Bạn có 100 nghìn đồng trong túi và đang đứng trước một quán ăn vặt: một chiếc bánh giá 20 nghìn, một ly trà sữa giá 30 nghìn. Bạn muốn mua cả hai loại mà không vượt quá số tiền mình có — có bao nhiêu cách mua thỏa mãn điều kiện đó? Câu hỏi này không có một đáp án duy nhất mà có cả một "miền" đáp án: mọi cặp số bánh và số ly trà sữa mà tổng tiền không vượt quá 100 nghìn đều là đáp án đúng. Trong Toán 10, miền đáp án đó được gọi là miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, và bài này sẽ dạy bạn cách tìm nó trên mặt phẳng tọa độ.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ miền nghiệm một cách có hệ thống: từ định nghĩa nửa mặt phẳng, cách vẽ đường thẳng bờ và chọn miền bằng điểm thử, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ quy tắc "thử điểm O", bạn sẽ không bao giờ chọn nhầm miền nữa.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by ≤ c (hoặc ≥, <, >), trong đó a, b không đồng thời bằng 0. Miền nghiệm của nó là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) trên mặt phẳng tọa độ mà tọa độ của chúng thỏa mãn bất phương trình. Về mặt hình học, miền nghiệm là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ax + by = c: đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa, và một trong hai nửa — kể cả bờ nếu bất phương trình có dấu ≤ hoặc ≥, không kể bờ nếu có dấu < hoặc > — chính là miền nghiệm bạn cần tìm.
Để xác định miền nghiệm là nửa nào, bạn chỉ cần một bước duy nhất: chọn một điểm thử không nằm trên đường thẳng bờ, thường là gốc tọa độ O(0, 0) vì tính toán với nó là dễ nhất, rồi thay tọa độ của nó vào bất phương trình. Nếu điểm thử thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm thử, còn nếu không thỏa mãn thì miền nghiệm là nửa còn lại. Ví dụ với bất phương trình x + y ≤ 2, đường thẳng bờ là x + y = 2, điểm O(0, 0) cho 0 + 0 = 0 ≤ 2 là đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, kể cả đường thẳng bờ.
Một điểm bạn cần lưu ý là đường thẳng bờ có được tính vào miền nghiệm hay không phụ thuộc vào dấu của bất phương trình. Với dấu ≤ hoặc ≥, các điểm trên đường thẳng bờ thỏa mãn bất phương trình nên bờ được tính vào miền nghiệm và người ta vẽ bờ bằng nét liền. Với dấu < hoặc >, các điểm trên đường thẳng bờ không thỏa mãn nên bờ không được tính vào miền nghiệm và người ta vẽ bờ bằng nét đứt. Nhiều bạn vẽ đúng miền nhưng quên phân biệt nét liền với nét đứt nên vẫn mất điểm — bạn hãy ghi nhớ quy tắc "có dấu bằng thì nét liền, không có dấu bằng thì nét đứt" ngay từ đầu.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2.
Bạn vẽ đường thẳng bờ x + y = 2, đường thẳng này đi qua hai điểm (2, 0) và (0, 2). Bạn chọn điểm thử O(0, 0): thay vào bất phương trình được 0 + 0 = 0 ≤ 2 là đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ O, kể cả đường thẳng bờ x + y = 2 vì bất phương trình có dấu ≤. Bạn hãy vẽ đường thẳng bờ bằng nét liền và tô màu nửa mặt phẳng phía dưới bên trái của đường thẳng, nơi chứa gốc tọa độ. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (miền không chứa gốc tọa độ): Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x − y > 1.
Bạn vẽ đường thẳng bờ 2x − y = 1, đường thẳng này đi qua hai điểm (0,5, 0) và (0, −1). Bạn chọn điểm thử O(0, 0): thay vào được 0 > 1 là sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ. Bạn kiểm chứng bằng điểm (1, 0): 2 × 1 − 0 = 2 > 1 là đúng, nên điểm (1, 0) thuộc miền nghiệm. Vì bất phương trình có dấu > nên đường thẳng bờ được vẽ bằng nét đứt và không thuộc miền nghiệm.
Ví dụ 3 (điểm thử thỏa mãn): Xác định miền nghiệm của bất phương trình x − 2y + 4 ≥ 0.
Bạn vẽ đường thẳng bờ x − 2y + 4 = 0, đường thẳng này đi qua hai điểm (−4, 0) và (0, 2). Bạn chọn điểm thử O(0, 0): thay vào được 0 − 0 + 4 = 4 ≥ 0 là đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, kể cả đường thẳng bờ vì bất phương trình có dấu ≥. Bạn hãy để ý: hệ số tự do +4 làm cho gốc tọa độ thỏa mãn bất phương trình, nên miền nghiệm chứa O — điều này không phải lúc nào cũng đúng, bạn phải thử điểm trong từng bài cụ thể.
Ví dụ 4 (bất phương trình dạng y): Xác định miền nghiệm của bất phương trình 3x + y < 3.
Bạn vẽ đường thẳng bờ 3x + y = 3, đường thẳng này đi qua hai điểm (1, 0) và (0, 3). Bạn chọn điểm thử O(0, 0): thay vào được 0 < 3 là đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, không kể đường thẳng bờ vì bất phương trình có dấu <. Bạn hãy vẽ đường thẳng bờ bằng nét đứt. Một cách hiểu khác: bất phương trình tương đương với y < −3x + 3, miền nghiệm là phần mặt phẳng nằm dưới đường thẳng y = −3x + 3 — bạn có thể kiểm chứng bằng điểm (0, 0) nằm dưới đường thẳng này.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chọn nhầm nửa mặt phẳng.
Nhiều bạn vẽ đúng đường thẳng bờ nhưng tô nhầm nửa còn lại vì không thử điểm. Cách tránh: bạn hãy luôn thử điểm O(0, 0) — nếu O thỏa mãn thì tô nửa chứa O, nếu không thỏa mãn thì tô nửa còn lại. Chỉ một phép thử này thôi cũng đủ để bạn không bao giờ chọn nhầm miền.
Lỗi 2: Quên phân biệt nét liền và nét đứt.
Nhiều bạn vẽ đường thẳng bờ bằng nét liền cho cả bất phương trình có dấu < hoặc >. Cách tránh: bạn hãy nhớ "có dấu bằng thì nét liền, không có dấu bằng thì nét đứt", và kiểm tra lại dấu của bất phương trình trước khi vẽ bờ.
Lỗi 3: Chọn điểm thử nằm trên đường thẳng bờ.
Nhiều bạn chọn điểm thử là một điểm nằm ngay trên đường thẳng bờ, ví dụ chọn (2, 0) để thử bất phương trình x + y ≤ 2, rồi kết luận 2 ≤ 2 là đúng nên miền nào cũng được. Cách tránh: bạn hãy luôn chọn điểm thử không nằm trên đường thẳng bờ, tốt nhất là gốc tọa độ O(0, 0) nếu nó không nằm trên bờ.
Lỗi 4: Vẽ sai đường thẳng bờ.
Nhiều bạn vẽ đường thẳng x + y = 2 đi qua (2, 2) thay vì (2, 0) và (0, 2). Cách tránh: bạn hãy tìm hai giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ bằng cách cho x = 0 rồi cho y = 0, rồi nối hai điểm đó lại — cách này nhanh và chính xác hơn là đoán điểm.
Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa miền nghiệm và nghiệm của bất phương trình.
Nhiều bạn nghĩ miền nghiệm chỉ gồm vài điểm nguyên như (0, 0), (1, 0), (0, 1) mà quên rằng mọi điểm thực trong nửa mặt phẳng đều là nghiệm. Cách tránh: bạn hãy nhớ miền nghiệm là cả một nửa mặt phẳng với vô số điểm, không chỉ các điểm nguyên. Nếu muốn ôn lại vị trí tương đối của hai đường thẳng, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ thử điểm O(0, 0) trước khi kết luận miền nghiệm.
Câu 1: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình x − y < 0?
A. (1, 0)
B. (0, 1)
C. (1, 1)
D. (2, 1)
Câu 2: Đường thẳng nào sau đây là bờ của miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 4?
A. 2x + y = 4
B. 2x + y = 0
C. x + y = 4
D. 2x − y = 4
Câu 3: Điểm O(0, 0) có thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≥ 1 hay không?
A. Có
B. Không
C. Thuộc bờ
D. Không xác định được
Câu 4: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 2x?
A. (1, 1)
B. (2, 1)
C. (0, −1)
D. (1, 3)
Câu 5: Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm chứa gốc tọa độ O(0, 0)?
A. x + y > 1
B. 2x − y < −1
C. x − y ≤ 0
D. x + y < −2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | B | D | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Thay (0, 1) vào bất phương trình được 0 − 1 = −1 < 0 là đúng nên (0, 1) thuộc miền nghiệm. Đáp án A sai vì 1 − 0 = 1 < 0 là sai. Đáp án C sai vì 1 − 1 = 0 < 0 là sai. Đáp án D sai vì 2 − 1 = 1 < 0 là sai.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Bờ của miền nghiệm là đường thẳng thu được khi thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng, tức là 2x + y = 4. Đáp án B sai vì 2x + y = 0 là đường thẳng song song với bờ, không phải bờ. Đáp án C sai vì hệ số của x phải là 2. Đáp án D sai vì dấu của y phải là cộng.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (Không) đúng: Thay O(0, 0) vào bất phương trình được 0 + 0 = 0 ≥ 1 là sai nên O không thuộc miền nghiệm. Đáp án A sai vì 0 không lớn hơn hoặc bằng 1. Đáp án C sai vì O không nằm trên đường thẳng bờ x + 2y = 1. Đáp án D sai vì hoàn toàn xác định được bằng phép thử.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Thay (1, 3) vào được 3 ≥ 2 × 1 = 2 là đúng nên (1, 3) thuộc miền nghiệm. Đáp án A sai vì 1 ≥ 2 là sai. Đáp án B sai vì 1 ≥ 4 là sai. Đáp án C sai vì −1 ≥ 0 là sai.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Thay O(0, 0) vào x − y ≤ 0 được 0 ≤ 0 là đúng nên miền nghiệm của bất phương trình này chứa O. Đáp án A sai vì 0 > 1 là sai. Đáp án B sai vì 0 < −1 là sai. Đáp án D sai vì 0 < −2 là sai.
Câu hỏi thường gặp về miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hỏi: Vì sao gốc tọa độ O lại được dùng làm điểm thử?
Đáp: Vì tọa độ của O là (0, 0) nên việc thay vào bất phương trình chỉ còn lại hệ số tự do, tính toán rất nhanh và ít sai sót. Ví dụ với bất phương trình 2x − y > 1, thay O vào được 0 > 1 là sai ngay mà không cần tính toán gì thêm. Chỉ khi O nằm trên đường thẳng bờ thì bạn mới phải chọn một điểm thử khác.
Hỏi: Nếu gốc tọa độ nằm trên đường thẳng bờ thì chọn điểm thử nào?
Đáp: Bạn chọn bất kì điểm nào không nằm trên đường thẳng bờ, ví dụ điểm (1, 0) hoặc (0, 1), miễn là bạn tính toán cẩn thận. Ví dụ với bất phương trình x − y ≤ 0, đường thẳng bờ x − y = 0 đi qua gốc tọa độ, bạn có thể thử điểm (0, 1): 0 − 1 = −1 ≤ 0 là đúng nên miền nghiệm là nửa chứa điểm (0, 1).
Hỏi: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c có bao giờ là cả mặt phẳng không?
Đáp: Không, vì a và b không đồng thời bằng 0 nên đường thẳng bờ luôn tồn tại và chia mặt phẳng thành hai nửa, miền nghiệm chỉ là một trong hai nửa đó. Trường hợp đặc biệt duy nhất là khi bất phương trình trở thành 0 ≤ c với c ≥ 0 thì mọi điểm đều thỏa mãn, nhưng lúc đó nó không còn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn nữa.
Hỏi: Làm thế nào để biểu diễn miền nghiệm trên hình vẽ cho đẹp?
Đáp: Bạn vẽ đường thẳng bờ bằng nét liền hoặc nét đứt tùy theo dấu, tô màu hoặc gạch chéo nửa mặt phẳng là miền nghiệm, và ghi chú rõ miền nghiệm là nửa nào. Trong bài kiểm tra, bạn nên ghi thêm dòng "thử điểm O(0, 0)" để giáo viên thấy cách làm của bạn.
Hỏi: Học miền nghiệm để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Miền nghiệm của một bất phương trình là viên gạch đầu tiên để xây dựng miền nghiệm của một hệ bất phương trình, và từ đó giải các bài toán tối ưu như bài toán sản xuất trong chương trình lớp 10. Nắm chắc bài này, bạn sẽ học hệ bất phương trình rất nhanh. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Kết luận
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c chỉ gói gọn trong ba bước: vẽ đường thẳng bờ ax + by = c, thử điểm O(0, 0) để chọn nửa mặt phẳng, và vẽ bờ bằng nét liền nếu có dấu bằng, nét đứt nếu không có dấu bằng. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn thử điểm trước khi tô miền, điểm thử phải không nằm trên đường thẳng bờ, và miền nghiệm là cả một nửa mặt phẳng chứ không phải vài điểm rời rạc. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xác định miền nghiệm của bất kì bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào — từ bài toán mua bánh trà sữa cho tới bài toán tối ưu trong đề thi.