — tức là bình phương — ở cửa, còn chiếc áo khoác dấu trừ thì phải để ngoài hiên, không được mang vào nhà.

Công thức đưa vào trong cũng là chìa khóa để so sánh hai số chứa căn. Muốn so sánh 5√2 và 4√3, bạn đưa cả hai vào trong: 5√2 = √50, 4√3 = √48. Vì 50 > 48 nên √50 > √48, tức là 5√2 > 4√3. Cách làm này nhanh và chắc chắn hơn nhiều so với việc bấm máy tính rồi so sánh số thập phân, vì số thập phân chỉ là gần đúng. Trong các bài kiểm tra không cho dùng máy tính, đây chính là cách duy nhất để so sánh chính xác hai số dạng a√b.

3. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Đưa thừa số vào trong dấu căn: 2√3.
Thừa số A = 2 (dương), B = 3.
Bình phương thừa số: 2² = 4.
Nhân với B trong căn: 4 × 3 = 12.
Vậy 2√3 = √12. Kiểm tra: 2√3 ≈ 2 × 1,732 = 3,464, còn √12 ≈ 3,464 — khớp nhau.

Ví dụ 2 (thừa số âm): Đưa thừa số vào trong dấu căn: −2√5.
Thừa số A = −2 (âm), B = 5.
Bình phương thừa số: (−2)² = 4.
Đưa vào trong căn: √20, nhưng vì A âm nên phải giữ dấu trừ ở ngoài.
Vậy −2√5 = −√20. Kiểm tra: −2√5 ≈ −4,472, còn −√20 ≈ −4,472 — khớp nhau.

Ví dụ 3 (so sánh hai số): So sánh 5√2 và 4√3.
Đưa thừa số vào trong: 5√2 = √(25 × 2) = √50; 4√3 = √(16 × 3) = √48.
So sánh hai số trong căn: 50 > 48 nên √50 > √48.
Vậy 5√2 > 4√3. Bạn thấy không, chỉ cần đưa vào trong là bài toán so sánh trở nên hiển nhiên.

Ví dụ 4 (thừa số chứa biến): Đưa thừa số vào trong dấu căn: x√3 với x < 0.
Thừa số A = x (âm vì x < 0), B = 3.
Bình phương thừa số: x².
Đưa vào trong căn: √(3x²), nhưng vì x âm nên phải giữ dấu trừ ở ngoài.
Vậy x√3 = −√(3x²) với x < 0. Nếu x ≥ 0 thì kết quả là √(3x²) không có dấu trừ. Bạn hãy luôn xét dấu của biến trước khi đưa vào — đó là điểm phân biệt học sinh khá với học sinh giỏi ở dạng bài này.

4. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Quên bình phương thừa số.
Nhiều bạn viết 3√5 = √15 — chỉ nhân 3 với 5 mà không bình phương 3. Kết quả sai hoàn toàn: √15 ≈ 3,873 trong khi 3√5 ≈ 6,708. Cách tránh: mỗi lần đưa vào, bạn hãy viết rõ bước trung gian √(3² × 5) rồi mới tính tiếp. Viết rõ bước bình phương ra giấy nháp, đừng tính nhẩm gộp.

Lỗi 2: Quên đổi dấu khi thừa số âm.
Nhiều bạn viết −2√5 = √20 — mất dấu trừ. √20 là số dương, còn −2√5 là số âm, hai số này đối nhau chứ không bằng nhau. Cách tránh: ngay khi thấy thừa số âm, bạn hãy viết dấu trừ ra ngoài dấu căn trước, rồi mới tính phần trong căn: −2√5 = −√(4 × 5) = −√20.

Lỗi 3: Bình phương sai dấu của thừa số âm.
Nhiều bạn tính (−2)² = −4 — sai, vì bình phương của một số âm luôn là số dương: (−2)² = 4. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc "âm nhân âm ra dương": (−2) × (−2) = 4. Nếu muốn ôn lại quy tắc dấu khi nhân hai số nguyên, bạn hãy xem lại bài tính chất phép cộng, phép trừ các số thực.

Lỗi 4: Đưa thừa số vào khi B < 0.
Nhiều bạn đưa thừa số vào biểu thức 2√(−3) mà không nhận ra √(−3) không xác định trong tập số thực. Công thức chỉ dùng được khi B ≥ 0. Cách tránh: trước khi đưa vào, bạn hãy kiểm tra biểu thức dưới dấu căn có không âm không. Nếu B < 0 thì biểu thức vô nghĩa, không có gì để biến đổi.

Lỗi 5: Đưa cả hạng tử cộng vào trong căn.
Nhiều bạn viết 2 + √3 = √(4 × 3) = √12 — sai hoàn toàn, vì 2 là hạng tử cộng, không phải thừa số nhân với √3. Cách tránh: bạn hãy nhìn kĩ dấu giữa thừa số và căn: chỉ khi nào là dấu nhân (hoặc viết liền nhau như 3√5) thì mới được đưa vào. Gặp dấu cộng, dấu trừ thì dừng lại ngay.

5. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết rõ bước bình phương thừa số ra giấy nháp trước khi kết luận — viết rõ là một nửa của bài làm.

Câu 1: Đưa thừa số 2 vào trong dấu căn của 2√7 ta được kết quả nào sau đây?
A. √14
B. √28
C. √7
D. √21

Câu 2: Đưa thừa số −3 vào trong dấu căn của −3√2 ta được kết quả nào sau đây?
A. √18
B. −√6
C. −√18
D. √6

Câu 3: So sánh hai số 4√3 và 3√5, khẳng định nào sau đây đúng?
A. 4√3 > 3√5
B. 4√3 < 3√5
C. 4√3 = 3√5
D. Không so sánh được

Câu 4: Đưa thừa số 5x vào trong dấu căn của 5x√x với x > 0 ta được kết quả nào sau đây?
A. √(5x³)
B. √(25x²)
C. √(25x³)
D. √(5x²)

Câu 5: Trong các số sau đây, số nào lớn nhất?
A. 2√6
B. 3√3
C. 4√2
D. 5√2

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (√28) đúng: Bình phương thừa số 2 được 4, nhân với 7 trong căn: 2√7 = √(4 × 7) = √28. Đáp án A (√14) sai vì quên bình phương thừa số — chỉ nhân 2 × 7 = 14. Đáp án C (√7) sai vì bỏ mất thừa số 2. Đáp án D (√21) sai vì 21 = 3 × 7, không phải 4 × 7.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (−√18) đúng: Bình phương thừa số −3 được 9, nhân với 2 trong căn thành √18, nhưng vì thừa số âm nên phải giữ dấu trừ ở ngoài: −3√2 = −√18. Đáp án A (√18) sai vì mất dấu trừ — √18 là số dương. Đáp án B (−√6) sai vì quên bình phương: (−3)² = 9 chứ không phải 3. Đáp án D (√6) sai cả dấu lẫn phép bình phương.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A (4√3 > 3√5) đúng: Đưa vào trong: 4√3 = √(16 × 3) = √48; 3√5 = √(9 × 5) = √45. Vì 48 > 45 nên √48 > √45, tức là 4√3 > 3√5. Đáp án B sai vì đảo chiều bất đẳng thức. Đáp án C sai vì 48 ≠ 45. Đáp án D sai vì đưa vào trong là cách so sánh chính xác, hoàn toàn so sánh được.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C (√(25x³)) đúng: Bình phương thừa số 5x được 25x², nhân với x trong căn: 5x√x = √(25x² × x) = √(25x³). Đáp án A (√(5x³)) sai vì quên bình phương hệ số 5 — 5² = 25 chứ không phải 5. Đáp án B (√(25x²)) sai vì quên nhân với x trong căn. Đáp án D (√(5x²)) sai cả hai chỗ: không bình phương 5 và không nhân với x.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D (5√2) đúng: Đưa tất cả vào trong: 2√6 = √24; 3√3 = √27; 4√2 = √32; 5√2 = √50. Số lớn nhất trong căn là 50 nên 5√2 lớn nhất. Đáp án A sai vì √24 nhỏ nhất. Đáp án B sai vì √27 chỉ lớn hơn √24. Đáp án C sai vì √32 < √50.

6. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Đưa thừa số vào trong dấu căn khác gì đưa thừa số ra ngoài dấu căn?
Đáp: Hai phép biến đổi ngược nhau. Đưa ra ngoài là tách một thừa số chính phương từ trong căn ra ngoài: √(a²b) = |a|√b. Đưa vào trong là nhét một thừa số từ ngoài căn vào: A√B = √(A²B) (A ≥ 0). Bạn dùng phép đưa ra khi muốn rút gọn căn thức, dùng phép đưa vào khi muốn so sánh hai số hoặc gộp nhiều căn thành một căn duy nhất.

Hỏi: Vì sao thừa số âm đưa vào trong lại phải thêm dấu trừ ở ngoài?
Đáp: Vì bình phương làm mất dấu: (−3)² = 9 = 3². Nếu bạn viết −3√2 = √18 thì vế trái là số âm còn vế phải là số dương — hai vế không thể bằng nhau. Dấu trừ phải được "trả lại" ra ngoài dấu căn để giữ đúng giá trị của biểu thức ban đầu.

Hỏi: Có đưa được thừa số là phân số vào trong dấu căn không?
Đáp: Được, với cùng một quy tắc. Ví dụ (1/2)√8 = √((1/4) × 8) = √2. Bạn bình phương phân số rồi nhân với biểu thức trong căn như bình thường. Chỉ cần nhớ điều kiện B ≥ 0 và xét dấu của thừa số.

Hỏi: Đưa thừa số vào trong dấu căn dùng để làm gì trong thực tế?
Đáp: Chủ yếu để so sánh hai số chứa căn mà không cần máy tính, và để rút gọn biểu thức khi cộng trừ các căn thức không đồng dạng. Ví dụ trong bài toán tính chu vi, diện tích có cạnh là số vô tỉ, bạn thường cần so sánh các độ dài — đưa vào trong là cách nhanh nhất.

Hỏi: Sau khi đưa vào trong, có đưa lại ra ngoài được không?
Đáp: Được, vì hai phép biến đổi ngược nhau. Ví dụ √45 = √(9 × 5) = 3√5 — bạn vừa đưa 3 ra ngoài. Bạn có thể đưa vào rồi đưa ra tùy theo dạng nào tiện hơn cho bài toán đang làm.

7. Kết luận

Đưa thừa số vào trong dấu căn chỉ gói gọn trong hai công thức: A√B = √(A²B) khi A ≥ 0 và A√B = −√(A²B) khi A < 0, với điều kiện B ≥ 0. Ba điều bạn phải nhớ là bình phương thừa số trước khi đưa vào, trả lại dấu trừ ra ngoài khi thừa số âm, và kiểm tra B không âm trước khi biến đổi. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để so sánh hai số chứa căn, rút gọn biểu thức và xử lí những bài toán biến đổi căn thức trong chương trình lớp 9 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để học tiếp phép trục căn thức ở mẫu, vì cả hai đều là những phép biến đổi làm cho biểu thức chứa căn trở nên gọn gàng hơn. Nếu muốn ôn lại cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn — phép biến đổi ngược của bài này — bạn hãy xem lại bài giá trị tuyệt đối của một số thực, vì dấu giá trị tuyệt đối cũng xuất hiện khi bạn đưa thừa số ra ngoài.