Bạn đã bao giờ cầm compa vẽ một đường tròn rồi tự hỏi: làm sao chỉ nhìn vào phương trình mà biết ngay đường tròn đó nằm ở đâu và to cỡ nào? Trong hình học lớp 10, đường tròn không còn là hình vẽ tay nữa mà trở thành một phương trình đại số, và chỉ cần đọc đúng hai con số trong đó là bạn nắm trọn cả hình. Tâm cho biết đường tròn đặt ở đâu trên mặt phẳng tọa độ, bán kính cho biết nó lớn hay nhỏ — hai thông tin này đủ để bạn vẽ lại đường tròn, tính chu vi, diện tích, hay xét vị trí tương đối với một đường thẳng bất kì.
Bài này sẽ dạy bạn cách "đọc" một phương trình đường tròn như đọc một tấm bản đồ: từ dạng chính tắc (x − a)² + (y − b)² = R² cho tới dạng khai triển x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, kèm theo 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nắm chắc hai công thức trong bài, mọi bài tập về tâm và bán kính đường tròn trong đề kiểm tra lớp 10 đều trở nên rất đơn giản.
Tâm và bán kính đường tròn: hai công thức bạn phải thuộc
Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R có phương trình chính tắc là (x − a)² + (y − b)² = R². Bạn hãy đọc công thức này theo nghĩa hình học: một điểm M(x, y) nằm trên đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới tâm I đúng bằng R, tức là IM = R, mà IM² = (x − a)² + (y − b)². Vì vậy chỉ cần nhìn vào phương trình, bạn đọc ngay được tâm và bán kính: số trừ đi x trong ngoặc đầu tiên là hoành độ tâm, số trừ đi y trong ngoặc thứ hai là tung độ tâm, còn vế phải là bình phương bán kính. Chú ý dấu: phương trình (x − 1)² + (y + 2)² = 9 có tâm I(1, −2) chứ không phải I(1, 2), vì y + 2 chính là y − (−2).
Dạng thứ hai của phương trình đường tròn là dạng khai triển x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, với tâm I(a, b) và bán kính R = √(a² + b² − c). Để lấy được a và b, bạn chỉ cần nhìn vào hệ số của x và y: hệ số của x bằng −2a nên a bằng hệ số đó chia cho −2, tương tự hệ số của y bằng −2b. Ví dụ phương trình x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 có hệ số của x là −4 nên a = 2, hệ số của y là 6 nên b = −3, vậy tâm I(2, −3) và bán kính R = √(4 + 9 + 12) = √25 = 5. Bạn hãy luôn kiểm tra điều kiện a² + b² − c > 0 trước khi kết luận, vì nếu a² + b² − c = 0 thì phương trình chỉ biểu diễn một điểm, còn nếu a² + b² − c < 0 thì phương trình không biểu diễn đường tròn nào cả.
Hai dạng phương trình này thực ra là một: bạn khai triển dạng chính tắc (x − a)² + (y − b)² = R² sẽ được x² − 2ax + a² + y² − 2by + b² − R² = 0, tức là dạng khai triển với c = a² + b² − R². Hiểu được mối liên hệ này, bạn có thể chuyển đổi qua lại giữa hai dạng một cách linh hoạt: khi đề cho dạng khai triển mà hỏi tâm và bán kính, bạn có thể đưa về dạng chính tắc bằng cách nhóm bình phương, hoặc áp dụng thẳng công thức R = √(a² + b² − c). Trong bài tập trắc nghiệm, cách nhanh nhất thường là đọc hệ số rồi áp dụng công thức, nhưng khi đề yêu cầu viết phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước thì dạng chính tắc lại tiện hơn nhiều. Bạn hãy luyện cả hai cách để không bị lúng túng khi gặp dạng bài lạ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho đường tròn (x − 1)² + (y + 2)² = 9. Xác định tâm và bán kính của đường tròn.
Bạn so sánh với dạng chính tắc (x − a)² + (y − b)² = R²: a = 1, b = −2 vì y + 2 = y − (−2), và R² = 9 nên R = 3. Vậy đường tròn có tâm I(1, −2) và bán kính R = 3. Bạn hãy vẽ thử lên giấy: tâm I nằm ở góc phần tư thứ tư, đường tròn đi qua điểm (4, −2) ở bên phải tâm 3 đơn vị và điểm (1, 1) ở phía trên tâm 3 đơn vị. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (dạng khai triển): Cho đường tròn x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0. Xác định tâm và bán kính.
Hệ số của x là −4 nên a = 2, hệ số của y là 6 nên b = −3, vậy tâm I(2, −3). Bán kính bằng R = √(a² + b² − c) = √(4 + 9 − (−12)) = √25 = 5. Bạn kiểm tra điều kiện: a² + b² − c = 25 > 0 nên đây đúng là một đường tròn. Bạn cũng có thể kiểm chứng bằng cách đưa về dạng chính tắc: nhóm (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9, tức là (x − 2)² + (y + 3)² = 25 — đúng tâm I(2, −3), bán kính 5.
Ví dụ 3 (bán kính nhỏ): Cho đường tròn x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0. Xác định tâm và bán kính.
Hệ số của x là 2 nên a = −1, hệ số của y là −4 nên b = 2, vậy tâm I(−1, 2). Bán kính bằng R = √(1 + 4 − 1) = √4 = 2. Bạn hãy để ý: hệ số c = 1 tuy nhỏ nhưng vẫn phải trừ đi trong công thức, nhiều bạn quên mất số 1 này nên tính ra R = √5 là sai. Đường tròn này có tâm ở góc phần tư thứ hai, bán kính chỉ bằng 2, khá nhỏ so với ví dụ 2.
Ví dụ 4 (phương trình không phải đường tròn): Phương trình x² + y² − 6x + 8y + 25 = 0 có phải là phương trình đường tròn không?
Bạn tính a = 3, b = −4, c = 25 rồi kiểm tra a² + b² − c = 9 + 16 − 25 = 0. Vì a² + b² − c = 0 nên R = 0, phương trình chỉ biểu diễn một điểm duy nhất là I(3, −4), không phải một đường tròn. Đây là dạng bài bẫy rất hay gặp trong đề kiểm tra: đề cho một phương trình trông giống đường tròn nhưng thực ra không phải, bạn phải kiểm tra điều kiện trước khi trả lời. Nếu c lớn hơn nữa, ví dụ c = 30, thì a² + b² − c = −5 < 0 và phương trình không biểu diễn hình nào cả.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Đọc nhầm dấu của tâm.
Nhiều bạn thấy (x − 1)² + (y + 2)² = 9 thì kết luận tâm I(1, 2), quên rằng y + 2 là y − (−2). Cách tránh: bạn hãy viết rõ dòng a = 1, b = −2 ra giấy nháp trước khi trả lời, và nhớ quy tắc "dấu trong ngoặc ngược với dấu của tọa độ tâm".
Lỗi 2: Lấy R² làm bán kính.
Nhiều bạn thấy vế phải bằng 9 thì trả lời bán kính bằng 9, quên lấy căn bậc hai. Cách tránh: bạn hãy luôn viết dòng R² = 9 nên R = 3, đừng bao giờ trả lời trực tiếp bằng số ở vế phải khi chưa lấy căn.
Lỗi 3: Tính sai a và b từ dạng khai triển.
Nhiều bạn thấy hệ số của x là −4 thì lấy luôn a = −4, quên chia cho −2. Cách tránh: bạn hãy nhớ a bằng hệ số của x chia cho −2, tức là đổi dấu rồi chia 2; với hệ số −4 thì a = 2, với hệ số 6 thì b = −3.
Lỗi 4: Quên kiểm tra điều kiện a² + b² − c > 0.
Nhiều bạn tính ra R = √(−5) mà vẫn cố trả lời, hoặc kết luận mọi phương trình dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 đều là đường tròn. Cách tránh: bạn hãy tính a² + b² − c trước, nếu số này bằng 0 thì chỉ là một điểm, nếu âm thì không có hình nào.
Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa hai dạng phương trình khi viết phương trình đường tròn.
Nhiều bạn được cho tâm I(−1, 2) và bán kính 3 mà viết thành (x − 1)² + (y + 2)² = 3, sai cả dấu lẫn vế phải. Cách tránh: bạn hãy viết đúng dạng chính tắc (x + 1)² + (y − 2)² = 9, trong đó vế phải là R² = 9 chứ không phải R = 3. Nếu muốn ôn lại cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, bạn hãy xem bài tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ đọc kĩ dấu của tâm và lấy căn bậc hai khi tính bán kính.
Câu 1: Đường tròn (x − 2)² + (y + 3)² = 25 có tâm và bán kính là
A. I(2, −3), R = 5
B. I(−2, 3), R = 5
C. I(2, −3), R = 25
D. I(2, 3), R = 5
Câu 2: Đường tròn x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 có bán kính bằng
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 3: Đường tròn (x + 1)² + (y − 5)² = 49 có bán kính bằng
A. 49
B. 7
C. 14
D. √7
Câu 4: Đường tròn tâm I(−1, 2) bán kính 3 có phương trình là
A. (x − 1)² + (y + 2)² = 9
B. (x + 1)² + (y − 2)² = 3
C. (x − 1)² + (y − 2)² = 9
D. (x + 1)² + (y − 2)² = 9
Câu 5: Đường tròn x² + y² − 2x − 2y − 7 = 0 có bán kính bằng
A. 3
B. 2
C. √7
D. 4
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (I(2, −3), R = 5) đúng: So sánh với dạng chính tắc, a = 2, b = −3 vì y + 3 = y − (−3), R² = 25 nên R = 5. Đáp án B sai vì lấy nhầm dấu của cả hai tọa độ tâm. Đáp án C sai vì lấy R² = 25 làm bán kính mà quên lấy căn. Đáp án D sai vì tung độ tâm là −3 chứ không phải 3.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (4) đúng: Hệ số của x là −6 nên a = 3, hệ số của y là 4 nên b = −2, c = −3. Bán kính R = √(9 + 4 − (−3)) = √16 = 4. Đáp án A sai vì 2 là trị tuyệt đối của b chứ không phải bán kính. Đáp án B sai vì 3 là a chứ không phải bán kính. Đáp án D sai vì 5 ứng với R² = 25, không phải 16.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (7) đúng: R² = 49 nên R = √49 = 7. Đáp án A sai vì lấy R² làm bán kính. Đáp án C sai vì 14 là đường kính (2R) chứ không phải bán kính. Đáp án D sai vì √7 ứng với R² = 7, không phải 49.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Tâm I(−1, 2) cho a = −1, b = 2 nên phương trình là (x + 1)² + (y − 2)² = 9, với R² = 9. Đáp án A sai vì lấy dấu ngược của tâm. Đáp án B sai vì vế phải phải là R² = 9 chứ không phải 3. Đáp án C sai vì hoành độ tâm là −1 nên trong ngoặc phải là x + 1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (3) đúng: a = 1, b = 1, c = −7 nên R = √(1 + 1 − (−7)) = √9 = 3. Đáp án B sai vì 2 là 1 + 1, bạn đã quên trừ c. Đáp án C sai vì √7 ứng với R² = 7, tức là bạn đã tính a² + b² − c thành 7. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 4.
Câu hỏi thường gặp về tâm và bán kính đường tròn
Hỏi: Vì sao trong phương trình (x − a)² + (y − b)² = R², dấu của a lại ngược với dấu trong ngoặc?
Đáp: Vì công thức xuất phát từ khoảng cách IM = R, trong đó (x − a) là hiệu hoành độ giữa điểm M và tâm I. Khi tâm có hoành độ a = −1 thì hiệu là x − (−1) = x + 1, nên dấu cộng trong ngoặc tương ứng với tọa độ âm. Bạn chỉ cần nhớ: số trong ngoặc là số bị trừ, tọa độ tâm là số đối của nó.
Hỏi: Làm thế nào để biết một phương trình có phải là đường tròn hay không?
Đáp: Bạn đưa phương trình về dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 rồi tính a² + b² − c. Nếu kết quả lớn hơn 0 thì đó là đường tròn với bán kính bằng căn bậc hai của số đó. Nếu kết quả bằng 0 thì chỉ là một điểm, còn nếu nhỏ hơn 0 thì phương trình không biểu diễn hình nào cả.
Hỏi: Có thể tìm tâm và bán kính bằng cách nhóm bình phương không?
Đáp: Có, và đó là cách rất chắc chắn. Bạn nhóm x² − 2ax thành (x − a)² − a², nhóm y² − 2by thành (y − b)² − b², rồi chuyển các hằng số sang vế phải. Kết quả bạn nhận được chính là dạng chính tắc, từ đó đọc ra tâm và bán kính ngay.
Hỏi: Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ thì phương trình viết như thế nào?
Đáp: Khi tâm O(0, 0) thì a = b = 0, phương trình chính tắc trở thành x² + y² = R². Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình đường tròn, bạn chỉ cần biết bán kính là viết được ngay, ví dụ đường tròn tâm O bán kính 5 có phương trình x² + y² = 25.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Tâm và bán kính là hai thông tin nền tảng để xét vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, của hai đường tròn với nhau, và để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Nắm chắc bài này, bạn sẽ không còn lúng túng khi gặp các bài tập tổng hợp về đường tròn trong đề thi. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài tính độ dài của vectơ thông qua tọa độ.
Kết luận
Tâm và bán kính đường tròn chỉ gói gọn trong hai công thức: dạng chính tắc (x − a)² + (y − b)² = R² cho bạn đọc thẳng tâm I(a, b) và bán kính R, còn dạng khai triển x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 cho tâm I(a, b) với bán kính R = √(a² + b² − c). Bạn hãy nhớ ba điều: dấu trong ngoặc ngược với dấu của tọa độ tâm, bán kính là căn bậc hai của vế phải chứ không phải chính vế phải, và luôn kiểm tra điều kiện a² + b² − c > 0 trước khi kết luận một phương trình là đường tròn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xác định tâm và bán kính của bất kì đường tròn nào — và vẽ lại nó chính xác trên mặt phẳng tọa độ.