Buổi sáng đi học, bạn đứng ở cổng nhà và nhìn sang trường ở phía bên kia bãi cỏ. Có hai cách để tới trường: một là đi vòng theo lối đi lát gạch men quanh bãi cỏ, hai là băng thẳng qua bãi cỏ tới cổng trường. Bạn sẽ chọn cách nào? Hầu hết mọi người đều chọn băng thẳng qua bãi cỏ — vì đường thẳng là đường ngắn nhất. Trong hình học lớp 7, câu chuyện "đi đường nào ngắn nhất" này có một cái tên chính thức: quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Và đáp án cũng giống như ngoài đời: đường vuông góc — tức là đường đi "thẳng góc" xuống — luôn là đường ngắn nhất trong tất cả các đường đi từ một điểm tới một đường thẳng.
Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", bài này nằm trong Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác, Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Nó đứng ngay sau bài về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác — và đó không phải là sự sắp xếp ngẫu nhiên: để hiểu vì sao đường vuông góc ngắn nhất, bạn phải dùng đúng kiến thức của bài trước, rằng trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh dài nhất. Học xong bài này, mỗi lần cần tìm khoảng cách ngắn nhất từ một điểm tới một đường thẳng — từ bờ sông tới con đường, từ cột điện tới mặt đất — bạn sẽ biết ngay phải kẻ đường nào.
1. Đường vuông góc và đường xiên là gì? Hai cách đi từ một điểm xuống một đường thẳng
Bạn hãy vẽ một đường thẳng d trên giấy, rồi lấy một điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Từ A, bạn có thể kẻ rất nhiều đoạn thẳng xuống d, mỗi đoạn chạm d tại một điểm khác nhau. Trong vô số đoạn thẳng đó, có đúng một đoạn thẳng vuông góc với d — đoạn thẳng đó gọi là đường vuông góc kẻ từ A đến d. Giả sử nó chạm d tại điểm H, thì đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d, và H gọi là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.
Tất cả các đoạn thẳng còn lại kẻ từ A xuống d — những đoạn không vuông góc với d — đều gọi là đường xiên kẻ từ A đến d. Ví dụ, bạn lấy một điểm M bất kì trên d (M khác H), nối A với M, thì đoạn thẳng AM là một đường xiên. Bạn lấy thêm điểm B, điểm C trên d, nối A với B, A với C, bạn được thêm hai đường xiên AB, AC nữa. Cứ mỗi điểm trên d là có một đường xiên tương ứng, nên số đường xiên là vô số, trong khi đường vuông góc chỉ có đúng một. Bạn hãy nhớ kĩ cách phân biệt: đường vuông góc thì tạo góc 90° với đường thẳng d, đường xiên thì tạo góc nhọn hoặc góc tù với d, nhưng không bao giờ vuông góc.
Một khái niệm đi kèm mà bạn phải nhớ: độ dài đoạn thẳng AH — tức là độ dài của đường vuông góc — được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Khi đề bài hỏi "tính khoảng cách từ A đến d", bạn đừng đi tìm đường xiên nào cả: khoảng cách chính là AH. Trong đời sống, bạn đo khoảng cách từ một ngôi nhà tới con đường cũng bằng cách này: bạn kẻ đường vuông góc từ nhà xuống đường, độ dài của nó là khoảng cách ngắn nhất, chứ không phải độ dài của con đường mòn xiên xẹo nào đó.
2. Định lí quan trọng nhất: trong các đường xiên và đường vuông góc, đường vuông góc là đường ngắn nhất
Đây là định lí trung tâm của cả bài, và bạn nên học thuộc lòng: trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. Nói cách khác, nếu AH là đường vuông góc kẻ từ A đến d và AM là một đường xiên bất kì kẻ từ A đến d thì luôn có AH < AM. Công thức chỉ có một dòng, nhưng nó là đáp án của gần như mọi bài tập trong bài này.
Vì sao đường vuông góc lại ngắn nhất? Bạn hãy nhìn vào tam giác AHM, với H là chân đường vuông góc và M là chân của một đường xiên bất kì. Tam giác AHM vuông tại H, nên góc vuông AHM là góc lớn nhất trong tam giác. Theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác — kiến thức bạn đã học ở bài trước — cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với góc vuông AHM là cạnh huyền AM, nên AM là cạnh dài nhất của tam giác AHM, tức là AM > AH. Lập luận này đúng với mọi đường xiên, nên đường vuông góc AH ngắn hơn tất cả các đường xiên. Bạn thấy không, bài trước và bài này nối với nhau chặt chẽ như vậy: không hiểu "cạnh huyền dài nhất" thì không chứng minh được "đường vuông góc ngắn nhất".
Bạn hãy ghi nhớ hệ quả thực tế của định lí này: khi cần đi từ một điểm tới một đường thẳng bằng con đường ngắn nhất, bạn luôn đi theo đường vuông góc. Người ta xây cầu qua sông theo hướng vuông góc với bờ sông, cột điện được dựng vuông góc với mặt đất, và đường ống nước từ nhà máy tới con đường chính cũng đi theo hướng vuông góc — tất cả đều là ứng dụng của định lí này. Trong bài tập, mỗi khi đề bài hỏi "đoạn thẳng nào ngắn nhất" hay "đường đi nào ngắn nhất", bạn hãy tìm đường vuông góc trước tiên.
3. Đường xiên và hình chiếu: xiên nào "chân dài" hơn thì dài hơn
Đường vuông góc đã là ngắn nhất, vậy giữa các đường xiên với nhau thì đường nào dài hơn? Câu trả lời nằm ở hình chiếu của chúng. Bạn hãy lấy H là chân đường vuông góc, M là chân của đường xiên AM. Đoạn thẳng HM nằm trên đường thẳng d gọi là hình chiếu của đường xiên AM trên d. Nói đơn giản: hình chiếu là "cái bóng" của đường xiên đổ xuống đường thẳng d khi chiếu theo hướng vuông góc. Đường xiên càng "nghiêng" nhiều thì hình chiếu của nó càng dài.
Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu được phát biểu như sau: đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn, và đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. Ví dụ, AH vuông góc với d, hai đường xiên AB và AC có hình chiếu HB = 6 cm và HC = 15 cm. Vì HC > HB nên AC > AB. Ngược lại, nếu đề bài cho AC > AB thì bạn suy ra ngay HC > HB. Ngoài ra còn có một trường hợp đặc biệt: nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu của chúng bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Bạn hãy tưởng tượng hai đường xiên đối xứng nhau qua đường vuông góc AH — chúng dài bằng nhau và "chân" của chúng cách H những khoảng bằng nhau.
Bạn có thể chứng minh quan hệ này bằng định lí Pi-ta-go, dù sách lớp 7 chưa gọi tên nó một cách chính thức: trong tam giác vuông AHM, AM² = AH² + HM². Khi AH cố định, HM càng lớn thì AM càng lớn. Công thức này còn cho bạn một cách tính rất nhanh: biết AH và HM thì tính được AM, biết AH và AM thì tính được HM. Bạn sẽ dùng nó trong ví dụ 1 và ví dụ 2 ở mục sau, và nó cũng là cầu nối sang bài toán về tam giác vuông ở các chương sau.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Từ điểm A kẻ AH vuông góc với đường thẳng d tại H, AH = 3 cm. Lấy điểm B trên d sao cho AB = 5 cm là một đường xiên. So sánh AH và AB, rồi tính HB.
Đây là ví dụ gốc của bài.
Vì AH là đường vuông góc và AB là đường xiên kẻ từ cùng một điểm A đến đường thẳng d nên AH < AB. Cụ thể, 3 cm < 5 cm — đường vuông góc ngắn hơn đường xiên.
Tam giác AHB vuông tại H, nên theo định lí Pi-ta-go: AB² = AH² + HB², suy ra HB² = AB² − AH² = 25 − 9 = 16, vậy HB = 4 cm.
Bạn hãy kiểm tra lại: 3, 4, 5 là bộ ba số Pi-ta-go quen thuộc — tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm thì cạnh huyền bằng 5 cm.
Ví dụ 2 (so sánh hai đường xiên): Từ điểm A kẻ AH vuông góc với đường thẳng d tại H, AH = 8 cm. Hai đường xiên AB và AC có hình chiếu HB = 6 cm và HC = 15 cm. Tính AB, AC và so sánh chúng.
Tam giác AHB vuông tại H: AB² = AH² + HB² = 64 + 36 = 100, suy ra AB = 10 cm.
Tam giác AHC vuông tại H: AC² = AH² + HC² = 64 + 225 = 289, suy ra AC = 17 cm.
Vì HC = 15 cm > HB = 6 cm nên AC > AB — đúng như quy tắc "đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn". Bạn hãy để ý: 6, 8, 10 và 8, 15, 17 đều là những bộ ba số Pi-ta-go quen thuộc, nên bạn có thể tính nhẩm rất nhanh.
Ví dụ 3 (đường vuông góc trong hình vuông): Cho hình vuông ABCD cạnh 4 cm. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho BM = 3 cm. So sánh AB và AM, rồi tính AM.
Vì ABCD là hình vuông nên AB vuông góc với BC tại B. Vậy AB là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC, còn AM là đường xiên kẻ từ A đến BC, nên AB < AM.
Tam giác ABM vuông tại B: AM² = AB² + BM² = 16 + 9 = 25, suy ra AM = 5 cm.
Vậy AB = 4 cm < AM = 5 cm. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC chính là AB = 4 cm — tức là bằng độ dài cạnh hình vuông. Khi cần kiểm tra lại phép tính nhẩm, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 4 (chọn đường đi ngắn nhất): Một bạn học sinh đứng tại điểm A, cách bờ sông là đường thẳng d một khoảng AH = 5 m (H là chân đường vuông góc). Bạn đó muốn ra bờ sông lấy nước. Có hai lối đi: lối thứ nhất đi thẳng tới H, lối thứ hai đi xiên tới điểm M trên bờ sông sao cho HM = 12 m. Hỏi nên đi lối nào và mỗi lối dài bao nhiêu?
Lối thứ nhất là đường vuông góc AH = 5 m.
Lối thứ hai là đường xiên AM. Tam giác AHM vuông tại H: AM² = AH² + HM² = 25 + 144 = 169, suy ra AM = 13 m.
Vì 5 m < 13 m nên bạn đó nên đi theo lối thứ nhất — đường vuông góc AH. Đây chính là ứng dụng thực tế của định lí: muốn đi ngắn nhất thì đi vuông góc, đừng đi xiên.
5. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Tưởng đường xiên ngắn hơn đường vuông góc.
Nhiều bạn nhìn hình vẽ thấy đường xiên "dốc" hơn nên tưởng nó ngắn hơn. Sai hoàn toàn: đường vuông góc luôn là đường ngắn nhất trong mọi đường kẻ từ một điểm tới một đường thẳng. Cách tránh: nhớ hình ảnh "đi tắt qua bãi cỏ" — đường thẳng góc xuống bao giờ cũng ngắn hơn đường đi xiên.
Lỗi 2: Nhầm đường xiên với đường vuông góc vì không kiểm tra góc vuông.
Nhiều bạn thấy một đoạn thẳng kẻ từ A xuống d là gọi ngay đó là đường vuông góc, mà không kiểm tra xem nó có vuông góc với d hay không. Cách tránh: đường vuông góc phải tạo góc 90° với d — bạn hãy tìm dấu góc vuông trong hình vẽ, hoặc kiểm tra đề bài có cho "AH vuông góc với d" hay không trước khi kết luận.
Lỗi 3: Lấy độ dài đường xiên làm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Đề bài hỏi "khoảng cách từ A đến d" mà nhiều bạn trả lời bằng độ dài một đường xiên AM nào đó. Sai: khoảng cách từ A đến d là độ dài của đường vuông góc AH, không phải của bất kì đường xiên nào. Cách tránh: cứ thấy chữ "khoảng cách từ điểm đến đường thẳng" là nghĩ ngay tới đường vuông góc.
Lỗi 4: So sánh hai đường xiên bằng độ dài hình chiếu ngược lại.
Nhiều bạn thấy HB > HC mà kết luận AB < AC — tức là đảo ngược quan hệ. Cách tránh: nhớ đúng chiều — hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn, cùng chiều nhau, không ngược nhau. Bạn có thể nhẩm: "chân càng dài thì xiên càng dài".
Lỗi 5: Quên rằng đường vuông góc chỉ có một, còn đường xiên thì vô số.
Nhiều bạn vẽ hai đường vuông góc khác nhau từ cùng một điểm A xuống cùng một đường thẳng d, điều này không thể xảy ra: qua một điểm ngoài đường thẳng chỉ kẻ được đúng một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó. Cách tránh: nếu hình vẽ của bạn có hai đoạn thẳng cùng vuông góc với d từ cùng một điểm A, bạn đã vẽ sai — một trong hai đoạn đó phải là đường xiên.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ vẽ hình ra giấy nháp trước khi tính — vẽ hình là một nửa của bài làm.
Câu 1: Từ điểm A kẻ AH vuông góc với đường thẳng d tại H, AH = 4 cm. Lấy điểm B trên d sao cho AB = 7 cm là một đường xiên. So sánh AH và AB.
A. AH > AB
B. AH = AB
C. AH < AB
D. Không so sánh được
Câu 2: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng độ dài của đoạn thẳng nào?
A. Độ dài đường xiên dài nhất kẻ từ A đến d
B. Độ dài đường vuông góc AH kẻ từ A đến d
C. Độ dài một đường xiên bất kì kẻ từ A đến d
D. Bằng 0
Câu 3: Từ điểm A kẻ AH vuông góc với đường thẳng d tại H. Hai đường xiên AB và AC có hình chiếu HB = 3 cm và HC = 5 cm. So sánh AB và AC.
A. AB > AC
B. AB < AC
C. AB = AC
D. Không đủ dữ kiện để so sánh
Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 6 cm, M là một điểm trên cạnh BC. So sánh AB và AM.
A. AB > AM
B. AB = AM
C. AB < AM
D. AM = 6 cm
Câu 5: Từ điểm A kẻ AH vuông góc với đường thẳng d tại H, AH = 6 cm. Đường xiên AM có độ dài 10 cm. Độ dài hình chiếu HM bằng bao nhiêu?
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 10 cm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | B | B | C | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C (AH < AB) đúng: AH là đường vuông góc, AB là đường xiên kẻ từ cùng một điểm A đến đường thẳng d, mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên AH < AB. Cụ thể 4 cm < 7 cm. Đáp án A sai vì đường xiên không thể ngắn hơn đường vuông góc. Đáp án B sai vì AH và AB là hai đoạn thẳng khác nhau, không thể bằng nhau khi một đoạn vuông góc và một đoạn xiên. Đáp án D sai vì định lí cho phép so sánh ngay: đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d được định nghĩa là độ dài của đường vuông góc AH kẻ từ A đến d. Đáp án A sai vì đường xiên dài nhất còn dài hơn cả đường vuông góc, không thể là khoảng cách ngắn nhất. Đáp án C sai vì mỗi đường xiên có một độ dài khác nhau, không thể lấy một đường xiên bất kì làm khoảng cách. Đáp án D sai vì A nằm ngoài d nên khoảng cách từ A đến d lớn hơn 0.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (AB < AC) đúng: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Vì HC = 5 cm > HB = 3 cm nên AC > AB, tức là AB < AC. Đáp án A sai vì đó là chiều ngược lại của quy tắc. Đáp án C sai vì hai hình chiếu khác nhau (3 cm và 5 cm) nên hai đường xiên không thể bằng nhau. Đáp án D sai vì đã đủ dữ kiện: chỉ cần so sánh hai hình chiếu là so sánh được hai đường xiên.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (AB < AM) đúng: Vì ABCD là hình vuông nên AB vuông góc với BC tại B. Vậy AB là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC, còn AM là đường xiên kẻ từ A đến BC (M nằm trên BC, M khác B), nên AB < AM theo định lí đường vuông góc ngắn nhất. Đáp án A sai vì đường vuông góc không thể dài hơn đường xiên. Đáp án B sai vì AB và AM là hai đoạn thẳng khác nhau: AB vuông góc với BC, AM xiên với BC. Đáp án D sai vì AM > AB = 6 cm nên AM lớn hơn 6 cm, không thể bằng 6 cm.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (8 cm) đúng: Tam giác AHM vuông tại H, nên AM² = AH² + HM², suy ra HM² = AM² − AH² = 100 − 36 = 64, vậy HM = 8 cm. Đáp án A (4 cm) sai vì 4 cm = 10 − 6 — đó là phép trừ độ dài, không phải cách tính hình chiếu trong tam giác vuông. Đáp án B (6 cm) sai vì 6 cm là độ dài AH đã cho, không phải HM. Đáp án D (10 cm) sai vì 10 cm là độ dài đường xiên AM, không phải hình chiếu của nó.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Đường vuông góc và đường xiên khác nhau ở điểm nào?
Đáp: Đường vuông góc là đoạn thẳng kẻ từ một điểm xuống một đường thẳng và vuông góc với đường thẳng đó — chỉ có đúng một đường như vậy. Đường xiên là đoạn thẳng kẻ từ điểm đó xuống đường thẳng nhưng không vuông góc với nó — có vô số đường xiên. Đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên.
Hỏi: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là gì?
Đáp: Là độ dài của đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng. Ví dụ, AH vuông góc với d tại H thì khoảng cách từ A đến d bằng độ dài đoạn AH. Đây là khoảng cách ngắn nhất trong tất cả các đoạn thẳng nối A với các điểm trên d.
Hỏi: Vì sao đường vuông góc lại ngắn nhất?
Đáp: Vì trong tam giác vuông tạo bởi đường vuông góc AH và một đường xiên AM bất kì, góc vuông tại H là góc lớn nhất, nên cạnh đối diện với nó — tức là cạnh huyền AM — là cạnh dài nhất. Vậy AM > AH với mọi đường xiên AM, nên AH là ngắn nhất.
Hỏi: Hai đường xiên bằng nhau thì hình chiếu của chúng thế nào?
Đáp: Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu của chúng bằng nhau, và ngược lại, hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Còn nếu một đường xiên có hình chiếu lớn hơn thì đường xiên đó cũng lớn hơn — quan hệ này cùng chiều, không ngược chiều.
Hỏi: Học đường vuông góc và đường xiên để làm gì trong các bài hình học sau?
Đáp: Rất nhiều. Khi học về tam giác vuông, bạn dùng quan hệ này để so sánh cạnh huyền với cạnh góc vuông. Khi học về khoảng cách, bạn dùng nó để tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng hay tới một mặt phẳng. Và khi học hình học không gian ở lớp cao hơn, đường vuông góc từ một điểm tới một mặt phẳng cũng là đường ngắn nhất — đúng cùng một ý tưởng như bài này.
8. Kết luận
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên gói gọn trong hai ý: thứ nhất, trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất, tức là AH < AM với mọi đường xiên AM; thứ hai, giữa các đường xiên với nhau, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Từ một định lí này, bạn tính được khoảng cách ngắn nhất từ bất kì điểm nào tới bất kì đường thẳng nào — chỉ cần kẻ đường vuông góc và đo độ dài của nó. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về đường vuông góc và đường xiên trong chương trình lớp 7 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để học các bài hình học sau, vì ý tưởng "đường vuông góc là ngắn nhất" sẽ quay lại mỗi khi bạn gặp tam giác vuông, khoảng cách hay hình chiếu. Nếu muốn ôn lại cách một điểm nằm giữa chia đoạn thẳng thành hai phần cộng lại vừa đúng thành đoạn lớn — ý tưởng tương tự như cách chân H chia đường thẳng d thành các hình chiếu — bạn hãy xem lại bài độ dài đoạn thẳng khi biết một điểm nằm giữa hai điểm. Và khi học sang bài về hai góc kề bù, bạn hãy xem lại bài hai góc kề nhau, bù nhau và kề bù — ở đó, góc vuông 90° cũng là mốc để phân biệt góc nhọn với góc tù, giống như đường vuông góc là mốc để so sánh mọi đường xiên trong bài này vậy.