Giới thiệu
Lượng giác lớp 10 là phần kiến thức mở đầu cho cả chương trình lượng giác ở trung học phổ thông. Khác với lượng giác lớp 9 chỉ xét góc nhọn trong tam giác vuông, lượng giác lớp 10 mở rộng góc tới \(180^\circ\), đưa ra hệ thức cơ bản giữa sin, cos, tan, cot và hai định lí quan trọng là định lí sin và định lí cosin. Nắm chắc các công thức trong bài viết này, học sinh sẽ giải được hầu hết các bài toán về tam giác và làm nền cho lượng giác lớp 11.
Bài viết tổng hợp đầy đủ công thức lượng giác lớp 10 theo chương trình Kết nối tri thức: giá trị lượng giác của một góc, bảng giá trị đặc biệt, hệ thức cơ bản, quan hệ giữa các góc bù nhau và phụ nhau, định lí sin, định lí cosin, công thức diện tích tam giác, kèm ví dụ minh họa, lỗi thường gặp và bài tập tự luyện. Học sinh lớp 11 muốn ôn nâng cao có thể xem thêm bài công thức lượng giác lớp 11 đầy đủ, còn khi cần tính toán nhanh có thể dùng máy tính Casio online trên ClassOn.
Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Trên nửa đường tròn đơn vị, với mỗi góc \(\alpha\) từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\), lấy điểm \(M\) sao cho góc tạo bởi tia \(Ox\) và tia \(OM\) bằng \(\alpha\). Khi đó tọa độ của \(M\) là \((\cos \alpha, \sin \alpha)\). Từ đó ta định nghĩa:
\(\sin \alpha\) là tung độ của điểm \(M\), luôn thỏa mãn \(0 \le \sin \alpha \le 1\).
\(\cos \alpha\) là hoành độ của điểm \(M\), thỏa mãn \(-1 \le \cos \alpha \le 1\).
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) với \(\cos \alpha \ne 0\), tức là \(\alpha \ne 90^\circ\).
\(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) với \(\sin \alpha \ne 0\), tức là \(\alpha \ne 0^\circ\) và \(\alpha \ne 180^\circ\).
Một điểm cần nhớ: sin của mọi góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\) đều không âm, còn cos đổi dấu khi góc vượt qua \(90^\circ\). Góc nhọn có cos dương, góc tù có cos âm, góc vuông có cos bằng 0. Chính dấu của cos là nguồn gốc của nhiều lỗi sai khi học sinh áp dụng máy móc công thức của góc nhọn cho góc tù.
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Bảng dưới đây là bảng giá trị cần thuộc lòng. Học sinh nên học thuộc cột sin và cos của các góc \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\), rồi suy ra tan và cot bằng phép chia, thay vì học thuộc cả bảng một cách máy móc.
Bảng giá trị: góc \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ\).
sin: \(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0\).
cos: \(1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1\).
tan: \(0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}\), không xác định, \(-\sqrt{3}, -1, -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0\).
cot: không xác định, \(\sqrt{3}, 1, \frac{\sqrt{3}}{3}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{3}, -1, -\sqrt{3}\), không xác định.
Nhìn vào bảng, học sinh thấy ngay tính đối xứng: sin của góc tù bằng sin của góc nhọn bù với nó, còn cos đổi dấu. Đó chính là nội dung của quan hệ góc bù nhau ở mục sau.
Hệ thức lượng giác cơ bản
Bốn hệ thức sau đây là nền tảng của mọi biến đổi lượng giác ở lớp 10. Học sinh cần thuộc và biết điều kiện áp dụng của từng hệ thức.
Hệ thức quan trọng nhất là \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), đúng với mọi góc \(\alpha\). Từ hệ thức này, biết sin thì tính được cos theo công thức \(\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\), dấu cộng hay trừ phụ thuộc vào góc nhọn hay góc tù. Đây là chỗ học sinh hay quên xét dấu nhất.
Các hệ thức còn lại là \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) với \(\cos \alpha \ne 0\), \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) với \(\sin \alpha \ne 0\), và \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\) khi cả tan và cot đều xác định. Từ đó còn suy ra hai hệ thức hay dùng trong bài tập nâng cao: \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\) và \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\).
Quan hệ giữa các góc bù nhau và phụ nhau
Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng \(180^\circ\). Với góc \(\alpha\) và góc bù \(180^\circ - \alpha\), ta có \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\), \(\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha\), \(\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha\). Nói ngắn gọn: sin bù nhau thì bằng nhau, còn cos, tan, cot bù nhau thì đối nhau.
Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng bằng \(90^\circ\). Với góc \(\alpha\) và góc phụ \(90^\circ - \alpha\), ta có \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\), \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), \(\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha\), \(\cot(90^\circ - \alpha) = \tan \alpha\). Quan hệ này giúp học sinh tính nhanh giá trị lượng giác của góc tù từ góc nhọn, ví dụ \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\).
Định lí sin và định lí cosin trong tam giác
Cho tam giác \(ABC\) với các cạnh đối diện các góc \(A, B, C\) lần lượt là \(a, b, c\), bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(R\). Hai định lí sau giải quyết gần như mọi bài toán tính cạnh, tính góc của tam giác.
Định lí sin phát biểu: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\). Định lí này dùng khi biết một cạnh và góc đối diện của nó, hoặc khi biết hai góc và một cạnh. Lưu ý khi biết hai cạnh và một góc đối diện, bài toán có thể có hai nghiệm vì sin của góc nhọn và góc tù bù nhau thì bằng nhau.
Định lí cosin phát biểu: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\), và tương tự cho \(b^2\) và \(c^2\). Định lí này dùng khi biết hai cạnh và góc xen giữa để tính cạnh còn lại, hoặc khi biết ba cạnh để tính một góc theo công thức \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). Dấu của cos tính được cho biết góc là nhọn, vuông hay tù: cos dương thì góc nhọn, cos bằng 0 thì góc vuông, cos âm thì góc tù.
Công thức diện tích tam giác
Ngoài công thức quen thuộc \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{chiều cao}\), lượng giác lớp 10 bổ sung các công thức diện tích rất tiện lợi: \(S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C\). Chỉ cần biết hai cạnh và góc xen giữa là tính được diện tích, không cần vẽ đường cao.
Hai công thức khác cũng hay gặp là công thức Hê-rông \(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\) với \(p\) là nửa chu vi, và công thức \(S = \frac{abc}{4R} = pr\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp. Khi đề cho ba cạnh, công thức Hê-rông thường là đường đi ngắn nhất; khi đề cho bán kính ngoại tiếp hoặc nội tiếp, hai công thức sau tỏ ra hiệu quả hơn.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Tính \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\). Lời giải: từ \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) suy ra \(\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\), nên \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) hoặc \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\). Vì \(\alpha\) là góc tù nên cos âm, chọn \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\). Khi đó \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{4}\).
Ví dụ 2. Cho tam giác \(ABC\) có \(b = 7\), \(c = 5\), góc \(A = 60^\circ\). Tính cạnh \(a\) và diện tích tam giác. Lời giải: theo định lí cosin, \(a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 25 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 39\), nên \(a = \sqrt{39}\). Diện tích \(S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = \frac{35}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}\).
Ví dụ 3. Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 8\), góc \(A = 45^\circ\), góc \(B = 60^\circ\). Tính cạnh \(b\) và bán kính ngoại tiếp \(R\). Lời giải: góc \(C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\). Theo định lí sin, \(\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ}\), nên \(b = 8 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{6}\). Bán kính ngoại tiếp \(R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\).
Lỗi thường gặp khi làm bài lượng giác lớp 10
Lỗi thứ nhất là quên xét dấu của cos khi tính từ sin: góc tù có cos âm, nên \(\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\) chứ không phải dấu cộng. Lỗi thứ hai là dùng tan và cot khi chúng không xác định, chẳng hạn tính \(\tan 90^\circ\) hoặc \(\cot 0^\circ\). Lỗi thứ ba là nhầm sin của góc bù: sin bù nhau thì bằng nhau, nhưng cos bù nhau thì đối nhau, nhiều học sinh áp dụng nhầm dấu cho cả sin. Lỗi thứ tư là khi dùng định lí sin để tìm góc, quên rằng một giá trị sin có thể ứng với hai góc bù nhau, nên bài toán có thể có hai đáp án và cần xét điều kiện để loại nghiệm. Lỗi thứ năm là nhầm đơn vị góc: công thức lượng giác lớp 10 dùng độ, còn sang lớp 11 mới dùng radian, nên khi bấm máy tính cần để đúng chế độ độ.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Tính \(\sin \alpha\) và \(\cot \alpha\). Đáp án: \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\), \(\cot \alpha = -\frac{5}{12}\).
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức \(A = \sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ + \cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ\). Đáp án: \(A = 1\).
Bài 3. Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 6\), \(b = 8\), góc \(C = 120^\circ\). Tính cạnh \(c\). Đáp án: \(c = 2\sqrt{37}\).
Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) có \(b = 10\), góc \(B = 30^\circ\), góc \(C = 45^\circ\). Tính cạnh \(c\). Đáp án: \(c = 10\sqrt{2}\).
Bài 5. Cho tam giác \(ABC\) có ba cạnh \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\). Tính cos của góc lớn nhất. Đáp án: \(\cos C = \frac{1}{5}\), góc \(C\) là góc lớn nhất và là góc nhọn.
FAQ
Sin, cos, tan, cot của góc tù tính như thế nào? Dùng quan hệ góc bù: sin góc tù bằng sin góc nhọn bù với nó, còn cos, tan, cot đổi dấu. Ví dụ \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Khi nào dùng định lí sin, khi nào dùng định lí cosin? Dùng định lí sin khi biết một cạnh và góc đối diện, hoặc hai góc và một cạnh. Dùng định lí cosin khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết ba cạnh và cần tính góc.
Tại sao góc \(90^\circ\) không có tan? Vì \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) mà \(\cos 90^\circ = 0\), phép chia cho 0 không xác định nên \(\tan 90^\circ\) không xác định. Tương tự, \(\cot 0^\circ\) và \(\cot 180^\circ\) không xác định vì sin bằng 0.
Học sinh nên học thuộc những gì trong chương này? Học thuộc bảng giá trị đặc biệt, bốn hệ thức cơ bản, quan hệ góc bù và góc phụ, định lí sin, định lí cosin và công thức diện tích \(S = \frac{1}{2}bc \sin A\). Các công thức khác suy ra được từ những công thức này.
Lượng giác lớp 10 khác gì lượng giác lớp 9? Lớp 9 chỉ xét góc nhọn trong tam giác vuông với sin, cos, tan, cot là tỉ số các cạnh. Lớp 10 mở rộng góc tới \(180^\circ\) bằng đường tròn đơn vị, bổ sung cot, hệ thức cơ bản và định lí sin, cosin để giải mọi tam giác, không chỉ tam giác vuông.
Để luyện thêm đề thi, học sinh có thể vào kho đề thi công khai trên ClassOn, xem hướng dẫn sử dụng và đăng ký tài khoản miễn phí. Giáo viên và học sinh cũng có thể trở lại trang chủ ClassOn để khám phá thêm tài liệu các môn khác.