Miền nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Một xưởng may có 100 mét vải và 60 giờ công mỗi tuần. Mỗi chiếc áo cần 2 mét vải và 1 giờ công, mỗi chiếc quần cần 1 mét vải và 2 giờ công. Xưởng nên may bao nhiêu áo và bao nhiêu quần để không vượt quá nguyên liệu và thời gian? Câu hỏi này không có một đáp án duy nhất mà có cả một vùng đáp án — và vùng đó chính là miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong Toán 10, hệ bất phương trình xuất hiện trong rất nhiều bài toán thực tế: lập kế hoạch sản xuất, phân bổ ngân sách, tối ưu lợi nhuận.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ miền nghiệm của hệ bất phương trình một cách có hệ thống: từ định nghĩa giao của các miền nghiệm, cách vẽ từng đường thẳng bờ và tìm phần chung, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ quy tắc "giao của các miền là miền chung", bạn sẽ vẽ được miền nghiệm của bất kì hệ nào.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn, và miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ — tức là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn đồng thời mọi bất phương trình. Về mặt hình học, mỗi bất phương trình cho một nửa mặt phẳng, và miền nghiệm của hệ là phần chung của tất cả các nửa mặt phẳng đó. Phần chung này có thể là một đa giác (thường là tam giác hoặc tứ giác), một miền vô hạn, hoặc cũng có thể là tập rỗng nếu các bất phương trình mâu thuẫn nhau.

Để vẽ miền nghiệm của hệ, bạn làm theo ba bước: vẽ tất cả các đường thẳng bờ trên cùng một hệ trục tọa độ, xác định miền nghiệm của từng bất phương trình bằng cách thử điểm, rồi lấy phần giao của các miền đó. Ví dụ với hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 2, ba bất phương trình cho ba nửa mặt phẳng: x ≥ 0 là nửa phải của trục Oy, y ≥ 0 là nửa trên của trục Ox, x + y ≤ 2 là nửa chứa gốc tọa độ. Giao của ba nửa này là một tam giác có ba đỉnh O(0, 0), A(2, 0) và B(0, 2) — đây chính là miền nghiệm của hệ, một miền bị chặn và rất gọn gàng.

Một điểm bạn cần lưu ý là các đỉnh của miền nghiệm được tìm bằng cách giải hệ phương trình tạo bởi các đường thẳng bờ. Ví dụ trong hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 và x + 2y ≤ 6, đỉnh giao của hai đường thẳng 2x + y = 6 và x + 2y = 6 được tìm bằng cách giải hệ hai phương trình này, cho ra điểm (2, 2). Kết hợp với các giao điểm trên trục tọa độ, miền nghiệm là tứ giác có bốn đỉnh O(0, 0), (3, 0), (2, 2) và (0, 3). Bạn hãy tập tìm đỉnh bằng cách giải hệ phương trình, vì trong bài toán tối ưu ở cuối chương, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm mục tiêu luôn đạt tại một trong các đỉnh này.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Xác định miền nghiệm của hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 2.
Bạn vẽ ba đường thẳng bờ: x = 0 là trục Oy, y = 0 là trục Ox, x + y = 2 là đường thẳng đi qua (2, 0) và (0, 2). Miền nghiệm của x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy, của y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục Ox, của x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ. Giao của ba nửa này là tam giác có ba đỉnh O(0, 0), A(2, 0) và B(0, 2). Bạn hãy kiểm tra một điểm trong tam giác, ví dụ (1, 1): 1 ≥ 0, 1 ≥ 0 và 1 + 1 = 2 ≤ 2 đều đúng, nên (1, 1) thuộc miền nghiệm. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 2 (tam giác lớn hơn): Xác định miền nghiệm của hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 4.
Bạn làm tương tự ví dụ 1 với đường thẳng bờ x + y = 4 đi qua (4, 0) và (0, 4). Miền nghiệm là tam giác có ba đỉnh O(0, 0), (4, 0) và (0, 4). Bạn hãy so sánh với ví dụ 1: chỉ cần thay số 2 bằng số 4 ở vế phải, tam giác miền nghiệm sẽ lớn gấp đôi theo mỗi chiều và diện tích lớn gấp bốn lần — diện tích tam giác này bằng 8, trong khi tam giác ở ví dụ 1 chỉ có diện tích bằng 2.

Ví dụ 3 (miền là tứ giác): Xác định miền nghiệm của hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 và x + 2y ≤ 6.
Bạn vẽ bốn đường thẳng bờ: x = 0, y = 0, 2x + y = 6 và x + 2y = 6. Đường thẳng 2x + y = 6 cắt trục Ox tại (3, 0) và cắt trục Oy tại (0, 6); đường thẳng x + 2y = 6 cắt trục Ox tại (6, 0) và cắt trục Oy tại (0, 3). Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm thỏa mãn cả hai phương trình: từ 2x + y = 6 và x + 2y = 6, bạn giải ra x = 2, y = 2. Miền nghiệm là tứ giác có bốn đỉnh O(0, 0), (3, 0), (2, 2) và (0, 3). Bạn hãy kiểm tra điểm (1, 1): 2 + 1 = 3 ≤ 6 và 1 + 2 = 3 ≤ 6 đều đúng, nên (1, 1) nằm trong miền nghiệm.

Ví dụ 4 (tam giác không chứa gốc tọa độ): Xác định miền nghiệm của hệ gồm x + y ≤ 3, x ≥ 1 và y ≥ 1.
Bạn vẽ ba đường thẳng bờ: x + y = 3, x = 1 và y = 1. Miền nghiệm là giao của nửa mặt phẳng x + y ≤ 3 với nửa mặt phẳng x ≥ 1 và nửa mặt phẳng y ≥ 1, tạo thành tam giác có ba đỉnh (1, 1), (2, 1) và (1, 2). Bạn hãy để ý: gốc tọa độ O(0, 0) không thuộc miền nghiệm này vì nó không thỏa mãn x ≥ 1. Đây là ví dụ cho thấy miền nghiệm của hệ không nhất thiết phải chứa gốc tọa độ — bạn phải xét từng bất phương trình trong hệ, không được mặc định miền nghiệm luôn kề gốc tọa độ.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Lấy hợp thay vì giao các miền nghiệm.
Nhiều bạn tô cả ba nửa mặt phẳng chồng lên nhau rồi kết luận miền nghiệm là toàn bộ phần đã tô. Cách tránh: bạn hãy nhớ miền nghiệm của hệ là phần chung của tất cả các miền, tức là chỉ những điểm thỏa mãn đồng thời mọi bất phương trình mới thuộc miền nghiệm — phần nào chỉ thỏa mãn một bất phương trình thì không được tính.

Lỗi 2: Quên một bất phương trình trong hệ.
Nhiều bạn vẽ miền nghiệm của hệ bốn bất phương trình mà chỉ xét ba bất phương trình đầu, bỏ sót bất phương trình cuối. Cách tránh: bạn hãy đếm số bất phương trình trong hệ trước khi vẽ, và đánh dấu từng bất phương trình đã xét xong để không bỏ sót.

Lỗi 3: Xác định sai tọa độ đỉnh giao nhau.
Nhiều bạn lấy giao điểm của hai đường thẳng bờ bằng cách đoán trên hình vẽ thay vì giải hệ phương trình. Cách tránh: bạn hãy giải hệ hai phương trình của hai đường thẳng bờ để tìm chính xác tọa độ giao điểm, ví dụ giao của 2x + y = 6 và x + 2y = 6 là (2, 2), không phải (2, 3) hay (3, 2).

Lỗi 4: Nhầm miền bị chặn với miền không bị chặn.
Nhiều bạn kết luận miền nghiệm của hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 2 là miền không bị chặn. Cách tránh: bạn hãy xem miền nghiệm có bị "khóa" bởi các đường thẳng bờ ở mọi phía hay không — hệ này có đủ ba đường thẳng bờ bao quanh nên miền nghiệm là tam giác bị chặn, còn hệ chỉ có x ≥ 0 và y ≥ 0 thì miền nghiệm là góc phần tư thứ nhất, không bị chặn.

Lỗi 5: Không kiểm tra lại bằng một điểm trong miền.
Nhiều bạn vẽ xong miền nghiệm mà không thử lại một điểm nào, nên không phát hiện ra mình đã chọn nhầm nửa mặt phẳng ở một bất phương trình. Cách tránh: bạn hãy chọn một điểm nằm rõ ràng trong miền vừa vẽ, ví dụ (1, 1), rồi thay vào tất cả các bất phương trình trong hệ để kiểm tra. Nếu muốn ôn lại miền nghiệm của một bất phương trình, bạn hãy xem bài miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra điểm vào tất cả các bất phương trình trong hệ.

Câu 1: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 2?
A. (3, 0)
B. (1, 1)
C. (0, 3)
D. (2, 2)

Câu 2: Miền nghiệm của hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 4 là hình gì?
A. Hình vuông
B. Hình chữ nhật
C. Tam giác
D. Nửa mặt phẳng

Câu 3: Điểm (1, 2) có thuộc miền nghiệm của hệ gồm x + y ≤ 3, x ≥ 0 và y ≥ 0 hay không?
A. Không
B. Thuộc bờ x = 0
C. Không xác định được
D. Có

Câu 4: Hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và x + 2y ≤ 4 có miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh là
A. (0, 0), (4, 0), (0, 2)
B. (0, 0), (2, 0), (0, 4)
C. (0, 0), (4, 0), (0, 4)
D. (0, 0), (2, 0), (0, 2)

Câu 5: Điểm nào sau đây KHÔNG thuộc miền nghiệm của hệ gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và 2x + y ≤ 4?
A. (1, 1)
B. (2, 0)
C. (0, 4)
D. (2, 1)

Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Điểm (1, 1) thỏa mãn cả ba bất phương trình: 1 ≥ 0, 1 ≥ 0 và 1 + 1 = 2 ≤ 2. Đáp án A sai vì (3, 0) có 3 + 0 = 3 > 2. Đáp án C sai vì (0, 3) có 0 + 3 = 3 > 2. Đáp án D sai vì (2, 2) có 2 + 2 = 4 > 2.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (Tam giác) đúng: Ba đường thẳng bờ x = 0, y = 0 và x + y = 4 bao quanh một tam giác có ba đỉnh (0, 0), (4, 0) và (0, 4). Đáp án A sai vì tam giác không phải hình vuông. Đáp án B sai vì ba đỉnh không tạo thành hình chữ nhật. Đáp án D sai vì miền nghiệm là một miền bị chặn, không phải nửa mặt phẳng.

Giải thích Câu 3 — Đáp án D (Có) đúng: Điểm (1, 2) thỏa mãn cả ba bất phương trình: 1 + 2 = 3 ≤ 3, 1 ≥ 0 và 2 ≥ 0, nên nó thuộc miền nghiệm — hơn nữa nó còn nằm ngay trên đường thẳng bờ x + y = 3. Đáp án A sai vì điểm thỏa mãn mọi bất phương trình. Đáp án B sai vì điểm không nằm trên đường thẳng x = 0. Đáp án C sai vì hoàn toàn xác định được bằng phép thử.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Đường thẳng x + 2y = 4 cắt trục Ox tại (4, 0) và cắt trục Oy tại (0, 2), kết hợp với gốc tọa độ O(0, 0) tạo thành tam giác có ba đỉnh (0, 0), (4, 0), (0, 2). Đáp án B sai vì (2, 0) và (0, 4) không nằm trên đường thẳng x + 2y = 4. Đáp án C sai vì (0, 4) không thỏa mãn 0 + 8 ≤ 4. Đáp án D sai vì (2, 0) và (0, 2) không phải là giao điểm của đường thẳng bờ với hai trục.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Điểm (2, 1) có 2 × 2 + 1 = 5 > 4 nên không thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 4, vì vậy nó không thuộc miền nghiệm. Đáp án A sai vì (1, 1) có 2 + 1 = 3 ≤ 4 nên thuộc miền nghiệm. Đáp án B sai vì (2, 0) có 4 ≤ 4 nên thuộc miền nghiệm. Đáp án C sai vì (0, 4) có 4 ≤ 4 nên thuộc miền nghiệm.

Câu hỏi thường gặp về miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hỏi: Miền nghiệm của hệ có bao giờ là tập rỗng không?
Đáp: Có, khi các bất phương trình trong hệ mâu thuẫn nhau. Ví dụ hệ gồm x + y ≤ 1 và x + y ≥ 3 không có điểm nào thỏa mãn cả hai bất phương trình cùng lúc, vì một số không thể vừa nhỏ hơn hoặc bằng 1 vừa lớn hơn hoặc bằng 3. Trên hình vẽ, hai nửa mặt phẳng của hai bất phương trình này không có phần chung.

Hỏi: Làm thế nào để biết miền nghiệm bị chặn hay không bị chặn?
Đáp: Bạn hãy xem các đường thẳng bờ có bao quanh được miền nghiệm ở mọi phía hay không. Nếu miền nghiệm bị giới hạn bởi các đường thẳng bờ ở mọi hướng thì nó bị chặn, ví dụ tam giác hay tứ giác. Nếu miền nghiệm kéo dài vô hạn theo một hướng nào đó, ví dụ góc phần tư thứ nhất, thì nó không bị chặn.

Hỏi: Vì sao trong bài toán tối ưu, giá trị lớn nhất lại đạt tại một đỉnh của miền nghiệm?
Đáp: Vì hàm mục tiêu trong các bài toán lớp 10 là hàm bậc nhất hai ẩn, chẳng hạn F = 3x + 4y, và giá trị của một hàm bậc nhất trên một miền đa giác luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác đó. Vì vậy chỉ cần tính giá trị của hàm tại các đỉnh rồi so sánh là tìm được đáp án.

Hỏi: Hệ có càng nhiều bất phương trình thì miền nghiệm càng nhỏ phải không?
Đáp: Đúng, vì mỗi bất phương trình thêm vào đều cắt bớt miền nghiệm hiện có — miền nghiệm của hệ là giao của tất cả các miền, nên thêm một bất phương trình chỉ có thể làm miền nghiệm nhỏ đi hoặc giữ nguyên, không bao giờ làm nó lớn lên.

Hỏi: Học hệ bất phương trình để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Hệ bất phương trình là công cụ để giải bài toán quy hoạch tuyến tính — dạng bài toán thực tế rất quan trọng trong chương trình lớp 10, ví dụ bài toán lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi nhuận cao nhất hay bài toán pha chế thức ăn với chi phí thấp nhất. Nắm chắc bài này, bạn sẽ giải được mọi bài toán tối ưu trong đề thi. Nếu muốn ôn lại quy tắc đếm, bạn hãy xem bài quy tắc cộng.

Kết luận

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ gói gọn trong một nguyên tắc: giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình. Bạn hãy nhớ ba điều: vẽ tất cả các đường thẳng bờ trên cùng một hệ trục, lấy phần chung của các nửa mặt phẳng, và tìm tọa độ các đỉnh bằng cách giải hệ phương trình của các đường thẳng bờ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xác định miền nghiệm của bất kì hệ bất phương trình nào — từ tam giác đơn giản cho tới tứ giác trong bài toán lập kế hoạch sản xuất của xưởng may.