Bạn hãy đặt hai đồng xu lên bàn rồi trượt chúng lại gần nhau. Lúc đầu hai đồng xu ở xa nhau, không chạm vào nhau. Trượt tiếp, chúng chạm nhau tại đúng một điểm. Trượt nữa, chúng chồng lên nhau một phần. Trượt nữa, đồng xu nhỏ nằm gọn trong đồng xu lớn. Chỉ với hai con số — khoảng cách giữa hai tâm OO′ và hai bán kính R, r — bạn có thể gọi tên chính xác từng khoảnh khắc đó. Bài này trình bày năm vị trí tương đối của hai đường tròn và bảng hệ thức đầy đủ, kiến thức được dùng rất nhiều trong các bài toán chứng minh tiếp xúc, bài toán quỹ tích và cả trong thực tế khi thiết kế bánh răng hay ống dẫn.
So với bài đường thẳng và đường tròn chỉ có ba vị trí, bài này có năm vị trí vì hai đường tròn có thể "ôm" lấy nhau theo nhiều cách hơn: ngoài nhau, tiếp xúc ngoài, cắt nhau, tiếp xúc trong và đựng nhau. Nhưng đừng sợ số lượng: tất cả năm vị trí đều được phân biệt bằng một phép so sánh duy nhất — so sánh OO′ với tổng R + r và hiệu |R − r|. Học thuộc hai mốc này, bạn sẽ không bao giờ nhầm.
1. Năm vị trí tương đối của hai đường tròn và bảng hệ thức
Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; r), giả sử R lớn hơn hoặc bằng r. Gọi OO′ là khoảng cách giữa hai tâm. Hai đường tròn có thể ở một trong năm vị trí sau đây.
Vị trí thứ nhất: hai đường tròn ngoài nhau. Hai đường tròn không có điểm chung nào, đường tròn này nằm hoàn toàn ngoài đường tròn kia. Điều kiện: OO′ lớn hơn R + r. Bạn hãy hình dung hai đồng xu đặt xa nhau trên bàn, khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính nên chúng không chạm vào nhau.
Vị trí thứ hai: hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Hai đường tròn có đúng một điểm chung, gọi là tiếp điểm, và tiếp điểm nằm trên đoạn nối tâm OO′. Điều kiện: OO′ bằng R + r. Đây là trường hợp ranh giới giữa ngoài nhau và cắt nhau: hai đồng xu vừa chạm vào nhau tại một điểm, khoảng cách giữa hai tâm đúng bằng tổng hai bán kính.
Vị trí thứ ba: hai đường tròn cắt nhau. Hai đường tròn có đúng hai điểm chung. Điều kiện: |R − r| nhỏ hơn OO′ và OO′ nhỏ hơn R + r. Bạn hãy nhớ cả hai vế của bất đẳng thức kép này: OO′ phải nhỏ hơn tổng để hai đường tròn chạm vào nhau, đồng thời phải lớn hơn hiệu để đường tròn nhỏ không bị "nuốt" vào trong đường tròn lớn.
Vị trí thứ tư: hai đường tròn tiếp xúc trong. Hai đường tròn có đúng một điểm chung, đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn và chạm vào đường tròn lớn từ phía trong tại một điểm. Điều kiện: OO′ bằng |R − r|. Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm, về phía đường tròn nhỏ. Đây là trường hợp ranh giới giữa cắt nhau và đựng nhau.
Vị trí thứ năm: đường tròn nhỏ đựng trong đường tròn lớn, hay hai đường tròn đựng nhau. Hai đường tròn không có điểm chung nào, đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn trong đường tròn lớn. Điều kiện: OO′ nhỏ hơn |R − r|. Trường hợp đặc biệt là hai đường tròn đồng tâm, tức là OO′ bằng 0, cũng thuộc vị trí đựng nhau.
Bạn hãy ghi nhớ bảng hệ thức sau đây:
| Vị trí tương đối | Số điểm chung | Hệ thức giữa OO′, R và r |
|---|---|---|
| Hai đường tròn ngoài nhau | 0 | OO′ lớn hơn R + r |
| Hai đường tròn tiếp xúc ngoài | 1 | OO′ bằng R + r |
| Hai đường tròn cắt nhau | 2 | |R − r| nhỏ hơn OO′ nhỏ hơn R + r |
| Hai đường tròn tiếp xúc trong | 1 | OO′ bằng |R − r| |
| Hai đường tròn đựng nhau | 0 | OO′ nhỏ hơn |R − r| |
Một mẹo nhớ bảng này: bạn chỉ cần nhớ hai mốc là R + r và |R − r|. Khi OO′ lớn hơn mốc lớn thì ngoài nhau, bằng mốc lớn thì tiếp xúc ngoài, nằm giữa hai mốc thì cắt nhau, bằng mốc nhỏ thì tiếp xúc trong, nhỏ hơn mốc nhỏ thì đựng nhau. Năm vị trí xếp theo thứ tự OO′ giảm dần từ ngoài vào trong, giống như hai đồng xu trượt lại gần nhau rồi chồng lên nhau. Nếu muốn ôn lại cách xác định vị trí của một đường thẳng với một đường tròn, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
2. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 3 cm), OO′ = 10 cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Ta có R + r = 5 + 3 = 8 cm, |R − r| = |5 − 3| = 2 cm. Khoảng cách giữa hai tâm OO′ = 10 cm lớn hơn R + r = 8 cm, nên hai đường tròn ngoài nhau, không có điểm chung nào. Đây chính là ví dụ gốc của bài. Bạn hãy chú ý: chỉ cần so sánh OO′ với tổng R + r là kết luận được ngay, không cần vẽ hình. Nếu muốn kiểm tra phép cộng, bạn có thể dùng máy tính Casio online trên ClassOn.
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O; 7 cm) và (O′; 3 cm), OO′ = 10 cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Ta có R + r = 7 + 3 = 10 cm, |R − r| = |7 − 3| = 4 cm. Khoảng cách giữa hai tâm OO′ = 10 cm bằng đúng R + r = 10 cm, nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm. Tiếp điểm nằm trên đoạn nối tâm OO′, cách O một khoảng 7 cm và cách O′ một khoảng 3 cm. Đây là trường hợp ranh giới: chỉ cần OO′ tăng thêm một chút là hai đường tròn rời nhau, chỉ cần OO′ giảm một chút là hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 4 cm), OO′ = 6 cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Ta có R + r = 5 + 4 = 9 cm, |R − r| = |5 − 4| = 1 cm. Khoảng cách giữa hai tâm OO′ = 6 cm thỏa mãn 1 nhỏ hơn 6 và 6 nhỏ hơn 9, tức là |R − r| nhỏ hơn OO′ nhỏ hơn R + r, nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Bạn hãy chú ý phải kiểm tra cả hai vế của bất đẳng thức kép: OO′ nhỏ hơn R + r cho thấy hai đường tròn chạm vào nhau, OO′ lớn hơn |R − r| cho thấy đường tròn nhỏ không bị nuốt hẳn vào trong đường tròn lớn. Thiếu một vế là kết luận sai ngay.
Ví dụ 4: Cho hai đường tròn (O; 8 cm) và (O′; 3 cm). Xác định vị trí tương đối trong hai trường hợp: OO′ = 5 cm và OO′ = 3 cm.
Ta có R + r = 8 + 3 = 11 cm, |R − r| = |8 − 3| = 5 cm. Trường hợp thứ nhất: OO′ = 5 cm bằng đúng |R − r| = 5 cm, nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại một điểm. Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm, về phía đường tròn nhỏ, cách O một khoảng 8 cm và cách O′ một khoảng 3 cm. Trường hợp thứ hai: OO′ = 3 cm nhỏ hơn |R − r| = 5 cm, nên hai đường tròn đựng nhau, đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn trong đường tròn lớn và không có điểm chung nào. Bạn hãy so sánh hai trường hợp: chỉ cần OO′ giảm từ 5 cm xuống 3 cm, hai đường tròn đã chuyển từ tiếp xúc trong sang đựng nhau. Muốn ôn lại cách tính khoảng cách từ tâm đến dây — bước thường dùng khi tính dây chung của hai đường tròn cắt nhau — bạn hãy xem bài liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
3. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chỉ so sánh OO′ với R + r mà quên |R − r|.
Nhiều bạn thấy OO′ nhỏ hơn R + r thì kết luận ngay hai đường tròn cắt nhau. Sai: OO′ nhỏ hơn R + r chỉ cho thấy hai đường tròn có điểm chung hoặc đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn. Bạn còn phải so sánh OO′ với |R − r| để phân biệt cắt nhau, tiếp xúc trong và đựng nhau. Cách tránh: mỗi lần làm bài, bạn hãy tính cả hai mốc R + r và |R − r| rồi mới đặt OO′ vào thang đo.
Lỗi 2: Nhầm tiếp xúc trong với tiếp xúc ngoài.
Nhiều bạn thấy OO′ bằng hiệu hai bán kính thì kết luận tiếp xúc ngoài. Sai: tiếp xúc ngoài ứng với OO′ bằng tổng R + r, tiếp xúc trong ứng với OO′ bằng hiệu |R − r|. Cách tránh: bạn hãy nhớ bằng hình ảnh: tiếp xúc ngoài là hai đồng xu chạm nhau từ bên ngoài, khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính; tiếp xúc trong là đồng xu nhỏ chạm vào đồng xu lớn từ phía trong, khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính.
Lỗi 3: Quên dấu giá trị tuyệt đối ở |R − r|.
Nhiều bạn viết hiệu là R − r mà không xét R lớn hơn hay nhỏ hơn r, rồi tính ra số âm và kết luận sai. Cách tránh: bạn hãy luôn lấy bán kính lớn trừ bán kính nhỏ, hoặc viết |R − r| và nhớ hiệu này luôn không âm. Trong bài này ta quy ước R lớn hơn hoặc bằng r nên |R − r| = R − r, nhưng khi làm bài bạn vẫn nên viết dấu giá trị tuyệt đối cho chắc chắn.
Lỗi 4: Nhầm số điểm chung của trường hợp đựng nhau.
Nhiều bạn cho rằng đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn thì hai đường tròn có vô số điểm chung. Sai: hai đường tròn đựng nhau không có điểm chung nào, vì mọi điểm của đường tròn nhỏ đều nằm trong lòng đường tròn lớn chứ không nằm trên đường tròn lớn. Cách tránh: bạn hãy phân biệt rõ "nằm trong" và "nằm trên": điểm chung phải nằm trên cả hai đường tròn, không phải chỉ nằm trong lòng đường tròn kia.
Lỗi 5: Nhầm vị trí của tiếp điểm khi hai đường tròn tiếp xúc.
Nhiều bạn vẽ tiếp điểm ở vị trí bất kì trên hai đường tròn. Sai: khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp điểm luôn nằm trên đường nối tâm OO′. Cách tránh: mỗi lần vẽ hai đường tròn tiếp xúc, bạn hãy vẽ đường nối tâm trước, rồi đặt tiếp điểm lên đường nối tâm đó. Tính chất "tiếp điểm nằm trên đường nối tâm" cũng là chìa khóa để chứng minh nhiều bài toán tiếp xúc.
4. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Với mỗi câu, bạn hãy tính hai mốc R + r và |R − r| trước, rồi đặt OO′ lên thang đo: lớn hơn mốc lớn thì ngoài nhau, bằng mốc lớn thì tiếp xúc ngoài, giữa hai mốc thì cắt nhau, bằng mốc nhỏ thì tiếp xúc trong, nhỏ hơn mốc nhỏ thì đựng nhau.
Câu 1: Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 3 cm), OO′ = 10 cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là gì?
A. Ngoài nhau
B. Tiếp xúc ngoài
C. Cắt nhau
D. Đựng nhau
Câu 2: Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 3 cm), OO′ = 8 cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là gì?
A. Ngoài nhau
B. Tiếp xúc ngoài
C. Cắt nhau
D. Tiếp xúc trong
Câu 3: Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 3 cm), OO′ = 4 cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là gì?
A. Ngoài nhau
B. Tiếp xúc ngoài
C. Cắt nhau
D. Đựng nhau
Câu 4: Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 3 cm), OO′ = 2 cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là gì?
A. Cắt nhau
B. Tiếp xúc ngoài
C. Đựng nhau
D. Tiếp xúc trong
Câu 5: Cho hai đường tròn (O; 6 cm) và (O′; 2 cm), OO′ = 3 cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là gì?
A. Ngoài nhau
B. Cắt nhau
C. Đựng nhau
D. Tiếp xúc trong
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | D | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (Ngoài nhau) đúng: R + r = 8 cm, OO′ = 10 cm lớn hơn 8 cm nên hai đường tròn ngoài nhau. Đáp án B sai vì tiếp xúc ngoài cần OO′ bằng 8 cm. Đáp án C sai vì cắt nhau cần OO′ nằm giữa 2 cm và 8 cm. Đáp án D sai vì đựng nhau cần OO′ nhỏ hơn 2 cm.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (Tiếp xúc ngoài) đúng: R + r = 8 cm, OO′ = 8 cm bằng đúng R + r nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm. Đáp án A sai vì ngoài nhau cần OO′ lớn hơn 8 cm. Đáp án C sai vì cắt nhau cần OO′ nhỏ hơn 8 cm. Đáp án D sai vì tiếp xúc trong cần OO′ bằng |R − r| = 2 cm.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (Cắt nhau) đúng: R + r = 8 cm, |R − r| = 2 cm, OO′ = 4 cm thỏa mãn 2 nhỏ hơn 4 và 4 nhỏ hơn 8 nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Đáp án A sai vì ngoài nhau cần OO′ lớn hơn 8 cm. Đáp án B sai vì tiếp xúc ngoài cần OO′ bằng 8 cm. Đáp án D sai vì đựng nhau cần OO′ nhỏ hơn 2 cm.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (Tiếp xúc trong) đúng: |R − r| = 2 cm, OO′ = 2 cm bằng đúng |R − r| nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại một điểm. Đáp án A sai vì cắt nhau cần OO′ lớn hơn 2 cm. Đáp án B sai vì tiếp xúc ngoài cần OO′ bằng 8 cm. Đáp án C sai vì đựng nhau cần OO′ nhỏ hơn 2 cm, ở đây OO′ bằng đúng 2 cm nên hai đường tròn vẫn chạm nhau tại một điểm.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (Đựng nhau) đúng: R + r = 8 cm, |R − r| = 4 cm, OO′ = 3 cm nhỏ hơn 4 cm nên đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn trong đường tròn lớn, hai đường tròn không có điểm chung nào. Đáp án A sai vì ngoài nhau cần OO′ lớn hơn 8 cm. Đáp án B sai vì cắt nhau cần OO′ lớn hơn 4 cm. Đáp án D sai vì tiếp xúc trong cần OO′ bằng đúng 4 cm.
5. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Hai đường tròn có thể cắt nhau tại ba điểm không?
Đáp: Không. Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất hai điểm chung. Nếu hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng phải trùng nhau hoàn toàn, vì ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn. Vì vậy đáp án "cắt nhau tại ba điểm" trong bài trắc nghiệm luôn sai.
Hỏi: Khi hai đường tròn cắt nhau, dây chung của chúng có tính chất gì?
Đáp: Dây chung là đoạn thẳng nối hai giao điểm của hai đường tròn. Đường nối tâm OO′ là đường trung trực của dây chung, tức là OO′ vuông góc với dây chung tại trung điểm của dây chung. Tính chất này thường được dùng để tính độ dài dây chung: bạn tính khoảng cách từ mỗi tâm đến dây chung bằng công thức d = √(R² − (l/2)²) rồi cộng hoặc trừ hai khoảng cách đó tùy vị trí. Nếu muốn học tiếp về đường nối tâm của hai đường tròn, bạn hãy xem bài liên hệ giữa đường nối tâm của hai đường tròn.
Hỏi: Hai đường tròn đồng tâm thuộc vị trí nào?
Đáp: Hai đường tròn đồng tâm có OO′ bằng 0, nhỏ hơn |R − r| (trừ khi hai đường tròn trùng nhau), nên thuộc vị trí đựng nhau. Trường hợp đặc biệt hai đường tròn đồng tâm và cùng bán kính thì chúng trùng nhau hoàn toàn, có vô số điểm chung — đó không còn là hai đường tròn phân biệt nữa.
Hỏi: Vị trí tương đối của hai đường tròn dùng để làm gì trong thực tế?
Đáp: Rất nhiều. Trong cơ khí, hai bánh răng ăn khớp nhau tương ứng với hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Trong thiết kế ống dẫn, ống nhỏ lồng trong ống lớn tương ứng với hai đường tròn đựng nhau. Trong bản đồ, hai vùng phủ sóng giao nhau tương ứng với hai đường tròn cắt nhau. Nắm vững bảng hệ thức OO′ với R + r và |R − r| giúp bạn tính được hai vật tròn có chạm nhau hay không mà không cần đo trực tiếp.
Hỏi: Vì sao tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau luôn nằm trên đường nối tâm?
Đáp: Vì tại tiếp điểm, hai đường tròn có chung một tiếp tuyến. Bán kính của mỗi đường tròn đi qua tiếp điểm đều vuông góc với tiếp tuyến chung đó, nên hai bán kính cùng vuông góc với một đường thẳng tại cùng một điểm, tức là chúng nằm trên cùng một đường thẳng — chính là đường nối tâm OO′. Tính chất này giúp bạn xác định vị trí tiếp điểm rất nhanh khi vẽ hình.
6. Kết luận
Năm vị trí tương đối của hai đường tròn gói gọn trong hai mốc R + r và |R − r|: OO′ lớn hơn R + r thì ngoài nhau, bằng R + r thì tiếp xúc ngoài, nằm giữa hai mốc thì cắt nhau, bằng |R − r| thì tiếp xúc trong, nhỏ hơn |R − r| thì đựng nhau. Bạn chỉ cần tính hai mốc này rồi đặt OO′ lên thang đo là kết luận được ngay, không cần vẽ hình chính xác. Đừng quên hai tính chất quan trọng: tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau luôn nằm trên đường nối tâm, và đường nối tâm là đường trung trực của dây chung khi hai đường tròn cắt nhau. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm vững toàn bộ chương vị trí tương đối — và đã sẵn sàng cho bài cuối cùng của đợt: tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, nơi tiếp tuyến của bài đường thẳng và đường tròn quay lại với một diện mạo mới.