Cuối giờ thể dục, thầy giáo đo chiều cao của 40 học sinh trong lớp rồi ghi lại thành từng nhóm: từ 150 đến dưới 155 xăng-ti-mét có 8 bạn, từ 155 đến dưới 160 có 12 bạn, còn lại rải rác ở các nhóm khác. Nhìn vào con số 8 bạn, bạn chưa thấy được gì nhiều — nhưng khi thầy nói "nhóm này chiếm 20 phần trăm cả lớp", bạn hiểu ngay: cứ 5 bạn thì có 1 bạn cao từ 150 đến dưới 155 xăng-ti-mét. Con số 20 phần trăm ấy chính là tần số tương đối ghép nhóm, và bài này sẽ dạy bạn tính nó chỉ bằng một phép chia và một phép nhân với 100.
Tần số tương đối ghép nhóm là công cụ để so sánh các nhóm dữ liệu với nhau, dù hai mẫu số liệu có tổng số khác nhau. Một nhóm có tần số 8 trên tổng 40 và một nhóm có tần số 10 trên tổng 50 đều chiếm 20 phần trăm — nếu chỉ nhìn tần số tuyệt đối thì bạn tưởng nhóm thứ hai lớn hơn, nhưng nhìn tần số tương đối thì bạn thấy chúng bằng nhau. Bài này sẽ đi từ định nghĩa tần số và tần số tương đối, luyện qua bốn ví dụ tính từng bước với bảng số liệu cụ thể, rồi thử thách bạn với năm bài tập có đáp án giải thích cặn kẽ. Đây cũng là bài cuối cùng của loạt 89 bài công thức — bạn hãy làm thật chắc để khép lại chương thống kê một cách trọn vẹn.
1. Công thức: tần số tương đối của một nhóm bằng tần số của nhóm chia tổng số rồi nhân 100 phần trăm
Cho một mẫu số liệu được chia thành các nhóm, gọi n_i là tần số của nhóm thứ i — tức là số dữ liệu thuộc nhóm đó — và N là tổng số dữ liệu của toàn bộ mẫu. Tần số tương đối của nhóm thứ i, kí hiệu là f_i, được tính bằng công thức: f_i bằng n_i chia N rồi nhân với 100 phần trăm. Nói cách khác, tần số tương đối cho biết nhóm đó chiếm bao nhiêu phần trăm trong toàn bộ mẫu số liệu. Công thức này rất ngắn, nhưng bạn phải nhớ rõ từng kí hiệu: n_i là số dữ liệu của riêng nhóm đang xét, còn N là tổng số dữ liệu của tất cả các nhóm cộng lại.
Bạn hãy làm quen với các từ ngữ của bài này, vì đề thi rất hay đánh đố bằng cách dùng lẫn lộn chúng. Tần số là số lần xuất hiện — ví dụ nhóm [150;155) có tần số 8 nghĩa là có 8 dữ liệu rơi vào nhóm đó. Tần suất hay tần số tương đối là tỉ lệ phần trăm — ví dụ 20 phần trăm nghĩa là nhóm đó chiếm một phần năm toàn bộ mẫu. Ghép nhóm nghĩa là dữ liệu đã được gom thành từng khoảng, ví dụ [150;155) là nhóm gồm các giá trị từ 150 đến dưới 155. Dấu ngoặc vuông [ có nghĩa là lấy cả mốc trái, dấu ngoặc tròn ) có nghĩa là không lấy mốc phải — số liệu bằng đúng 155 sẽ thuộc nhóm tiếp theo chứ không thuộc nhóm [150;155).
Một tính chất quan trọng mà bạn phải nhớ: tổng tần số tương đối của tất cả các nhóm bằng 100 phần trăm. Tính chất này vừa là cách kiểm tra đáp án, vừa là cách tìm tần số tương đối của nhóm còn thiếu. Ví dụ một mẫu có ba nhóm với tần số tương đối lần lượt là 20 phần trăm, 30 phần trăm và 50 phần trăm — tổng bằng 100 phần trăm, đúng. Nếu bạn tính ra tổng là 90 phần trăm hay 110 phần trăm thì chắc chắn đã tính sai ở đâu đó, bạn hãy kiểm tra lại từng nhóm. Tính chất này cũng cho bạn một mẹo làm bài: khi đề hỏi tần số tương đối của nhóm cuối cùng, bạn có thể lấy 100 phần trăm trừ đi tổng tần số tương đối của các nhóm còn lại thay vì tính trực tiếp.
Bạn cũng cần phân biệt tần số tương đối ghép nhóm với tần số tương đối không ghép nhóm. Khi dữ liệu chưa ghép nhóm, mỗi giá trị riêng lẻ có tần số tương đối của nó — ví dụ điểm 8 xuất hiện 5 lần trên tổng 40 bài kiểm tra thì tần số tương đối của điểm 8 là 12,5 phần trăm. Khi dữ liệu đã ghép nhóm, bạn tính tần số tương đối cho cả một khoảng giá trị — ví dụ nhóm điểm từ 8 đến dưới 9 có tần số tương đối là bao nhiêu. Công thức thì giống hệt nhau, chỉ khác ở chỗ dữ liệu được gom theo khoảng hay theo từng giá trị. Nếu muốn ôn lại cách tính tỉ số phần trăm — nền tảng của mọi phép tính trong bài này — bạn hãy xem lại bài tìm tỉ số, tỉ số phần trăm.
Khi làm bài, bạn hãy lập bảng đầy đủ ba cột: nhóm, tần số n_i và tần số tương đối f_i. Bạn tính N bằng cách cộng tất cả các tần số lại, rồi tính từng f_i bằng n_i chia N nhân 100 phần trăm. Cuối cùng bạn cộng các f_i lại để kiểm tra tổng có bằng 100 phần trăm hay không. Làm theo đúng trình tự này, bạn sẽ không bao giờ nhầm n_i với N, và cũng không bao giờ quên nhân với 100 phần trăm.
2. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (tính tần số tương đối): Nhóm [150;155) có 8 dữ liệu trên tổng 40 dữ liệu. Tính tần số tương đối của nhóm.
Bạn áp dụng công thức: f bằng n_i chia N nhân 100 phần trăm, tức là 8 chia 40 nhân 100 phần trăm. 8 chia 40 bằng 0,2, nhân 100 phần trăm bằng 20 phần trăm. Vậy tần số tương đối của nhóm [150;155) là 20 phần trăm. Bạn hãy hiểu ý nghĩa: cứ 100 dữ liệu thì có 20 dữ liệu rơi vào nhóm này, hay cứ 5 dữ liệu thì có 1 dữ liệu thuộc nhóm này.
Ví dụ 2 (tính tần số tương đối khác): Một mẫu có tổng 50 dữ liệu, nhóm [160;165) có tần số 10. Tính tần số tương đối của nhóm.
Bạn tính: f bằng 10 chia 50 nhân 100 phần trăm bằng 0,2 nhân 100 phần trăm bằng 20 phần trăm. Bạn hãy để ý: ví dụ này và ví dụ 1 có tần số tuyệt đối khác nhau (10 so với 8) và tổng khác nhau (50 so với 40), nhưng tần số tương đối lại bằng nhau (20 phần trăm). Đây chính là sức mạnh của tần số tương đối: nó cho phép so sánh hai mẫu có quy mô khác nhau một cách công bằng. Khi cần kiểm tra lại phép chia, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 3 (tính ngược tần số): Một nhóm có tần số tương đối 25 phần trăm, tổng số dữ liệu là 80. Tính tần số của nhóm.
Đây là bài toán ngược: bạn biết f và N, cần tìm n_i. Từ công thức f bằng n_i chia N nhân 100 phần trăm, bạn suy ra n_i bằng f chia 100 phần trăm nhân N, tức là 25 chia 100 nhân 80 bằng 0,25 nhân 80 bằng 20. Vậy tần số của nhóm là 20. Bạn hãy kiểm tra lại: 20 chia 80 bằng 0,25, tức là 25 phần trăm — đúng với đề bài. Dạng bài ngược này rất hay xuất hiện trong đề thi, nên bạn hãy luyện cho thành thạo cả hai chiều của công thức.
Ví dụ 4 (lập bảng đầy đủ): Khảo sát chiều cao của 40 học sinh, kết quả ghép nhóm như sau: [150;155) có 8 bạn, [155;160) có 12 bạn, [160;165) có 14 bạn, [165;170) có 6 bạn. Lập bảng tần số tương đối và kiểm tra tổng.
Trước hết bạn tính N bằng tổng các tần số: 8 cộng 12 cộng 14 cộng 6 bằng 40 — khớp với tổng số học sinh đã cho. Sau đó bạn tính từng tần số tương đối: nhóm [150;155) có f bằng 8 chia 40 nhân 100 phần trăm bằng 20 phần trăm; nhóm [155;160) có f bằng 12 chia 40 nhân 100 phần trăm bằng 30 phần trăm; nhóm [160;165) có f bằng 14 chia 40 nhân 100 phần trăm bằng 35 phần trăm; nhóm [165;170) có f bằng 6 chia 40 nhân 100 phần trăm bằng 15 phần trăm. Bạn cộng kiểm tra: 20 cộng 30 cộng 35 cộng 15 bằng 100 phần trăm — đúng. Từ bảng này bạn đọc được ngay: nhóm đông nhất là [160;165) với 35 phần trăm, nhóm ít nhất là [165;170) với 15 phần trăm. Nếu muốn ôn lại cách xét tính đồng biến, nghịch biến — một dạng bài thống kê và hàm số khác trong chương trình lớp 9 — bạn hãy xem lại bài xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất.
3. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên nhân với 100 phần trăm.
Nhiều bạn tính 8 chia 40 bằng 0,2 rồi viết ngay tần số tương đối bằng 0,2. Sai: 0,2 là tỉ số, còn tần số tương đối phải viết dưới dạng phần trăm là 20 phần trăm. Cách tránh: mỗi lần tính xong phép chia, bạn hãy tự hỏi "đề hỏi tỉ số hay phần trăm?" — nếu đề hỏi tần số tương đối thì bạn phải nhân thêm 100 phần trăm. Bạn cũng có thể ghi nhớ công thức đầy đủ có nhân 100 phần trăm ngay từ đầu để không quên.
Lỗi 2: Lấy tần số của nhóm chia cho tần số của nhóm khác thay vì chia cho tổng số.
Nhiều bạn tính tần số tương đối của nhóm [150;155) bằng 8 chia 12 — lấy tần số nhóm này chia tần số nhóm kia. Sai hoàn toàn: mẫu số phải là tổng số dữ liệu N bằng 40, không phải tần số của một nhóm khác. Cách tránh: trước khi chia, bạn hãy tính N bằng cách cộng tất cả các tần số lại, ghi rõ N bằng bao nhiêu ra giấy nháp, rồi mới lấy từng n_i chia cho N.
Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa tần số và tần số tương đối khi đọc bảng.
Nhiều bạn đọc bảng thấy cột tần số tương đối ghi 20 phần trăm thì trả lời tần số của nhóm là 20 — sai, 20 phần trăm là tỉ lệ, còn tần số là số dữ liệu, ví dụ 8 bạn. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ tên cột trong bảng — cột "tần số" ghi số đếm, cột "tần số tương đối" ghi phần trăm. Khi đề hỏi tần số thì bạn lấy số ở cột tần số, khi đề hỏi tần số tương đối thì bạn lấy số ở cột phần trăm.
Lỗi 4: Tính tổng tần số tương đối ra khác 100 phần trăm mà không kiểm tra lại.
Nhiều bạn tính xong các tần số tương đối, cộng lại được 90 phần trăm hay 110 phần trăm mà vẫn nộp bài. Đó là dấu hiệu chắc chắn có sai sót ở đâu đó — có thể bạn tính sai một nhóm, hoặc tính sai tổng N. Cách tránh: bạn hãy luôn cộng kiểm tra tổng các tần số tương đối sau khi tính xong. Nếu tổng khác 100 phần trăm, bạn hãy kiểm tra lại từng nhóm một, bắt đầu từ nhóm có số liệu lớn nhất vì đó là nơi dễ sai nhất.
Lỗi 5: Xếp nhầm dữ liệu vào nhóm khi dữ liệu bằng đúng mốc của nhóm.
Nhiều bạn thấy chiều cao đúng 155 xăng-ti-mét thì xếp vào nhóm [150;155). Sai: nhóm [150;155) chỉ lấy các giá trị từ 150 đến dưới 155, còn giá trị bằng đúng 155 thuộc nhóm tiếp theo [155;160). Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc ngoặc — ngoặc vuông [ nghĩa là lấy cả mốc, ngoặc tròn ) nghĩa là không lấy mốc. Khi gặp dữ liệu bằng đúng mốc phải, bạn hãy đẩy nó sang nhóm sau.
4. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính tổng N trước, rồi mới lấy từng tần số chia cho N và nhân với 100 phần trăm — và cộng kiểm tra tổng bằng 100 phần trăm ở cuối.
Câu 1: Nhóm [150;155) có 8 dữ liệu trên tổng 40 dữ liệu. Tần số tương đối của nhóm bằng bao nhiêu?
A. 8 phần trăm
B. 20 phần trăm
C. 32 phần trăm
D. 25 phần trăm
Câu 2: Một mẫu có tổng 50 dữ liệu, nhóm [160;165) có tần số 10. Tần số tương đối của nhóm bằng bao nhiêu?
A. 5 phần trăm
B. 10 phần trăm
C. 20 phần trăm
D. 50 phần trăm
Câu 3: Một nhóm có tần số tương đối 25 phần trăm, tổng số dữ liệu là 80. Tần số của nhóm bằng bao nhiêu?
A. 20
B. 25
C. 32
D. 16
Câu 4: Tổng tần số tương đối của tất cả các nhóm trong một mẫu số liệu bằng bao nhiêu?
A. 0 phần trăm
B. 50 phần trăm
C. 100 phần trăm
D. 200 phần trăm
Câu 5: Một nhóm có tần số tương đối 15 phần trăm, tổng số dữ liệu là 200. Tần số của nhóm bằng bao nhiêu?
A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | C | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (20 phần trăm) đúng: Tần số tương đối bằng 8 chia 40 nhân 100 phần trăm bằng 20 phần trăm. Đáp án A (8 phần trăm) sai vì 8 là tần số tuyệt đối, không phải tần số tương đối. Đáp án C (32 phần trăm) sai vì 32 phần trăm bằng 8 chia 25 nhân 100 phần trăm — bạn đã lấy sai mẫu số. Đáp án D (25 phần trăm) sai vì 25 phần trăm bằng 10 chia 40, không phải 8 chia 40.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (20 phần trăm) đúng: Tần số tương đối bằng 10 chia 50 nhân 100 phần trăm bằng 20 phần trăm. Đáp án A (5 phần trăm) sai vì 5 phần trăm không liên quan gì tới các số đã cho. Đáp án B (10 phần trăm) sai vì 10 là tần số tuyệt đối, bạn quên chia cho tổng và nhân 100 phần trăm. Đáp án D (50 phần trăm) sai vì 50 là tổng số dữ liệu, không phải tần số tương đối.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (20) đúng: Tần số bằng tần số tương đối chia 100 phần trăm nhân tổng số, tức là 25 chia 100 nhân 80 bằng 20. Đáp án B (25) sai vì 25 là tần số tương đối tính theo phần trăm, không phải tần số. Đáp án C (32) sai vì 32 bằng 40 phần trăm của 80, không phải 25 phần trăm. Đáp án D (16) sai vì 16 bằng 20 phần trăm của 80, không phải 25 phần trăm.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (100 phần trăm) đúng: Tổng tần số tương đối của tất cả các nhóm bằng 100 phần trăm, vì các nhóm gộp lại thành toàn bộ mẫu số liệu. Đáp án A (0 phần trăm) sai vì tổng không thể bằng 0 khi có dữ liệu. Đáp án B (50 phần trăm) sai vì 50 phần trăm chỉ là một nửa mẫu. Đáp án D (200 phần trăm) sai vì tổng không thể vượt quá 100 phần trăm.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (30) đúng: Tần số bằng 15 chia 100 nhân 200 bằng 30. Đáp án A (15) sai vì 15 là tần số tương đối tính theo phần trăm, không phải tần số. Đáp án C (45) sai vì 45 bằng 22,5 phần trăm của 200, không phải 15 phần trăm. Đáp án D (60) sai vì 60 bằng 30 phần trăm của 200, gấp đôi tần số đúng.
5. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Tần số tương đối khác tần số ở điểm nào?
Đáp: Tần số là số đếm — có bao nhiêu dữ liệu trong nhóm, ví dụ 8 bạn. Tần số tương đối là tỉ lệ phần trăm — nhóm đó chiếm bao nhiêu phần trăm toàn bộ mẫu, ví dụ 20 phần trăm. Tần số phụ thuộc vào quy mô mẫu: mẫu càng lớn thì tần số càng lớn. Tần số tương đối không phụ thuộc vào quy mô mẫu: mẫu 40 hay mẫu 400 mà tỉ lệ giống nhau thì tần số tương đối giống nhau. Vì vậy khi so sánh hai mẫu khác quy mô, bạn phải dùng tần số tương đối chứ không dùng tần số.
Hỏi: Vì sao tổng tần số tương đối của các nhóm luôn bằng 100 phần trăm?
Đáp: Vì các nhóm gộp lại thành toàn bộ mẫu số liệu, không thiếu nhóm nào và không có dữ liệu nào thuộc hai nhóm cùng lúc. Tổng các tần số bằng tổng số dữ liệu N, nên tổng các tần số tương đối bằng N chia N nhân 100 phần trăm bằng 100 phần trăm. Tính chất này là cách kiểm tra nhanh nhất: nếu bạn cộng các tần số tương đối mà ra khác 100 phần trăm thì chắc chắn đã tính sai ở đâu đó.
Hỏi: Dữ liệu bằng đúng mốc của nhóm thì xếp vào nhóm nào?
Đáp: Bạn hãy nhìn dấu ngoặc của nhóm. Nhóm [150;155) lấy các giá trị từ 150 đến dưới 155 — dấu [ nghĩa là lấy cả 150, dấu ) nghĩa là không lấy 155. Vì vậy dữ liệu bằng đúng 155 sẽ thuộc nhóm tiếp theo [155;160), còn dữ liệu bằng đúng 150 thì thuộc nhóm [150;155). Quy tắc này đảm bảo mỗi dữ liệu chỉ thuộc đúng một nhóm, không bị trùng và không bị sót.
Hỏi: Khi nào nên dùng tần số tương đối thay vì tần số?
Đáp: Khi bạn muốn so sánh hai mẫu có tổng số khác nhau, hoặc khi bạn muốn biết tỉ trọng của một nhóm trong toàn bộ mẫu. Ví dụ lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 50 học sinh — muốn biết lớp nào có tỉ lệ học sinh cao từ 160 xăng-ti-mét trở lên cao hơn, bạn phải so sánh tần số tương đối chứ không so sánh tần số tuyệt đối. Còn khi bạn chỉ quan tâm có bao nhiêu bạn trong một nhóm, ví dụ để chia nhóm hoạt động, thì tần số tuyệt đối là đủ.
Hỏi: Tần số tương đối ghép nhóm có liên quan gì tới xác suất không?
Đáp: Có, rất chặt chẽ. Tần số tương đối là ước lượng thực nghiệm của xác suất: nếu bạn chọn ngẫu nhiên một dữ liệu trong mẫu, xác suất để dữ liệu đó rơi vào một nhóm xấp xỉ bằng tần số tương đối của nhóm đó. Ví dụ nhóm [150;155) có tần số tương đối 20 phần trăm thì xác suất chọn ngẫu nhiên được một bạn cao từ 150 đến dưới 155 xăng-ti-mét là khoảng 20 phần trăm, tức là 0,2. Càng nhiều dữ liệu thì ước lượng này càng chính xác. Đây là cầu nối giữa thống kê và xác suất mà bạn sẽ học kĩ hơn ở các lớp trên. Nếu muốn ôn lại cách tính tỉ số phần trăm — nền tảng của mọi phép tính tần số tương đối — bạn hãy xem lại bài tìm tỉ số, tỉ số phần trăm.
6. Kết luận
Tần số tương đối ghép nhóm chỉ gói gọn trong một công thức: f_i bằng n_i chia N rồi nhân với 100 phần trăm. Bạn nhớ ba điều: n_i là tần số của riêng nhóm đang xét, N là tổng số dữ liệu của toàn bộ mẫu, và tổng tần số tương đối của tất cả các nhóm luôn bằng 100 phần trăm — đó là cách kiểm tra đáp án nhanh nhất của bạn. Khi làm bài, bạn hãy lập bảng ba cột nhóm, tần số và tần số tương đối, tính N trước rồi mới tính từng f_i, và đừng quên nhân với 100 phần trăm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm trọn công thức cuối cùng của loạt 89 bài — từ căn bậc hai, tỉ số lượng giác, đường tròn cho tới thống kê, bạn đã có trong tay một bộ công cụ đầy đủ để bước vào kì thi lớp 9 một cách tự tin.