Bạn hãy buộc một sợi dây vào một cây cột tròn rồi kéo căng sợi dây từ một điểm đứng ngoài cột. Sợi dây chạm vào cột tại đúng một điểm và tạo thành một tiếp tuyến. Bây giờ bạn kéo thêm một sợi dây thứ hai từ cùng điểm đứng đó, chạm vào cột ở phía bên kia. Hai sợi dây dài bằng nhau một cách kì lạ — dù bạn kéo từ phía nào, hai đoạn dây từ tay bạn đến điểm chạm luôn bằng nhau. Đó không phải là trùng hợp: đó là định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau, một trong những định lý đẹp và hữu dụng nhất của chương đường tròn lớp 9.
Bài này trình bày đầy đủ ba tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: điểm ngoài đường tròn cách đều hai tiếp điểm, đường nối điểm đó với tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến, và cũng là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm. Cùng với công thức tính độ dài đoạn tiếp tuyến MA² = OM² − R², bạn sẽ giải được mọi bài toán về tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn — và hiểu vì sao tâm đường tròn nội tiếp tam giác lại là giao điểm của ba đường phân giác.
1. Định lý hai tiếp tuyến cắt nhau và công thức tính độ dài đoạn tiếp tuyến
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M, bạn kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đường tròn, gọi A và B là hai tiếp điểm. Định lý hai tiếp tuyến cắt nhau khẳng định ba điều. Thứ nhất: điểm M cách đều hai tiếp điểm, tức là MA = MB. Thứ hai: tia MO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến, tức là góc AMO bằng góc BMO. Thứ ba: tia OM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm, tức là góc AOM bằng góc BOM.
Vì sao định lý này đúng? Bạn hãy nối OA, OB và OM. Vì MA và MB là tiếp tuyến nên OA vuông góc với MA tại A và OB vuông góc với MB tại B. Hai tam giác vuông OAM và OBM có cạnh huyền OM chung và hai cạnh góc vuông OA = OB = R nên hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền — cạnh góc vuông. Từ đó suy ra MA = MB, góc AMO bằng góc BMO và góc AOM bằng góc BOM. Toàn bộ định lý chỉ là hệ quả của hai tam giác vuông bằng nhau — một chứng minh ngắn gọn nhưng cho ra ba kết luận quan trọng.
Định lý này còn có một hệ quả rất hay dùng: đường thẳng OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB nối hai tiếp điểm. Thật vậy, O cách đều A và B vì OA = OB = R, M cách đều A và B vì MA = MB, nên cả O và M đều nằm trên đường trung trực của AB. Suy ra OM vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Hệ quả này thường được dùng trong các bài toán tính độ dài dây AB hoặc chứng minh OM vuông góc với AB.
Công thức tính độ dài đoạn tiếp tuyến xuất phát từ tam giác vuông OAM. Tam giác OAM vuông tại A, cạnh huyền OM, hai cạnh góc vuông OA = R và MA. Áp dụng định lý Py-ta-go: MA² + R² = OM², suy ra MA² = OM² − R² và MA = √(OM² − R²). Vì MA = MB nên MB cũng bằng √(OM² − R²). Công thức này cho phép bạn tính độ dài đoạn tiếp tuyến khi biết khoảng cách từ điểm ngoài đến tâm và bán kính, hoặc tính ngược lại khoảng cách OM khi biết độ dài đoạn tiếp tuyến và bán kính: OM = √(MA² + R²).
Bạn hãy chú ý điều kiện để công thức có nghĩa: điểm M phải nằm ngoài đường tròn, tức là OM lớn hơn R. Nếu M nằm trên đường tròn thì OM bằng R, độ dài đoạn tiếp tuyến bằng 0 — điểm M trùng với tiếp điểm. Nếu M nằm trong đường tròn thì OM nhỏ hơn R, công thức cho ra số âm dưới dấu căn, và thực tế là từ một điểm trong đường tròn bạn không kẻ được tiếp tuyến nào. Ba trường hợp này tương ứng với việc từ một điểm bạn kẻ được hai tiếp tuyến, một tiếp tuyến hoặc không kẻ được tiếp tuyến nào.
2. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; 6 cm), điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 10 cm. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn. Tính độ dài MA và MB.
Vì MA là tiếp tuyến nên OA vuông góc với MA tại A. Tam giác OAM vuông tại A với OM = 10 cm, OA = 6 cm. Theo định lý Py-ta-go: MA² = OM² − OA² = 100 − 36 = 64, suy ra MA = 8 cm. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, MB = MA = 8 cm. Vậy cả hai đoạn tiếp tuyến đều dài 8 cm. Bộ ba số 6 – 8 – 10 xuất hiện ở đây, chính là bộ ba 3 – 4 – 5 nhân đôi. Nếu muốn kiểm tra phép tính căn bậc hai, bạn có thể dùng máy tính Casio online trên ClassOn.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; 5 cm), điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 13 cm. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn. Tính độ dài MA và MB.
Tam giác OAM vuông tại A với OM = 13 cm, OA = 5 cm. Theo định lý Py-ta-go: MA² = OM² − OA² = 169 − 25 = 144, suy ra MA = 12 cm. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, MB = MA = 12 cm. Vậy cả hai đoạn tiếp tuyến đều dài 12 cm. Đây là bộ ba 5 – 12 – 13, một trong những bộ ba Py-ta-go hay gặp nhất. Bạn hãy nhận xét: khoảng cách OM càng lớn thì đoạn tiếp tuyến càng dài, vì MA = √(OM² − R²) tăng theo OM.
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; 6 cm), điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 12 cm. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn. Tính độ dài MA và số đo góc AMB.
Trước hết, tính MA: MA² = OM² − OA² = 144 − 36 = 108, suy ra MA = √108 = 6√3 cm, khoảng 10,39 cm. Tiếp theo, tính góc AMO trong tam giác vuông OAM: sin của góc AMO bằng cạnh đối OA chia cho cạnh huyền OM, tức là sin góc AMO = 6 : 12 = 0,5, suy ra góc AMO bằng 30 độ. Vì MO là tia phân giác của góc AMB nên góc AMB = 2 × 30 độ = 60 độ. Bài này cho thấy hai tính chất của định lý làm việc cùng nhau: MA = MB cho bạn độ dài, MO là phân giác cho bạn góc. Muốn ôn lại cách tính sin, cos của góc nhọn, bạn hãy xem bài liên hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông.
Ví dụ 4: Cho đường tròn (O; 8 cm), từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho MA = 15 cm. Tính khoảng cách OM và độ dài dây AB.
Đây là bài toán ngược: biết đoạn tiếp tuyến và bán kính, tìm khoảng cách OM. Tam giác OAM vuông tại A với MA = 15 cm, OA = 8 cm. Theo định lý Py-ta-go: OM² = MA² + OA² = 225 + 64 = 289, suy ra OM = 17 cm. Đây là bộ ba 8 – 15 – 17. Để tính dây AB, bạn gọi H là giao điểm của OM và AB. Vì OM là đường trung trực của AB nên H là trung điểm của AB và OM vuông góc với AB tại H. Trong tam giác vuông OAM, đường cao AH thỏa mãn hệ thức AH × OM = OA × MA, suy ra AH = (8 × 15) : 17 = 120 : 17, khoảng 7,06 cm. Vậy dây AB = 2 × AH = 240 : 17, khoảng 14,12 cm. Bài này kết hợp cả ba tính chất của định lý: MA = MB, MO là phân giác và OM là đường trung trực của AB.
3. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cho rằng MA bằng MB chỉ khi hai tiếp tuyến đối xứng nhau qua một đường nào đó.
Nhiều bạn nghĩ MA = MB chỉ đúng trong hình vẽ đối xứng. Sai: MA = MB luôn đúng với mọi điểm M nằm ngoài đường tròn, vì hai tam giác vuông OAM và OBM luôn bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền — cạnh góc vuông. Cách tránh: bạn hãy nhớ MA = MB là một tính chất chung, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, miễn là M nằm ngoài đường tròn.
Lỗi 2: Nhầm tia phân giác của góc AMB với tia phân giác của góc AOB.
Nhiều bạn viết MO là phân giác của góc AOB nhưng lại dùng để chia đôi góc AMB, hoặc ngược lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ rõ hai tia phân giác là hai tia khác nhau về tên gọi nhưng cùng nằm trên một đường thẳng OM: tia MO (xuất phát từ M, đi qua O) là phân giác của góc AMB, còn tia OM (xuất phát từ O, đi qua M) là phân giác của góc AOB. Bạn chỉ cần nhớ "tia nào xuất phát từ đâu thì phân giác góc ở đó": tia từ M phân giác góc tại M, tia từ O phân giác góc tại O.
Lỗi 3: Viết công thức MA² = OM² + R² thay vì MA² = OM² − R².
Nhiều bạn cộng thay vì trừ trong định lý Py-ta-go. Sai: trong tam giác vuông OAM, cạnh huyền là OM, hai cạnh góc vuông là OA = R và MA, nên MA² = OM² − R². Cách tránh: trước khi viết công thức, bạn hãy chỉ rõ cạnh huyền là đoạn nào — luôn là OM, đoạn dài nhất nối tâm với điểm ngoài — rồi viết MA² bằng bình phương cạnh huyền trừ bình phương cạnh góc vuông còn lại.
Lỗi 4: Quên kiểm tra điểm M có nằm ngoài đường tròn hay không.
Nhiều bạn áp dụng công thức MA = √(OM² − R²) cho cả điểm M nằm trong đường tròn, rồi tính ra căn của số âm mà không nhận ra. Cách tránh: trước khi tính, bạn hãy kiểm tra OM có lớn hơn R không. Nếu OM nhỏ hơn R thì từ M không kẻ được tiếp tuyến nào, bài toán không có đáp án. Nếu OM bằng R thì M nằm trên đường tròn, đoạn tiếp tuyến bằng 0.
Lỗi 5: Nhầm góc AMO với góc AMB khi dùng tính chất phân giác.
Nhiều bạn tính được góc AMO bằng 30 độ rồi ghi đáp án góc AMB bằng 30 độ. Sai: góc AMO chỉ là một nửa của góc AMB, vì MO là tia phân giác của góc AMB nên góc AMB = 2 × góc AMO = 60 độ. Cách tránh: sau khi tính được góc AMO, bạn hãy tự hỏi "đây là nửa góc hay cả góc?" rồi nhân 2 trước khi ghi đáp án góc AMB.
4. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Với mỗi câu, bạn hãy vẽ tam giác vuông OAM, xác định cạnh huyền là OM, rồi áp dụng định lý Py-ta-go — và nhớ MA = MB, MO là phân giác của góc AMB.
Câu 1: Cho đường tròn (O; 6 cm), điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 10 cm. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB. Độ dài MA bằng bao nhiêu?
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 4 cm
Câu 2: Cho đường tròn (O; 5 cm), điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 13 cm. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB. Độ dài MB bằng bao nhiêu?
A. 12 cm
B. 5 cm
C. 13 cm
D. 8 cm
Câu 3: Cho đường tròn (O; R), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
A. MA = MB
B. MA = 2MB
C. MA vuông góc với MB
D. MA song song với MB
Câu 4: Cho đường tròn (O; R), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB bằng 60 độ. Số đo góc AMO bằng bao nhiêu?
A. 60 độ
B. 30 độ
C. 90 độ
D. 120 độ
Câu 5: Cho đường tròn (O; 12 cm), từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho MA = 9 cm. Khoảng cách OM bằng bao nhiêu?
A. 15 cm
B. 21 cm
C. 3 cm
D. 12 cm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | A | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (8 cm) đúng: MA² = OM² − OA² = 100 − 36 = 64, suy ra MA = 8 cm. Đáp án A (6 cm) sai vì 6 cm là bán kính, không phải độ dài đoạn tiếp tuyến. Đáp án C (10 cm) sai vì 10 cm là khoảng cách OM, đoạn tiếp tuyến luôn ngắn hơn OM. Đáp án D (4 cm) sai vì 4 không thỏa mãn 4² + 6² = 52, khác 100.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (12 cm) đúng: MA² = OM² − OA² = 169 − 25 = 144, suy ra MA = 12 cm. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, MB = MA = 12 cm. Đáp án B (5 cm) sai vì 5 cm là bán kính. Đáp án C (13 cm) sai vì 13 cm là khoảng cách OM. Đáp án D (8 cm) sai vì 8 không thỏa mãn 8² + 5² = 89, khác 169.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Theo định lý hai tiếp tuyến cắt nhau, điểm M cách đều hai tiếp điểm nên MA = MB. Đáp án B sai vì không có hệ thức MA = 2MB. Đáp án C sai vì MA và MB chỉ vuông góc với nhau trong trường hợp đặc biệt khi góc AMB bằng 90 độ, không phải lúc nào cũng vậy. Đáp án D sai vì MA và MB cắt nhau tại M nên không thể song song.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (30 độ) đúng: Vì MO là tia phân giác của góc AMB nên góc AMO bằng một nửa góc AMB, tức là 60 độ : 2 = 30 độ. Đáp án A (60 độ) sai vì 60 độ là cả góc AMB, bạn quên chia đôi. Đáp án C (90 độ) sai vì góc AMO là góc nhọn trong tam giác vuông OAM, không thể bằng 90 độ. Đáp án D (120 độ) sai vì góc AMO không thể lớn hơn góc AMB.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (15 cm) đúng: Tam giác OAM vuông tại A: OM² = MA² + OA² = 81 + 144 = 225, suy ra OM = 15 cm. Đáp án B (21 cm) sai vì 21 = 9 + 12, bạn đã cộng độ dài thay vì cộng bình phương. Đáp án C (3 cm) sai vì 3 = 12 − 9, bạn đã trừ độ dài thay vì dùng định lý Py-ta-go. Đáp án D (12 cm) sai vì 12 cm là bán kính, OM phải lớn hơn bán kính vì M nằm ngoài đường tròn.
5. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Từ một điểm trong đường tròn có kẻ được tiếp tuyến không?
Đáp: Không. Từ một điểm nằm trong đường tròn, bạn không kẻ được tiếp tuyến nào, vì mọi đường thẳng qua điểm đó đều cắt đường tròn tại hai điểm. Từ một điểm nằm trên đường tròn, bạn kẻ được đúng một tiếp tuyến — đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm đó. Chỉ từ một điểm nằm ngoài đường tròn, bạn mới kẻ được đúng hai tiếp tuyến. Nếu muốn ôn lại ba vị trí của đường thẳng với đường tròn, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Hỏi: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác liên quan gì đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau?
Đáp: Liên quan trực tiếp. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Mỗi đỉnh của tam giác là một điểm ngoài đường tròn nội tiếp, hai tiếp tuyến từ đỉnh đó đến đường tròn nội tiếp có tính chất đường phân giác đi qua tâm. Vì vậy, tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác — khoảng cách đó chính là bán kính đường tròn nội tiếp. Đây là một trong những ứng dụng đẹp nhất của định lý hai tiếp tuyến cắt nhau.
Hỏi: Vì sao OM là đường trung trực của AB?
Đáp: Vì cả O và M đều cách đều hai điểm A và B: OA = OB = R và MA = MB theo định lý hai tiếp tuyến cắt nhau. Một điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Cả O và M đều thỏa mãn nên đường thẳng OM chính là đường trung trực của AB, suy ra OM vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
Hỏi: Có thể tính góc AMB khi biết OM và R không?
Đáp: Được. Trong tam giác vuông OAM, sin của góc AMO bằng OA chia cho OM, tức là sin góc AMO = R : OM. Từ đó bạn tính được góc AMO, rồi nhân đôi để được góc AMB vì MO là phân giác. Ví dụ OM = 12 cm, R = 6 cm thì sin góc AMO = 0,5 nên góc AMO bằng 30 độ và góc AMB bằng 60 độ. Nếu muốn ôn lại mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, bạn hãy xem bài liên hệ đường kính và dây cung và các bài về tỉ số lượng giác đã học.
Hỏi: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có dùng trong bài toán hai đường tròn tiếp xúc không?
Đáp: Có. Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp tuyến chung tại tiếp điểm vuông góc với cả hai bán kính qua tiếp điểm, nên hai bán kính nằm trên cùng một đường thẳng — chính là đường nối tâm. Tính chất này nối bài hai tiếp tuyến cắt nhau với bài vị trí tương đối của hai đường tròn mà bạn đã học ở bài trước, vị trí tương đối của hai đường tròn.
6. Kết luận
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau gói gọn trong ba điều: MA = MB, tia MO là phân giác của góc AMB, tia OM là phân giác của góc AOB — cộng thêm hệ quả OM là đường trung trực của AB. Công thức MA² = OM² − R² cho phép bạn tính độ dài đoạn tiếp tuyến từ khoảng cách OM và bán kính R, hoặc tính ngược lại OM từ MA và R. Bạn hãy nhớ "khuôn" giải bài: vẽ tam giác vuông OAM, xác định cạnh huyền là OM, áp dụng định lý Py-ta-go, rồi dùng tính chất phân giác để chia đôi góc khi cần. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã hoàn thành toàn bộ cụm 5 bài về đường tròn của đợt này: từ đường kính và dây cung, dây và khoảng cách từ tâm, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, vị trí tương đối của hai đường tròn, đến hai tiếp tuyến cắt nhau. Năm bài này nối với nhau thành một mạch duy nhất — tam giác vuông có cạnh huyền là bán kính — và đó cũng là chìa khóa để bạn bước vào các bài toán chứng minh đường tròn ở học kì sau.