Sáng nay, nhiệt độ ngoài trời là −2,5°C. Đến trưa, trời ấm lên 7,3°C. Đến tối, nhiệt độ lại giảm 4,8°C. Hỏi tối nay nhiệt độ là bao nhiêu? Bạn có thể tính lần lượt: −2,5 + 7,3 = 4,8, rồi 4,8 − 4,8 = 0. Đáp số 0°C — một con số tròn trĩnh đến bất ngờ. Nhưng điều thú vị hơn nằm ở cách tính: bạn đã cộng một số âm, cộng một số thập phân, rồi trừ một số thập phân — tất cả đều là số thực. Và phép cộng các số thực tuân theo đúng bốn tính chất quen thuộc mà bạn đã gặp từ lớp 6: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0, cộng với số đối. Bốn tính chất này là "luật chơi" chung của mọi phép cộng — dù số đó là số tự nhiên, số nguyên, phân số, số thập phân hay cả số vô tỉ như √2 và π.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", Chương II dạy rằng tập hợp số thực gồm số hữu tỉ và số vô tỉ gộp lại, kí hiệu là R. Mọi số bạn từng gặp — 2; −3/4; 0,5; √2; π — đều là số thực. Và vì phép cộng số thực "kế thừa" mọi tính chất của phép cộng số hữu tỉ, bạn không cần học lại từ đầu: chỉ cần mở rộng tầm mắt ra một chút, từ phân số sang cả căn thức. Bài này sẽ hệ thống lại bốn tính chất, thêm một "người bạn mới" là phép trừ — vốn chỉ là phép cộng trá hình — và dạy bạn cách tính nhanh những biểu thức có cả số thập phân lẫn căn thức. Nếu bạn đã nắm tính chất phép cộng số nguyên và các phép tính với phân số thì bài này sẽ trôi chảy như một buổi ôn tập — nhưng đừng chủ quan, vì phần căn thức đồng dạng ở cuối bài là nơi nhiều bạn mất điểm nhất.
1. Số thực gồm những số nào? Nhắc lại trong một phút
Tập hợp số thực, kí hiệu là R, gồm hai "họ" số: số hữu tỉ Q — những số viết được dưới dạng phân số a/b với a, b nguyên, b khác 0 — và số vô tỉ — những số thập phân vô hạn không tuần hoàn như √2 ≈ 1,41421356..., π ≈ 3,14159265... Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ, mọi số thập phân hữu hạn đều là số hữu tỉ, còn các căn bậc hai của số không chính phương như √2, √3, √5 đều là số vô tỉ. Gộp cả hai họ lại, bạn có trục số thực: một đường thẳng mà mỗi điểm trên đó ứng với đúng một số thực, và mỗi số thực ứng với đúng một điểm trên đó. Đây là bức tranh toàn cảnh: từ nay, khi đề bài nói "số thực a, b, c", bạn hiểu rằng a, b, c có thể là bất kì số nào trên trục số — nguyên, phân số, thập phân hay căn thức đều được.
Vì sao phải gộp hai họ số này lại với nhau? Vì trong đời sống, độ dài, khối lượng, nhiệt độ, thời gian đều là số thực — có những đại lượng đo được bằng số hữu tỉ, có những đại lượng như đường chéo hình vuông cạnh 1 lại dài đúng √2, một số vô tỉ. Toán học cần một tập hợp đủ lớn để chứa mọi kết quả đo đạc, và đó là tập số thực. Tin vui là: phép cộng và phép trừ trên tập số thực vẫn tuân theo đúng các quy tắc bạn đã biết. Cộng hai số thực thì kết quả vẫn là một số thực; trừ hai số thực thì kết quả vẫn là một số thực. Tính chất "đóng kín" này nghe có vẻ hiển nhiên, nhưng chính nó đảm bảo rằng bạn không bao giờ "rơi khỏi" tập số thực khi cộng trừ — khác hẳn phép chia cho 0, vốn không có đáp số trong bất kì tập số nào.
2. Giao hoán và kết hợp: đổi chỗ, đổi nhóm thoải mái
Hai tính chất đầu tiên của phép cộng số thực là giao hoán và kết hợp — hai "người bạn cũ" từ thời số tự nhiên. Tính chất giao hoán nói rằng đổi chỗ hai số hạng thì tổng không đổi: a + b = b + a, với mọi số thực a, b. Ví dụ trong brief: 1,5 + 2,5 = 2,5 + 1,5 = 4. Đổi chỗ 1,5 và 2,5, tổng vẫn là 4. Ví dụ với căn thức: √2 + 3 = 3 + √2 — vẫn đúng, vì √2 cũng là một số thực như mọi số khác. Tính chất kết hợp nói rằng khi cộng ba số trở lên, bạn gom nhóm hai số nào trước cũng được: (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ (1,5 + 2,5) + 3,5 = 4 + 3,5 = 7,5; gom nhóm khác: 1,5 + (2,5 + 3,5) = 1,5 + 6 = 7,5 — cùng một đáp số.
Hai tính chất này có ích nhất khi chúng đi cùng nhau trong một bài tính nhanh. Muốn cộng nhiều số thực, bạn cứ đổi chỗ để đưa các số "đẹp" về gần nhau, rồi đổi nhóm để gom chúng lại trước. Ví dụ tính 2,5 + √3 + 1,5 − √3 + 4: nhìn qua, bạn thấy √3 và −√3 là một cặp số đối nhau, 2,5 và 1,5 cộng lại bằng 4 — một số tròn. Đổi chỗ và gom nhóm: (2,5 + 1,5) + (√3 − √3) + 4 = 4 + 0 + 4 = 8. Chỉ ba bước nhẩm là xong, trong khi cộng lần lượt từ trái sang phải bạn phải làm việc với số vô tỉ √3 ở giữa chừng. Nhưng nhớ kĩ giới hạn: giao hoán và kết hợp CHỈ đúng với phép cộng (và phép nhân), không đúng với phép trừ. (8 − 3) − 2 = 3, còn 8 − (3 − 2) = 7 — đổi nhóm trong phép trừ làm đổi kết quả ngay. Muốn đổi nhóm trong phép trừ, bạn phải đổi phép trừ thành phép cộng với số đối trước đã — xem mục 4.
3. Cộng với số 0 và cộng với số đối: hai "người bạn" đặc biệt
Hai tính chất tiếp theo liên quan đến hai số đặc biệt: số 0 và số đối. Tính chất cộng với số 0 nói rằng cộng một số với 0 thì được chính số đó: a + 0 = 0 + a = a. Số 0 là "phần tử trung hòa" của phép cộng — cộng nó vào thì tổng không thay đổi, giống như thêm 0 đồng vào ví thì ví vẫn nguyên số tiền. Ví dụ 3,7 + 0 = 3,7; √5 + 0 = √5. Tính chất cộng với số đối nói rằng cộng một số với số đối của nó thì được 0: a + (−a) = 0. Số đối của a là số −a — cùng giá trị tuyệt đối, khác dấu. Ví dụ 2,5 + (−2,5) = 0; √2 + (−√2) = 0; π + (−π) = 0. Hai tính chất này nghe thì đơn giản, nhưng chúng là chìa khóa của mọi bài tính nhanh: mỗi khi thấy một cặp số đối nhau trong một tổng dài, bạn gom chúng lại thành 0 và "xóa" khỏi bài toán.
Một hệ quả quan trọng: nếu a + b = 0 thì b là số đối của a, tức là b = −a. Hệ quả này giúp bạn tìm số đối một cách nhanh chóng và cũng là cơ sở của quy tắc chuyển vế: chuyển một số hạng sang vế kia thì đổi dấu của nó. Ví dụ giải phương trình x + 2,5 = 7: chuyển 2,5 sang vế phải, x = 7 − 2,5 = 4,5. Đằng sau quy tắc chuyển vế chính là tính chất cộng với số đối: cộng cả hai vế với −2,5 thì vế trái còn x, vế phải thành 7 − 2,5. Hiểu được mối liên hệ này, bạn sẽ không bao giờ quên đổi dấu khi chuyển vế nữa. Và khi gặp biểu thức có nhiều số đối nhau, hãy gom chúng trước tiên — đó là bước đầu tiên trong mọi bài tính nhanh của chương này.
4. Phép trừ là phép cộng với số đối: một mẹo đổi cả bài toán
Phép trừ hai số thực được định nghĩa thông qua phép cộng: a − b = a + (−b). Nghĩa là: muốn trừ số b, bạn cộng với số đối của b. Ví dụ 5 − (−2) = 5 + 2 = 7; 1,5 − 2,5 = 1,5 + (−2,5) = −1. Nhờ định nghĩa này, mọi phép trừ đều biến thành phép cộng, và bạn được dùng thoải mái tính chất giao hoán, kết hợp cho cả biểu thức. Đây là mẹo quan trọng nhất của bài này: khi gặp một biểu thức vừa cộng vừa trừ, hãy đổi tất cả các phép trừ thành phép cộng với số đối, rồi tự do đổi chỗ, đổi nhóm. Ví dụ tính 5,6 − 2,4 + 1,4: đổi thành 5,6 + (−2,4) + 1,4, rồi gom 5,6 với 1,4 trước: (5,6 + 1,4) + (−2,4) = 7 − 2,4 = 4,6. Nếu cứ trừ lần lượt từ trái sang phải, bạn cũng ra 4,6, nhưng cách đổi thành phép cộng giúp bạn nhìn ra cặp số đẹp 5,6 + 1,4 = 7 ngay từ đầu.
Mẹo này cũng giải thích vì sao phép trừ không có tính giao hoán và kết hợp. Viết dưới dạng cộng, a − b = a + (−b), và đổi chỗ hai số hạng thì được (−b) + a — giá trị vẫn bằng a − b. Nhưng nếu bạn "đổi chỗ" một cách máy móc ngay trong phép trừ, viết thành b − a, thì đó là một số hoàn toàn khác: b − a = −(a − b). Ví dụ 5 − 3 = 2, còn 3 − 5 = −2. Hai kết quả đối nhau. Bài học: đừng bao giờ đổi chỗ trong phép trừ khi chưa đổi nó thành phép cộng. Và khi bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước, nhớ đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc: −(2,5 − 1,5) = −2,5 + 1,5 = −1. Đây là quy tắc dấu ngoặc — một trong những lỗi sai phổ biến nhất của học sinh lớp 7.
5. Tính nhanh với số thực: gom số đối, gom số đẹp, gom căn thức đồng dạng
Bây giờ, hãy ráp bốn tính chất lại thành một quy trình tính nhanh hoàn chỉnh. Bước một: đổi mọi phép trừ thành phép cộng với số đối. Bước hai: tìm các cặp số đối nhau và gom chúng thành 0. Bước ba: tìm các cặp số cộng lại bằng số tròn (số nguyên, số có một chữ số thập phân) và gom chúng lại. Bước bốn: gom các căn thức đồng dạng — tức là các căn thức có cùng số trong dấu căn, ví dụ √2 + 3√2 = 4√2, giống như gom 1x + 3x = 4x trong đại số. Ví dụ trong brief: √2 + 3√2 = 4√2 — vì cả hai số hạng đều chứa √2, bạn cộng các hệ số 1 + 3 = 4 rồi nhân với √2. Nhưng √2 + √3 thì không gom được, vì hai căn thức khác nhau — cứ để nguyên như vậy.
Hãy xem một bài tính nhanh mẫu: tính 1,5 + √2 + 2,5 + 3√2 − √2. Bước một: đổi phép trừ thành cộng: 1,5 + √2 + 2,5 + 3√2 + (−√2). Bước hai: gom số đối — √2 và −√2 triệt tiêu nhau. Bước ba: gom số đẹp — 1,5 + 2,5 = 4. Bước bốn: còn lại 3√2. Kết quả: 4 + 3√2. Cả bài chỉ còn hai số hạng, gọn gàng và chính xác. Một ví dụ nữa với số thập phân: tính 0,25 + 1,75 − 0,75 + 2,25. Gom khéo: 0,25 + 2,25 = 2,5; 1,75 − 0,75 = 1; tổng là 3,5. Bạn thấy không, tính nhanh không phải là tính ẩu — mà là sắp xếp lại phép tính cho có lợi trước khi tính. Người tính nhanh là người biết nhìn ra cặp số đẹp trước khi đặt bút.
6. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính nhanh 1,5 + 2,5 + (−1,5).
Lời giải: Gom 1,5 với (−1,5) trước vì chúng là cặp số đối: 1,5 + (−1,5) = 0. Còn lại 0 + 2,5 = 2,5. Vậy kết quả là 2,5. Nếu cộng lần lượt từ trái sang phải: 1,5 + 2,5 = 4, rồi 4 + (−1,5) = 2,5 — cùng đáp số nhưng phải tính với số lớn hơn.
Ví dụ 2. Tính √2 + 3√2 − √2.
Lời giải: Đổi phép trừ thành phép cộng: √2 + 3√2 + (−√2). Gom √2 với (−√2): hai số đối nhau cộng lại bằng 0. Còn lại 3√2. Vậy kết quả là 3√2. Bạn cũng có thể gom trực tiếp các căn thức đồng dạng: (1 + 3 − 1)√2 = 3√2 — cộng các hệ số 1, 3, −1 lại với nhau.
Ví dụ 3. Tính 5,6 − 2,4 + 1,4.
Lời giải: Đổi phép trừ thành phép cộng: 5,6 + (−2,4) + 1,4. Gom 5,6 với 1,4 trước (giao hoán, kết hợp): 5,6 + 1,4 = 7. Còn lại 7 + (−2,4) = 4,6. Vậy kết quả là 4,6. Kiểm tra bằng cách tính lần lượt: 5,6 − 2,4 = 3,2; 3,2 + 1,4 = 4,6 — khớp.
Ví dụ 4. Nhiệt độ buổi sáng là −2,5°C. Buổi trưa, nhiệt độ tăng 7,3°C. Buổi tối, nhiệt độ giảm 4,8°C. Hỏi nhiệt độ buổi tối là bao nhiêu?
Lời giải: Nhiệt độ buổi tối là −2,5 + 7,3 − 4,8. Tính lần lượt: −2,5 + 7,3 = 4,8; 4,8 − 4,8 = 0. Vậy nhiệt độ buổi tối là 0°C. Bạn cũng có thể gom 7,3 với −4,8 trước: 7,3 − 4,8 = 2,5, rồi −2,5 + 2,5 = 0 — vẫn ra 0°C, và cách gom này cho thấy ngay hai cặp số đối nhau ẩn trong bài toán.
7. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: cộng hai số đối nhau mà ra gấp đôi. Ví dụ 3,5 + (−3,5) = 7 là sai; đáp án đúng là 0. Hai số đối nhau cộng lại bằng 0, không phải bằng hai lần số đó. Lỗi này thường xảy ra khi bạn nhẩm quá nhanh và cộng giá trị tuyệt đối thay vì cộng chính các số.
Lỗi thứ hai: trừ một số âm mà không đổi dấu. Ví dụ 5 − (−2) = 3 là sai; đáp án đúng là 5 + 2 = 7. Trừ một số âm bằng cộng số dương tương ứng — hai dấu trừ gặp nhau thành dấu cộng.
Lỗi thứ ba: đổi nhóm tùy tiện trong phép trừ. Ví dụ (8 − 3) − 2 = 3, nhưng 8 − (3 − 2) = 7 — hai kết quả khác nhau. Phép trừ không có tính kết hợp, nên bạn không được dời dấu ngoặc trong phép trừ. Muốn đổi nhóm, hãy đổi phép trừ thành phép cộng với số đối trước đã.
Lỗi thứ tư: cộng hai căn thức khác dạng. Ví dụ √2 + √3 = √5 là sai hoàn toàn; đáp án đúng là cứ để nguyên √2 + √3. Chỉ các căn thức đồng dạng — cùng số trong dấu căn — mới cộng được với nhau: √2 + 3√2 = 4√2, còn √2 + √3 thì không gom được.
Lỗi thứ năm: tưởng cộng với 0 thì ra 0. Ví dụ 3,7 + 0 = 0 là sai; đáp án đúng là 3,7. Số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng: cộng với 0 thì số đó không thay đổi. Nhầm lẫn này thường xuất phát từ việc nhớ lộn với phép nhân, vì a × 0 = 0.
8. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính 2,5 + (−2,5) + 7.
A. 7
B. 0
C. 2,5
D. −7
Câu 2. Tính √5 + 2√5 − 3√5.
A. √5
B. 0
C. 6√5
D. −√5
Câu 3. Tính 1,2 + 3,8 − 0,8.
A. 5,8
B. 4,8
C. 4,2
D. 3,2
Câu 4. Phép tính nào sau đây dùng tính chất cộng với số đối?
A. 7 + (−7) = 0
B. 3 + 5 = 5 + 3
C. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
D. 9 + 0 = 9
Câu 5. Tính nhanh 0,5 + 1,5 + (−0,5) + 2,5.
A. 5
B. 3
C. 4,5
D. 4
9. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | A | D |
Câu 1 — Đáp án A. 2,5 và −2,5 là cặp số đối nhau nên cộng lại bằng 0; còn lại 0 + 7 = 7. Đáp án B sai vì tưởng cả ba số cộng lại bằng 0 — quên mất số 7 đứng một mình. Đáp án C sai vì lấy 2,5 — đó là một số hạng trong bài, không phải kết quả. Đáp án D sai vì lấy −7 — nhầm dấu của đáp án đúng.
Câu 2 — Đáp án B. Ba căn thức đều đồng dạng (cùng √5) nên cộng các hệ số: 1 + 2 − 3 = 0, kết quả là 0√5 = 0. Đáp án A sai vì chỉ lấy √5 — đó là số hạng đầu tiên, không phải tổng. Đáp án C sai vì cộng tất cả các hệ số kể cả dấu: 1 + 2 + 3 = 6 mà quên mất dấu trừ trước 3√5. Đáp án D sai vì lấy −√5 — nhầm dấu của phép trừ cuối cùng.
Câu 3 — Đáp án C. Tính lần lượt: 1,2 + 3,8 = 5; 5 − 0,8 = 4,2. Hoặc gom 3,8 với −0,8 trước: 3,8 − 0,8 = 3, rồi 1,2 + 3 = 4,2. Đáp án A sai vì lấy 1,2 + 3,8 = 5 rồi cộng thêm 0,8 thành 5,8 — quên mất phép trừ. Đáp án B sai vì lấy 1,2 + 3,8 = 5 rồi trừ nhầm 0,2 thay vì 0,8. Đáp án D sai vì lấy 1,2 + 3,8 = 5 rồi trừ nhầm 1,8 thay vì 0,8.
Câu 4 — Đáp án A. 7 + (−7) = 0 chính là tính chất cộng với số đối: một số cộng với số đối của nó bằng 0. Đáp án B là tính chất giao hoán (đổi chỗ hai số hạng). Đáp án C là tính chất kết hợp (đổi nhóm). Đáp án D là tính chất cộng với số 0.
Câu 5 — Đáp án D. Gom 0,5 với (−0,5) thành 0, gom 1,5 với 2,5 thành 4, tổng là 0 + 4 = 4. Đáp án A sai vì cộng tất cả các giá trị tuyệt đối: 0,5 + 1,5 + 0,5 + 2,5 = 5 — quên mất dấu âm của −0,5. Đáp án B sai vì chỉ tính 1,5 + 2,5 = 4 rồi trừ nhầm 1. Đáp án C sai vì lấy 0,5 + 1,5 + 2,5 = 4,5 rồi quên mất −0,5.
10. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Số thực khác số hữu tỉ ở điểm nào?
Đáp: Số thực gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ. Số hữu tỉ viết được dưới dạng phân số a/b; số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn như √2 hay π, không viết được thành phân số. Gộp cả hai họ lại thì được tập số thực R.
Hỏi: Vì sao phép trừ không có tính giao hoán?
Đáp: Vì a − b và b − a là hai số đối nhau, không bằng nhau (trừ khi a = b). Ví dụ 5 − 3 = 2, còn 3 − 5 = −2. Phép trừ thực chất là phép cộng với số đối: a − b = a + (−b), nên muốn đổi chỗ thì phải đổi phép trừ thành phép cộng trước đã.
Hỏi: Cộng hai số vô tỉ có luôn ra số vô tỉ không?
Đáp: Không. Ví dụ √2 + (−√2) = 0 — tổng của hai số vô tỉ lại là số hữu tỉ (số 0). Tương tự, √2 · √2 = 2 cũng là số hữu tỉ. Vì vậy đừng đoán mò: hãy tính ra rồi mới kết luận.
Hỏi: Khi nào được bỏ ngoặc trong biểu thức?
Đáp: Ngoặc có dấu cộng đứng trước thì bỏ ngoặc giữ nguyên dấu các số hạng: +(a − b) = a − b. Ngoặc có dấu trừ đứng trước thì bỏ ngoặc phải đổi dấu tất cả các số hạng: −(a − b) = −a + b. Đây là quy tắc dấu ngoặc — sai ở đây là sai cả bài.
Hỏi: Làm sao tính nhanh biểu thức có cả số thập phân và căn thức?
Đáp: Đổi mọi phép trừ thành phép cộng với số đối, rồi gom theo ba nhóm: cặp số đối thành 0, cặp số thập phân cộng lại thành số tròn, các căn thức đồng dạng cộng hệ số với nhau. Ba nhóm này xử lý độc lập, không lẫn vào nhau — làm xong ba nhóm là xong bài.
11. Kết luận
Phép cộng các số thực có bốn tính chất: giao hoán (đổi chỗ không đổi tổng), kết hợp (đổi nhóm không đổi tổng), cộng với số 0 (số đó không đổi), cộng với số đối (tổng bằng 0). Phép trừ không có bốn tính chất này — nhưng nhờ định nghĩa a − b = a + (−b), bạn có thể đổi mọi phép trừ thành phép cộng rồi dùng thoải mái bốn tính chất. Thêm kĩ năng gom căn thức đồng dạng, bạn đã đủ sức tính nhanh mọi biểu thức số thực trong chương trình lớp 7. Hãy làm lại 5 bài tập ở trên mà không nhìn đáp án, đặc biệt chú ý câu 2 — vì gom căn thức đồng dạng là kĩ năng mới nhất và cũng dễ nhầm nhất của bài này. Khi cần kiểm tra nhanh một biểu thức dài, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn. Ở bài tiếp theo, chúng ta sẽ bước sang một chương mới: tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau — nơi mà phép nhân chéo sẽ trở thành "vũ khí" chính của bạn.