Trong cùng một đường tròn, hai dây dài ngắn khác nhau thì dây nào ở gần tâm hơn? Câu trả lời nghe có vẻ hiển nhiên khi bạn nhìn hình: dây càng dài thì càng "ôm" sát tâm, dây ngắn thì bị đẩy ra xa mép đường tròn. Nhưng trong toán học, cảm giác nhìn hình chưa đủ — chúng ta cần một công thức để đo chính xác dây cách tâm bao xa, và một quy tắc để so sánh hai dây mà không cần đo từng dây một. Bài này trình bày đúng hai điều đó: công thức tính khoảng cách từ tâm đến dây d = √(R² − (l/2)²) và định lý hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Nếu bài trước bạn đã quen với công thức (l/2)² + d² = R² thì bài này là "nửa còn lại" của cùng một câu chuyện: thay vì tìm độ dài dây, ta tìm khoảng cách từ tâm đến dây, rồi từ đó so sánh các dây với nhau. Chỉ cần nắm vững tam giác vuông có cạnh huyền là bán kính, bạn sẽ làm được mọi bài toán dạng này trong chưa đầy một phút.
1. Công thức tính khoảng cách từ tâm đến dây
Cho đường tròn (O; R) và một dây có độ dài l. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm O xuống dây, đặt d = OH là khoảng cách từ tâm đến dây. Theo định lý đường kính vuông góc với dây đã học ở bài trước, H là trung điểm của dây nên mỗi nửa dây dài l/2. Tam giác OHB vuông tại H, với cạnh huyền OB = R và hai cạnh góc vuông OH = d, HB = l/2. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có d² + (l/2)² = R², suy ra d = √(R² − (l/2)²). Đây là công thức trung tâm của bài này.
Bạn hãy đọc công thức d = √(R² − (l/2)²) theo nghĩa hình học: khoảng cách từ tâm đến dây là căn bậc hai của hiệu giữa bình phương bán kính và bình phương nửa dây. Công thức này chỉ có nghĩa khi R² − (l/2)² ≥ 0, tức là l ≤ 2R — đúng như tính chất dây không bao giờ dài hơn đường kính. Khi dây dài đúng bằng đường kính 2R thì d = 0, dây đi qua tâm. Khi dây ngắn dần về 0 thì d tiến dần tới R, dây co lại thành một điểm trên đường tròn.
Từ công thức này, ta rút ra một quy luật rất quan trọng: trong một đường tròn, dây càng dài thì càng gần tâm, dây càng ngắn thì càng xa tâm. Thật vậy, nếu l tăng thì (l/2)² tăng, R² − (l/2)² giảm, nên d giảm. Ngược lại, nếu l giảm thì d tăng. Quy luật này giúp bạn so sánh độ dài hai dây mà không cần tính số đo cụ thể: chỉ cần biết dây nào gần tâm hơn thì dây đó dài hơn. Đây là định lý thứ hai của bài: trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Bạn hãy chú ý điều kiện của định lý so sánh hai dây: hai dây phải nằm trong cùng một đường tròn, hoặc trong hai đường tròn bằng nhau (cùng bán kính). Nếu hai đường tròn có bán kính khác nhau thì không thể so sánh dây chỉ dựa vào khoảng cách từ tâm, vì bán kính đã khác nhau ngay từ đầu. Khi làm bài, bạn hãy kiểm tra điều kiện này trước khi kết luận.
Công thức tính khoảng cách còn cho bạn một cách kiểm tra tính hợp lí của đáp án: khoảng cách từ tâm đến dây luôn nhỏ hơn bán kính R. Nếu bạn tính ra d lớn hơn R thì chắc chắn đã tính sai ở đâu đó — có thể bạn đã lấy nhầm nửa dây làm cả dây, hoặc đã cộng thay vì trừ trong công thức Py-ta-go. Bạn cũng có thể dùng tính chất này để loại đáp án trắc nghiệm: mọi đáp án cho d lớn hơn R đều sai ngay, không cần tính lại.
2. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; 5 cm), dây AB dài 6 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống AB. H là trung điểm của AB nên AH = HB = 6 : 2 = 3 cm. Tam giác OHB vuông tại H với OB = 5 cm, HB = 3 cm. Theo định lý Py-ta-go: OH² = OB² − HB² = 25 − 9 = 16, suy ra OH = 4 cm. Vậy khoảng cách từ tâm đến dây là 4 cm. Bộ ba số 3 – 4 – 5 xuất hiện ở đây: nửa dây 3, khoảng cách 4, bán kính 5. Nếu muốn kiểm tra nhanh phép trừ và căn bậc hai, bạn có thể dùng máy tính Casio online trên ClassOn.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; 10 cm), dây CD dài 12 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây CD.
Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống CD. H là trung điểm của CD nên CH = 12 : 2 = 6 cm. Tam giác OHC vuông tại H với OC = 10 cm, CH = 6 cm. Theo định lý Py-ta-go: OH² = OC² − CH² = 100 − 36 = 64, suy ra OH = 8 cm. Vậy khoảng cách từ tâm đến dây là 8 cm. Bạn hãy so sánh với ví dụ 1: các số ở đây gấp đôi ví dụ 1 (bán kính 10 thay vì 5, nửa dây 6 thay vì 3), nên khoảng cách cũng gấp đôi (8 thay vì 4). Bộ ba 6 – 8 – 10 chính là bộ ba 3 – 4 – 5 nhân đôi.
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; 13 cm), dây MN dài 24 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây MN.
Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống MN. H là trung điểm của MN nên MH = 24 : 2 = 12 cm. Tam giác OHM vuông tại H với OM = 13 cm, MH = 12 cm. Theo định lý Py-ta-go: OH² = OM² − MH² = 169 − 144 = 25, suy ra OH = 5 cm. Vậy khoảng cách từ tâm đến dây là 5 cm. Đây là bộ ba 5 – 12 – 13, một trong những bộ ba Py-ta-go hay gặp nhất trong đề thi. Bạn hãy nhận xét: dây MN dài 24 cm, gần bằng đường kính 26 cm, nên nó ở rất gần tâm — khoảng cách chỉ 5 cm, đúng như quy luật dây càng dài thì càng gần tâm.
Ví dụ 4: Trong đường tròn (O; 13 cm), hai dây AB và CD đều dài 10 cm. Chứng minh hai dây cách đều tâm và tính khoảng cách đó.
Vì AB = CD = 10 cm nên theo định lý, hai dây cách đều tâm O. Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc từ O xuống AB và CD. Mỗi nửa dây dài 5 cm. Tam giác OHB vuông tại H với OB = 13 cm, HB = 5 cm. Theo định lý Py-ta-go: OH² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, suy ra OH = 12 cm. Tương tự, OK = 12 cm. Vậy cả hai dây đều cách tâm 12 cm. Bài này cho thấy sức mạnh của định lý so sánh: chỉ cần biết hai dây bằng nhau là bạn kết luận ngay chúng cách đều tâm, không cần đo từng dây. Muốn ôn lại cách rút gọn căn thức khi gặp số không đẹp, bạn hãy xem bài căn bậc hai và căn thức bậc hai.
3. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Lấy cả dây thay cho nửa dây trong công thức.
Nhiều bạn viết d = √(R² − l²) thay vì d = √(R² − (l/2)²), tức là quên chia đôi độ dài dây trước khi bình phương. Ví dụ dây dài 6 cm, bán kính 5 cm: viết sai cho d = √(25 − 36) là số âm, không tính được. Cách tránh: ngay khi đọc đề, bạn hãy viết "nửa dây = l : 2 = ..." ra nháp trước, rồi mới thay số vào công thức. Đặt tên rõ ràng cho nửa dây sẽ giúp bạn không bao giờ nhầm.
Lỗi 2: Cộng thay vì trừ trong định lý Py-ta-go.
Nhiều bạn viết d² = R² + (l/2)², tức là coi khoảng cách là cạnh huyền. Sai: cạnh huyền của tam giác vuông luôn là bán kính R, còn d và nửa dây là hai cạnh góc vuông. Cách tránh: bạn hãy vẽ tam giác vuông, chỉ rõ cạnh huyền là đoạn từ tâm đến một đầu dây, rồi viết công thức theo đúng thứ tự: cạnh góc vuông thứ nhất bình phương cộng cạnh góc vuông thứ hai bình phương bằng cạnh huyền bình phương.
Lỗi 3: Kết luận hai dây bằng nhau khi chúng ở hai đường tròn khác bán kính.
Nhiều bạn thấy hai dây cách tâm cùng một khoảng là kết luận hai dây bằng nhau, dù chúng nằm trong hai đường tròn có bán kính khác nhau. Sai: định lý "hai dây cách đều tâm thì bằng nhau" chỉ đúng khi hai dây ở cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau. Cách tránh: trước khi áp dụng định lý, bạn hãy kiểm tra hai đường tròn có cùng bán kính không. Nếu bán kính khác nhau, bạn phải tính độ dài từng dây bằng công thức d = √(R² − (l/2)²) rồi mới so sánh.
Lỗi 4: Nhầm chiều của quy luật "dây dài thì gần tâm".
Nhiều bạn nhớ ngược thành "dây càng dài thì càng xa tâm". Sai: dây dài nhất là đường kính, đi qua tâm nên khoảng cách bằng 0 — gần tâm nhất. Cách tránh: bạn hãy nhớ trường hợp cực đoan: dây dài nhất (đường kính) có d = 0, dây ngắn nhất (một điểm trên đường tròn) có d = R. Từ hai đầu mút này, bạn suy ra chiều biến thiên đúng: dây càng dài, d càng nhỏ.
Lỗi 5: Quên kiểm tra điều kiện d nhỏ hơn R.
Nhiều bạn tính ra d = 15 cm trong khi bán kính chỉ 10 cm mà vẫn ghi đáp án. Cách tránh: sau khi tính xong, bạn hãy tự hỏi "khoảng cách này có nhỏ hơn bán kính không?". Nếu d ≥ R thì chắc chắn bạn đã tính sai — hãy kiểm tra lại phép chia đôi dây và phép trừ trong công thức Py-ta-go.
4. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Với mỗi câu, bạn hãy kẻ đường vuông góc từ tâm xuống dây, viết rõ nửa dây bằng bao nhiêu, rồi mới áp dụng công thức d = √(R² − (l/2)²).
Câu 1: Cho đường tròn (O; 5 cm), dây AB dài 6 cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng bao nhiêu?
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 2 cm
Câu 2: Trong cùng một đường tròn, hai dây bằng nhau thì có tính chất gì?
A. Cách đều tâm
B. Vuông góc với nhau
C. Đi qua tâm
D. Song song với nhau
Câu 3: Cho đường tròn (O; 10 cm), dây CD dài 16 cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây CD bằng bao nhiêu?
A. 8 cm
B. 6 cm
C. 4 cm
D. 10 cm
Câu 4: Cho đường tròn (O; 13 cm), khoảng cách từ tâm đến một dây là 12 cm. Độ dài dây đó bằng bao nhiêu?
A. 5 cm
B. 10 cm
C. 12 cm
D. 24 cm
Câu 5: Trong cùng một đường tròn, dây càng dài thì khoảng cách từ tâm đến dây như thế nào?
A. Càng nhỏ
B. Càng lớn
C. Không đổi
D. Bằng bán kính
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | B | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (4 cm) đúng: Nửa dây = 6 : 2 = 3 cm. Khoảng cách d = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm. Đáp án A (3 cm) sai vì 3 cm là nửa dây, không phải khoảng cách từ tâm đến dây. Đáp án C (5 cm) sai vì 5 cm là bán kính, khoảng cách từ tâm đến dây luôn nhỏ hơn bán kính. Đáp án D (2 cm) sai vì không thỏa mãn 3² + 2² = 13, khác 25.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm — đây là định lý đã học. Đáp án B sai vì hai dây bằng nhau chưa chắc vuông góc với nhau, chúng có thể song song hoặc cắt nhau dưới một góc bất kì. Đáp án C sai vì dây bằng nhau không nhất thiết đi qua tâm, chỉ có đường kính mới đi qua tâm. Đáp án D sai vì hai dây bằng nhau có thể cắt nhau, không nhất thiết song song.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (6 cm) đúng: Nửa dây = 16 : 2 = 8 cm. Khoảng cách d = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 cm. Đáp án A (8 cm) sai vì 8 cm là nửa dây. Đáp án C (4 cm) sai vì không thỏa mãn 8² + 4² = 80, khác 100. Đáp án D (10 cm) sai vì 10 cm là bán kính.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (10 cm) đúng: Đây là bài toán ngược: biết d = 12 cm, R = 13 cm, tìm dây. Nửa dây = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 cm, dây dài 2 × 5 = 10 cm. Đáp án A (5 cm) sai vì 5 cm chỉ là nửa dây, bạn quên nhân 2. Đáp án C (12 cm) sai vì 12 cm là khoảng cách từ tâm đến dây. Đáp án D (24 cm) sai vì 24 cm tương ứng với nửa dây bằng 12 cm, tức là bạn đã nhầm d với nửa dây.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Dây càng dài thì càng gần tâm nên khoảng cách từ tâm đến dây càng nhỏ. Đáp án B sai vì đó là chiều ngược lại: dây càng ngắn thì khoảng cách càng lớn. Đáp án C sai vì khoảng cách thay đổi theo độ dài dây. Đáp án D sai vì khoảng cách chỉ bằng bán kính khi dây co lại thành một điểm, không phải với mọi dây.
5. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao hai dây bằng nhau thì cách đều tâm?
Đáp: Vì mỗi dây tạo với tâm một tam giác vuông có cạnh huyền bằng bán kính R và một cạnh góc vuông bằng nửa dây. Hai dây bằng nhau thì hai nửa dây bằng nhau, hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau nên cạnh góc vuông còn lại — chính là khoảng cách từ tâm đến dây — cũng bằng nhau. Nếu muốn xem lại mối liên hệ giữa đường kính và dây cung, bạn hãy đọc bài liên hệ đường kính và dây cung.
Hỏi: Dây dài nhất và dây ngắn nhất trong một đường tròn cách tâm bao xa?
Đáp: Dây dài nhất là đường kính 2R, đi qua tâm nên khoảng cách bằng 0. Dây ngắn nhất là một điểm trên đường tròn, có thể coi như dây dài 0, khoảng cách bằng đúng bán kính R. Mọi dây khác đều có khoảng cách nằm giữa 0 và R.
Hỏi: Có thể dùng công thức này để tìm bán kính khi biết dây và khoảng cách không?
Đáp: Được. Từ d² + (l/2)² = R², bạn suy ra R = √(d² + (l/2)²). Ví dụ dây dài 24 cm, cách tâm 5 cm thì R = √(25 + 144) = √169 = 13 cm. Đây là cách thợ mộc hay thợ cơ khí đo bán kính của một mặt cắt hình tròn mà không đo được trực tiếp qua tâm.
Hỏi: Hai dây song song trong cùng một đường tròn có liên quan gì đến khoảng cách từ tâm?
Đáp: Hai dây song song có thể dài bằng nhau hoặc khác nhau. Nếu chúng dài bằng nhau thì cách đều tâm, tức là đối xứng nhau qua tâm. Nếu một dây dài hơn thì dây đó gần tâm hơn. Trong các bài toán chứng minh hình thang cân nội tiếp đường tròn, người ta thường dùng tính chất này để suy ra hai dây song song bằng nhau.
Hỏi: Công thức này có dùng được cho bài toán vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn không?
Đáp: Có, và đó chính là cầu nối sang bài tiếp theo. Khi một đường thẳng cắt đường tròn, phần đường thẳng nằm trong đường tròn chính là một dây, và khoảng cách từ tâm đến đường thẳng chính là d trong công thức này. Bạn hãy xem bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn để thấy công thức d = √(R² − (l/2)²) được dùng như thế nào khi đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
6. Kết luận
Bài này cho bạn hai công cụ: công thức d = √(R² − (l/2)²) để tính khoảng cách từ tâm đến dây, và định lý hai dây bằng nhau thì cách đều tâm để so sánh dây mà không cần tính số đo. Cả hai đều bắt nguồn từ một tam giác vuông duy nhất: tam giác có cạnh huyền là bán kính, hai cạnh góc vuông là nửa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Bạn hãy nhớ quy luật dây càng dài thì càng gần tâm, luôn kiểm tra đáp án có nhỏ hơn bán kính hay không, và đừng bao giờ quên chia đôi độ dài dây trước khi bình phương. Nắm chắc bài này, bạn đã sẵn sàng để xét xem một đường thẳng có cắt, tiếp xúc hay không giao với một đường tròn — chủ đề của bài tiếp theo.