Tính chất cơ bản của phép toán đối với số thập phân: giao hoán, kết hợp, phân phối

Chiều thứ bảy, mẹ đưa bạn ra chợ mua đồ nấu bữa tối. Mẹ mua một con cá giá 45,5 nghìn đồng, một bó rau giá 4,5 nghìn đồng và một túi gia vị giá 10 nghìn đồng. Mẹ hỏi: "Con tính nhanh giúp mẹ xem hết bao nhiêu tiền?" Bạn cộng lần lượt 45,5 + 4,5 = 50, rồi 50 + 10 = 60 nghìn đồng — nhanh gọn, không cần bấm máy tính. Bí quyết ở đây là gì? Là bạn đã gộp hai số "đẹp" 45,5 và 4,5 lại với nhau trước, vì chúng cộng lại tròn 50. Cách gộp số khéo léo đó không phải là mẹo vặt ngẫu nhiên, mà là một tính chất toán học hẳn hoi — tính chất kết hợp của phép cộng. Và tin vui là: các tính chất mà bạn đã quen với số tự nhiên và số nguyên — giao hoán, kết hợp, phân phối — đều đúng y nguyên với số thập phân. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc từng tính chất, hiểu vì sao chúng đúng, và dùng chúng để tính nhanh như khi đi chợ cùng mẹ.

Trong sách giáo khoa Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", các tính chất này nằm trong Bài 29: Tính toán với số thập phân (Chương VII: Số thập phân). Sách viết rất rõ: các phép tính với số thập phân cũng có đầy đủ các tính chất như các phép tính với số nguyên — tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, cùng với quy tắc dấu ngoặc. Học xong bài này, bạn không chỉ tính đúng mà còn tính nhanh, tính nhẩm được nhiều phép tính mà trước đây bạn phải đặt tính dài dòng.

1. Vì sao số thập phân cũng có "luật chơi" giống số tự nhiên?

Bạn hãy nhớ lại hồi tiểu học: với số tự nhiên, bạn đã học a + b = b + a (giao hoán), (a + b) + c = a + (b + c) (kết hợp), a × (b + c) = a × b + a × c (phân phối). Lên lớp 6, bạn gặp lại các tính chất này với số nguyên, rồi bây giờ là số thập phân. Vì sao cùng một "luật chơi" lại áp dụng được cho nhiều loại số như vậy? Vì số thập phân thực chất cũng là số — chỉ là cách viết khác của phân số có mẫu số là 10, 100, 1000... Ví dụ, 0,25 chính là 25/100, 1,5 chính là 15/10. Mà phân số thì tuân theo các tính chất của phép cộng và phép nhân, nên số thập phân cũng vậy. Bạn có thể yên tâm: mọi tính chất bạn đã thuộc với số tự nhiên đều mang sang dùng được với số thập phân, chỉ cần chú ý thêm dấu phẩy và dấu âm.

Có một điều cần nói rõ ngay từ đầu: không phải phép tính nào cũng có tính chất giao hoán và kết hợp. Phép cộng và phép nhân thì có, còn phép trừ và phép chia thì không. Ví dụ, 5,5 − 2,5 = 3 nhưng 2,5 − 5,5 = −3 — đổi chỗ hai số thì kết quả đổi hẳn. Tương tự, 10 ÷ 2,5 = 4 nhưng 2,5 ÷ 10 = 0,25. Vì vậy, khi dùng tính chất để tính nhanh, bạn chỉ được đổi chỗ và đổi nhóm trong phép cộng và phép nhân, hoặc khi đã biến phép trừ thành phép cộng với số đối. Đây là ranh giới quan trọng nhất của bài — nhớ kĩ nó, bạn sẽ tránh được phần lớn lỗi sai.

Một điều nữa: các tính chất này đúng với cả số thập phân âm. Sách giáo khoa hướng dẫn cách quy các phép toán với số thập phân bất kì về các phép toán với số thập phân dương: muốn nhân hai số thập phân, bạn bỏ dấu của các thừa số rồi nhân như số thập phân dương; nếu hai thừa số cùng dấu thì tích dương, khác dấu thì tích âm. Nhờ cách quy đó mà tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối vẫn đúng ngay cả khi có số âm. Ví dụ, (−2,5) × 4 = −10 và 4 × (−2,5) = −10 — đổi chỗ hai thừa số, kết quả vẫn như nhau.

2. Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng

Tính chất giao hoán của phép cộng nói rằng: khi cộng hai số thập phân, đổi chỗ hai số hạng cho nhau thì tổng không thay đổi. Viết bằng công thức: a + b = b + a. Ví dụ, 3,5 + 2,5 = 6 và 2,5 + 3,5 = 6 — hai cách viết cho cùng một kết quả. Tính chất này nghe có vẻ hiển nhiên, nhưng nó là nền tảng của mọi cách tính nhanh: khi thấy một phép cộng dài, bạn được phép xếp lại thứ tự các số hạng theo cách thuận tiện nhất cho mình.

Tính chất kết hợp của phép cộng nói rằng: khi cộng ba số thập phân trở lên, bạn được phép nhóm hai số nào lại với nhau trước cũng được, tổng không thay đổi. Viết bằng công thức: (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ, (12,5 + 3,75) + 7,5 = 16,25 + 7,5 = 23,75; còn 12,5 + (3,75 + 7,5) = 12,5 + 11,25 = 23,75. Hai cách nhóm cho cùng một đáp số, nhưng cách nhóm thứ nhất — gộp 12,5 với 7,5 thành 20 rồi cộng 3,75 — tính nhẩm dễ hơn nhiều. Bạn thấy đấy, tính chất kết hợp không làm thay đổi kết quả, nó chỉ thay đổi "đường đi" để bạn chọn đường ngắn nhất.

Ngoài hai tính chất trên, phép cộng số thập phân còn có một tính chất nữa: cộng với số 0. Với mọi số thập phân a, ta có a + 0 = 0 + a = a. Số 0 được gọi là phần tử trung hòa của phép cộng — cộng nó vào số nào cũng không làm số đó thay đổi. Tính chất này tuy đơn giản nhưng rất hay xuất hiện trong bài tập trắc nghiệm, vì nhiều bạn quên mất nó khi đề bài hỏi "số nào cộng với 2,5 vẫn bằng 2,5".

Cách dùng hai tính chất này để tính nhanh là: trong một tổng dài, bạn hãy tìm các cặp số cộng lại thành số tròn — tròn chục, tròn trăm, hoặc số nguyên. Những cặp "đẹp" hay gặp nhất là: 0,5 + 0,5 = 1; 0,25 + 0,75 = 1; 0,2 + 0,8 = 1; 0,125 + 0,875 = 1; 1,5 + 8,5 = 10; 2,75 + 7,25 = 10; 12,5 + 7,5 = 20. Mỗi lần gặp các cặp này, bạn gộp chúng lại trước, bài toán sẽ gọn đi trông thấy. Đây chính là cách mà những người tính nhẩm giỏi vẫn làm: họ không cộng từ trái sang phải một cách máy móc, mà họ "nhìn" ra các cặp đẹp rồi gộp trước.

3. Tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân

Tính chất giao hoán của phép nhân nói rằng: khi nhân hai số thập phân, đổi chỗ hai thừa số cho nhau thì tích không thay đổi. Viết bằng công thức: a × b = b × a. Ví dụ, 0,5 × 8 = 4 và 8 × 0,5 = 4. Tính chất kết hợp của phép nhân nói rằng: khi nhân ba số thập phân trở lên, bạn được phép nhóm hai thừa số nào lại với nhau trước cũng được, tích không thay đổi. Viết bằng công thức: (a × b) × c = a × (b × c). Ví dụ gốc trong bài: 0,25 × 7 × 4 = (0,25 × 4) × 7 = 1 × 7 = 7. Bạn thấy không, nếu nhân lần lượt từ trái sang phải thì 0,25 × 7 = 1,75 rồi 1,75 × 4 = 7 — tính nhẩm hơi vất vả; còn nếu gộp 0,25 × 4 = 1 trước thì bài toán trở nên dễ như trở bàn tay.

Phép nhân số thập phân còn có hai tính chất đặc biệt nữa: nhân với số 1 và nhân với số 0. Với mọi số thập phân a, ta có a × 1 = 1 × a = a và a × 0 = 0 × a = 0. Số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân, còn số 0 thì "nuốt" mọi số: nhân với 0 thì kết quả luôn bằng 0. Hai tính chất này thường xuất hiện trong bài tập dạng "tìm số chưa biết" hoặc trắc nghiệm nhanh, và chúng cũng là cơ sở để bạn kiểm tra đáp số: nếu một tích có thừa số bằng 0 thì đáp số phải bằng 0, không thể là số khác.

Để tính nhanh phép nhân, bạn hãy thuộc lòng các cặp số "đẹp" mà tích của chúng là 1 hoặc 10 hoặc 100. Những cặp hay gặp nhất là: 0,5 × 2 = 1; 0,25 × 4 = 1; 0,2 × 5 = 1; 0,125 × 8 = 1; 0,1 × 10 = 1; 0,05 × 20 = 1; 0,4 × 2,5 = 1; 0,8 × 1,25 = 1; 2,5 × 4 = 10; 1,25 × 8 = 10; 0,5 × 20 = 10. Mỗi lần trong một phép nhân dài bạn nhìn thấy một cặp như vậy, hãy gộp chúng lại ngay. Ví dụ, 1,25 × 8 × 0,4 × 2,5 = (1,25 × 8) × (0,4 × 2,5) = 10 × 1 = 10. Không có tính chất kết hợp, bài toán này phải nhân 1,25 × 8 = 10, rồi 10 × 0,4 = 4, rồi 4 × 2,5 = 10 — cũng ra 10, nhưng mất nhiều bước hơn và dễ sai dấu phẩy hơn.

Một lưu ý nhỏ nhưng quan trọng: khi gộp các thừa số, bạn phải giữ nguyên tất cả các thừa số — không được bỏ sót thừa số nào, cũng không được nhân thừa một thừa số. Lỗi hay gặp là khi thấy 0,25 × 7 × 4, có bạn gộp 0,25 × 4 = 1 rồi... quên mất số 7, viết đáp số là 1. Bạn hãy tập thói quen: sau khi gộp, đếm lại xem còn đủ các thừa số không, rồi mới tính tiếp. Mẹo đếm này tuy đơn giản nhưng cứu được rất nhiều bài làm khỏi mất điểm oan.

4. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ

Tính chất phân phối là tính chất "quyền lực" nhất trong ba tính chất, vì nó nối phép nhân với phép cộng lại với nhau. Công thức của nó là: a × (b + c) = a × b + a × c. Đọc bằng lời: nhân một số với một tổng thì bằng nhân số đó với từng số hạng rồi cộng các kết quả lại. Ví dụ, 2,5 × (4 + 0,4) = 2,5 × 4 + 2,5 × 0,4 = 10 + 1 = 11. Thử tính trực tiếp: 2,5 × 4,4 = 11 — đúng y như nhau. Tính chất này có hai chiều dùng: chiều "mở ngoặc" (nhân vào từng số hạng) và chiều "đặt thừa số chung" (gộp các tích có chung một thừa số lại). Chiều thứ hai mới là chiều giúp bạn tính nhanh.

Chiều đặt thừa số chung trông như thế này: a × b + a × c = a × (b + c). Ví dụ, 4,5 × 2 + 4,5 × 8 = 4,5 × (2 + 8) = 4,5 × 10 = 45. Nếu tính trực tiếp thì 4,5 × 2 = 9, 4,5 × 8 = 36, rồi 9 + 36 = 45 — cũng ra 45, nhưng mất hai phép nhân khó hơn. Còn với cách đặt thừa số chung, bạn chỉ cần một phép nhân duy nhất là 4,5 × 10. Dạng toán này hay xuất hiện dưới cái tên "tính bằng cách thuận tiện nhất", và đáp án luôn là một phép nhân với số tròn chục hoặc tròn trăm. Mỗi khi thấy hai tích có chung một thừa số, bạn hãy nghĩ ngay đến việc đặt thừa số chung ra ngoài.

Tính chất phân phối cũng đúng với phép trừ: a × (b − c) = a × b − a × c, và ngược lại a × b − a × c = a × (b − c). Ví dụ, 3,6 × 99 + 3,6 = 3,6 × (99 + 1) = 3,6 × 100 = 360. Đây là một mẹo rất hay: khi thấy một số nhân với 99, bạn hãy nghĩ 99 = 100 − 1, hoặc khi thấy "3,6 × 99 + 3,6" thì hiểu là 3,6 được nhân với 99 rồi cộng thêm một lần 3,6 nữa, tức là nhân với 100. Tương tự, 6,4 × 101 = 6,4 × (100 + 1) = 640 + 6,4 = 646,4. Những bài toán nhân với 99, 101, 999 hay 1001 đều dùng đúng một chiêu này.

Bạn cần cẩn thận một điểm: tính chất phân phối chỉ đúng khi thừa số chung nhân với một tổng hoặc một hiệu trong ngoặc. Nếu trong ngoặc là phép nhân hoặc phép chia thì không được áp dụng. Ví dụ, 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 14 là đúng, nhưng 2 × (3 × 4) thì bằng 24, còn 2 × 3 × 2 × 4 = 48 là sai hoàn toàn. Lỗi này hay xảy ra khi bạn học thuộc công thức một cách máy móc mà không để ý điều kiện áp dụng. Bạn hãy nhớ: phân phối là "nhân vào từng số hạng của một tổng hoặc một hiệu", không phải nhân vào từng thừa số của một tích.

5. Quy tắc dấu ngoặc với số thập phân

Cùng với ba tính chất trên, sách giáo khoa còn dạy bạn quy tắc dấu ngoặc với số thập phân — quy tắc mà bạn đã gặp ở bài dấu ngoặc và thứ tự thực hiện phép tính, nay áp dụng lại cho số thập phân. Quy tắc gồm hai ý. Thứ nhất, khi bỏ dấu ngoặc đằng trước có dấu cộng, bạn giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc: a + (b + c) = a + b + c và a + (b − c) = a + b − c. Ví dụ, 5,6 + (4,4 − 1,2) = 5,6 + 4,4 − 1,2 = 10 − 1,2 = 8,8. Thử tính trực tiếp: 4,4 − 1,2 = 3,2, rồi 5,6 + 3,2 = 8,8 — khớp nhau.

Thứ hai, khi bỏ dấu ngoặc đằng trước có dấu trừ, bạn phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc: a − (b + c) = a − b − c và a − (b − c) = a − b + c. Ví dụ, 12,75 − (2,75 + 3,5) = 12,75 − 2,75 − 3,5 = 10 − 3,5 = 6,5. Thử tính trực tiếp: 2,75 + 3,5 = 6,25, rồi 12,75 − 6,25 = 6,5 — khớp nhau. Bạn thấy không, nhờ đổi dấu mà phép tính trở nên dễ hơn: 12,75 − 2,75 = 10 là một cặp số đẹp, còn nếu tính trong ngoặc trước thì bạn phải cộng 2,75 + 3,5 = 6,25 rồi trừ 12,75 − 6,25 — khó nhẩm hơn nhiều.

Quy tắc dấu ngoặc và tính chất kết hợp thường đi cùng nhau trong các bài tính nhanh. Mẹo chung là: khi gặp một biểu thức dài có cả cộng, trừ và ngoặc, bạn hãy bỏ ngoặc theo quy tắc, rồi dùng tính chất giao hoán và kết hợp để gộp các cặp số đẹp lại với nhau. Ví dụ, 15,5 + 3,25 − 5,5 + 6,75 = (15,5 − 5,5) + (3,25 + 6,75) = 10 + 10 = 20. Bạn vừa dùng quy tắc dấu ngoặc (ở đây không có ngoặc nên không cần bỏ), vừa dùng tính chất giao hoán để xếp lại thứ tự, vừa dùng tính chất kết hợp để gộp cặp. Ba tính chất phối hợp với nhau như một đội, và bài toán nào cũng có thể xử lí gọn gàng khi bạn biết điều động cả đội.

6. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Tính bằng cách thuận tiện nhất: 0,25 × 7 × 4.
Đây là ví dụ gốc của bài. Bạn hãy nhìn ra cặp số đẹp 0,25 × 4 = 1 rồi gộp chúng lại trước, dùng tính chất giao hoán để đổi chỗ số 7 và số 4, rồi dùng tính chất kết hợp để nhóm (0,25 × 4) lại.
0,25 × 7 × 4 = 0,25 × 4 × 7 = (0,25 × 4) × 7 = 1 × 7 = 7.
Vậy kết quả là 7. Nếu bạn nhân lần lượt từ trái sang phải thì 0,25 × 7 = 1,75, rồi 1,75 × 4 = 7 — đáp số vẫn là 7, nhưng bước 1,75 × 4 tính nhẩm khó hơn hẳn. Bạn hãy tập thói quen "nhìn trước khi tính": quét mắt qua biểu thức, tìm cặp số đẹp, rồi mới bắt đầu tính.

Ví dụ 2 (phép cộng): Tính bằng cách thuận tiện nhất: 12,5 + 3,75 + 7,5.
Trong tổng này, cặp số đẹp là 12,5 và 7,5 vì chúng cộng lại bằng 20. Bạn dùng tính chất giao hoán để đổi chỗ 3,75 và 7,5, rồi dùng tính chất kết hợp để nhóm (12,5 + 7,5) lại.
12,5 + 3,75 + 7,5 = 12,5 + 7,5 + 3,75 = (12,5 + 7,5) + 3,75 = 20 + 3,75 = 23,75.
Vậy kết quả là 23,75. Bạn để ý nhé: đáp số có hai chữ số thập phân vì 3,75 có hai chữ số thập phân, còn 20 là số nguyên nên không làm thay đổi phần thập phân. Khi kiểm tra lại, bạn cộng lần lượt: 12,5 + 3,75 = 16,25, rồi 16,25 + 7,5 = 23,75 — khớp nhau, chứng tỏ tính chất kết hợp không làm thay đổi kết quả.

Ví dụ 3 (phân phối): Tính bằng cách thuận tiện nhất: 2,5 × (4 + 0,4).
Bạn có hai cách. Cách một là tính trong ngoặc trước: 4 + 0,4 = 4,4, rồi 2,5 × 4,4 = 11. Cách hai là dùng tính chất phân phối để nhân vào từng số hạng.
2,5 × (4 + 0,4) = 2,5 × 4 + 2,5 × 0,4 = 10 + 1 = 11.
Vậy kết quả là 11. Cách hai hay hơn vì 2,5 × 4 = 10 và 2,5 × 0,4 = 1 đều là những phép nhân "đẹp", tính nhẩm rất nhanh. Ngược lại, nếu đề bài cho dạng 4,5 × 2 + 4,5 × 8 thì bạn dùng chiều đặt thừa số chung: 4,5 × 2 + 4,5 × 8 = 4,5 × (2 + 8) = 4,5 × 10 = 45. Hai chiều của tính chất phân phối là hai mặt của cùng một đồng xu — bạn cần thành thạo cả hai.

Ví dụ 4 (phối hợp nhiều tính chất): Tính bằng cách thuận tiện nhất: 1,25 × 8 × 0,4 × 2,5.
Đây là bài toán cần dùng cả tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân. Bạn hãy quét mắt tìm các cặp số đẹp: 1,25 × 8 = 10 và 0,4 × 2,5 = 1. Cả hai cặp đều có mặt trong biểu thức, chỉ cần nhóm lại đúng cách.
1,25 × 8 × 0,4 × 2,5 = (1,25 × 8) × (0,4 × 2,5) = 10 × 1 = 10.
Vậy kết quả là 10. Bạn hãy kiểm tra bằng cách nhân lần lượt: 1,25 × 8 = 10, rồi 10 × 0,4 = 4, rồi 4 × 2,5 = 10 — khớp nhau. Bài toán này cho thấy sức mạnh của việc nhóm đúng: bốn phép nhân rời rạc biến thành hai phép nhân "đẹp" rồi một phép nhân cuối cùng bằng 10 × 1. Khi đi thi, những bài tính nhanh như thế này thường chỉ cho 1–2 phút, nên việc nhìn ra cặp số đẹp ngay từ đầu là kĩ năng quyết định điểm số.

7. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Áp dụng tính chất giao hoán cho phép trừ và phép chia.
Nhiều bạn thấy 5,5 − 2,5 = 3 thì nghĩ 2,5 − 5,5 cũng bằng 3, hoặc thấy 10 ÷ 2,5 = 4 thì nghĩ 2,5 ÷ 10 cũng bằng 4. Cả hai đều sai: 2,5 − 5,5 = −3 và 2,5 ÷ 10 = 0,25. Cách tránh: nhớ rằng chỉ phép cộng và phép nhân mới có tính chất giao hoán và kết hợp. Với phép trừ và phép chia, thứ tự các số là bắt buộc, đổi chỗ là đổi kết quả. Khi gặp biểu thức có cả cộng và trừ, bạn chỉ được đổi chỗ các số hạng trong phép cộng, và phải mang theo dấu của chúng — ví dụ, 10 − 2,5 + 3,5 thì bạn được viết lại thành 10 + 3,5 − 2,5, chứ không được viết thành 10 − 3,5 + 2,5.

Lỗi 2: Gộp số rồi quên mất một thừa số hoặc một số hạng.
Ví dụ, tính 0,25 × 7 × 4, có bạn gộp 0,25 × 4 = 1 rồi viết đáp số là 1, quên mất số 7. Hoặc tính 12,5 + 3,75 + 7,5, có bạn gộp 12,5 + 7,5 = 20 rồi viết đáp số là 20, quên mất 3,75. Cách tránh: sau khi gộp, bạn hãy đếm lại xem còn đủ các số không. Với phép nhân ba thừa số, sau khi gộp một cặp thì phải còn đúng một thừa số nữa; với phép cộng ba số hạng, sau khi gộp một cặp thì phải còn đúng một số hạng nữa. Thói quen đếm lại chỉ tốn 2 giây nhưng cứu được rất nhiều điểm.

Lỗi 3: Phân phối sai — nhân vào từng thừa số của một tích.
Có bạn thấy 2 × (3 × 4) thì viết thành 2 × 3 × 2 × 4 = 48, trong khi đáp số đúng là 24. Tính chất phân phối chỉ áp dụng khi trong ngoặc là một tổng hoặc một hiệu, không áp dụng khi trong ngoặc là một tích hoặc một thương. Cách tránh: trước khi dùng tính chất phân phối, bạn hãy nhìn vào trong ngoặc — nếu thấy dấu cộng hoặc dấu trừ thì mới được phân phối, nếu thấy dấu nhân hoặc dấu chia thì phải tính trong ngoặc trước hoặc dùng tính chất kết hợp.

Lỗi 4: Bỏ ngoặc trước dấu trừ mà không đổi dấu.
Ví dụ, 12,75 − (2,75 + 3,5), có bạn bỏ ngoặc thành 12,75 − 2,75 + 3,5 = 13,5, trong khi đáp số đúng là 6,5. Lỗi này xảy ra vì bạn quên quy tắc: bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc. Cách tránh: mỗi lần bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước, bạn hãy viết rõ từng số hạng với dấu đã đổi ra giấy nháp — cộng thành trừ, trừ thành cộng — rồi mới tính tiếp. Đừng bao giờ bỏ ngoặc "trong đầu" khi chưa thành thạo, vì chỉ một dấu quên đổi là cả bài sai.

Lỗi 5: Sai dấu phẩy khi nhân các số thập phân "đẹp".
Ví dụ, 0,25 × 4 = 1 chứ không phải 10 hay 0,1; 0,125 × 8 = 1 chứ không phải 10. Nhiều bạn thuộc lòng "25 × 4 = 100" rồi viết 0,25 × 4 = 100, quên mất dấu phẩy. Cách tránh: khi nhân hai số thập phân, bạn hãy đếm tổng số chữ số thập phân của cả hai thừa số để đặt dấu phẩy cho đúng. Với 0,25 × 4, thừa số 0,25 có hai chữ số thập phân nên tích 100 phải đặt dấu phẩy thành 1,00 tức là 1. Bạn cũng có thể kiểm tra bằng ước lượng: 0,25 nhỏ hơn 1, nhân với 4 thì kết quả phải nhỏ hơn 4 — đáp số 100 là vô lí ngay từ cái nhìn đầu tiên.

8. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tìm cặp số đẹp trước khi tính, và viết rõ mình đã dùng tính chất nào.

Câu 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất: 0,5 × 8 × 1,25.
A. 5
B. 0,5
C. 50
D. 0,05

Câu 2: Tính bằng cách thuận tiện nhất: 2,5 × 4 + 2,5 × 6.
A. 250
B. 25
C. 2,5
D. 20

Câu 3: Tính bằng cách thuận tiện nhất: 1,5 + 2,75 + 8,5 + 7,25.
A. 21
B. 19
C. 20
D. 20,5

Câu 4: Kết quả của phép tính 0,125 × 16 là bao nhiêu?
A. 20
B. 0,2
C. 1,25
D. 2

Câu 5: Tính bằng cách thuận tiện nhất: 6,4 × 99 + 6,4.
A. 64
B. 6400
C. 640
D. 633,6

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (5) đúng: Bạn gộp cặp số đẹp 0,5 × 8 = 4 trước, dùng tính chất kết hợp: 0,5 × 8 × 1,25 = (0,5 × 8) × 1,25 = 4 × 1,25 = 5. Đáp án B (0,5) sai vì chỉ lấy thừa số đầu tiên rồi quên hai thừa số còn lại. Đáp án C (50) sai vì đặt dấu phẩy sai: 4 × 1,25 = 5 chứ không phải 50. Đáp án D (0,05) sai vì nhân thừa một số 0 vào kết quả, có lẽ do nhầm 0,5 × 8 = 0,4 thay vì 4.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (25) đúng: Hai tích có chung thừa số 2,5 nên bạn đặt thừa số chung ra ngoài, dùng tính chất phân phối: 2,5 × 4 + 2,5 × 6 = 2,5 × (4 + 6) = 2,5 × 10 = 25. Thử tính trực tiếp: 2,5 × 4 = 10, 2,5 × 6 = 15, rồi 10 + 15 = 25 — khớp nhau. Đáp án A (250) sai vì đặt dấu phẩy sai: 2,5 × 10 = 25 chứ không phải 250. Đáp án C (2,5) sai vì chỉ lấy thừa số chung rồi quên nhân với tổng trong ngoặc. Đáp án D (20) sai vì cộng nhầm 4 + 6 thành 8 rồi tính 2,5 × 8 = 20.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C (20) đúng: Bạn tìm hai cặp số đẹp: 1,5 + 8,5 = 10 và 2,75 + 7,25 = 10, dùng tính chất giao hoán để xếp lại thứ tự rồi dùng tính chất kết hợp để gộp từng cặp: (1,5 + 8,5) + (2,75 + 7,25) = 10 + 10 = 20. Đáp án A (21) sai vì cộng nhầm một cặp: ví dụ tính 2,75 + 7,25 = 11 thay vì 10. Đáp án B (19) sai vì cộng nhầm 1,5 + 8,5 = 9 thay vì 10. Đáp án D (20,5) sai vì cộng thừa 0,5 ở đâu đó trong quá trình tính nhẩm.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D (2) đúng: Bạn tách 16 = 8 × 2 rồi dùng tính chất kết hợp: 0,125 × 16 = 0,125 × 8 × 2 = 1 × 2 = 2. Đáp án A (20) sai vì đặt dấu phẩy sai: 0,125 × 16 = 2 chứ không phải 20. Đáp án B (0,2) sai vì nhân nhầm 0,125 với 1,6 thay vì 16. Đáp án C (1,25) sai vì tính 0,125 × 10 = 1,25 rồi quên nhân tiếp với 1,6 — tức là tách 16 thành 10 × 1,6 nhưng chỉ nhân với 10.

Giải thích Câu 5 — Đáp án C (640) đúng: Bạn hiểu 6,4 × 99 + 6,4 nghĩa là 6,4 được nhân với 99 rồi cộng thêm một lần 6,4 nữa, tức là nhân với 100: 6,4 × 99 + 6,4 = 6,4 × (99 + 1) = 6,4 × 100 = 640. Đáp án A (64) sai vì tính 6,4 × 10 = 64, tức là nhầm 99 + 1 thành 10. Đáp án B (6400) sai vì đặt dấu phẩy sai: 6,4 × 100 = 640 chứ không phải 6400. Đáp án D (633,6) sai vì chỉ tính 6,4 × 99 = 633,6 rồi quên cộng thêm 6,4.

9. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Các tính chất này có đúng với số thập phân âm không?
Đáp: Có. Sách giáo khoa hướng dẫn quy các phép toán với số thập phân bất kì về các phép toán với số thập phân dương: bỏ dấu của các thừa số rồi nhân như số thập phân dương, hai thừa số cùng dấu thì tích dương, khác dấu thì tích âm. Nhờ cách quy đó mà tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối vẫn đúng ngay cả khi có số âm. Ví dụ, (−2,5) × 4 = −10 và 4 × (−2,5) = −10 — đổi chỗ hai thừa số, kết quả vẫn như nhau. Bạn chỉ cần chú ý thêm dấu âm khi viết đáp số.

Hỏi: Phép trừ có tính chất giao hoán không?
Đáp: Không. Phép trừ không có tính chất giao hoán và cũng không có tính chất kết hợp. Ví dụ, 5,5 − 2,5 = 3 nhưng 2,5 − 5,5 = −3 — đổi chỗ hai số thì kết quả đổi hẳn. Tương tự, (10 − 2,5) − 1,5 = 6 nhưng 10 − (2,5 − 1,5) = 9. Vì vậy, khi dùng tính chất để tính nhanh, bạn chỉ được đổi chỗ và đổi nhóm trong phép cộng và phép nhân. Với phép trừ, bạn chỉ được "mang theo dấu" của số hạng khi đổi chỗ trong một tổng có cả cộng và trừ.

Hỏi: Phép chia có tính chất kết hợp không?
Đáp: Không. Phép chia cũng không có tính chất giao hoán và kết hợp. Ví dụ, 10 ÷ 2,5 = 4 nhưng 2,5 ÷ 10 = 0,25; (100 ÷ 10) ÷ 2 = 5 nhưng 100 ÷ (10 ÷ 2) = 20. Bạn phải giữ nguyên thứ tự của số bị chia và số chia. Tuy nhiên, phép chia có một tính chất riêng hay dùng: chia một tổng cho một số thì bằng chia từng số hạng cho số đó rồi cộng lại — đó là tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng, bạn sẽ gặp lại nó ở các lớp trên.

Hỏi: Vì sao 0,25 × 4 = 1 lại hay gặp trong bài tập tính nhanh?
Đáp: Vì 25 × 4 = 100 là một phép nhân tròn trăm rất quen thuộc, nên 0,25 × 4 = 1 cũng trở thành một cặp số "đẹp" mà người ra đề rất thích dùng. Tương tự, 0,5 × 2 = 1, 0,2 × 5 = 1, 0,125 × 8 = 1, 0,4 × 2,5 = 1, 0,8 × 1,25 = 1 đều là những cặp số mà tích của chúng bằng 1. Bạn hãy thuộc lòng các cặp này như thuộc bảng cửu chương, vì mỗi lần nhìn thấy chúng trong một phép nhân dài, bạn sẽ biết ngay phải gộp chúng lại trước.

Hỏi: Làm sao để nhớ lâu các tính chất này?
Đáp: Bạn đừng học thuộc công thức một cách khô khan, mà hãy gắn mỗi tính chất với một hình ảnh. Giao hoán là "đổi chỗ hai người bạn ngồi cạnh nhau"; kết hợp là "gộp hai người bạn thân vào một nhóm"; phân phối là "chia đều kẹo cho từng người trong nhóm". Mỗi lần làm bài tập tính nhanh, bạn hãy tự hỏi: "Ở đây có cặp số đẹp nào không? Có thừa số chung nào không? Có ngoặc nào cần bỏ không?" — ba câu hỏi đó sẽ dẫn bạn đến đúng tính chất cần dùng. Khi cần kiểm tra kết quả, bạn luôn có thể nhờ máy tính Casio online bấm lại phép tính để đối chiếu.

10. Kết luận

Ba tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối cùng với quy tắc dấu ngoặc là "bộ dụng cụ" giúp bạn tính nhanh với số thập phân — giống như bộ dao, thớt, chảo giúp mẹ nấu ăn nhanh trong bếp vậy. Bạn hãy nhớ: phép cộng có giao hoán a + b = b + a, kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) và cộng với 0 không đổi; phép nhân có giao hoán a × b = b × a, kết hợp (a × b) × c = a × (b × c), nhân với 1 không đổi và nhân với 0 bằng 0; phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ theo công thức a × (b + c) = a × b + a × c; còn khi bỏ ngoặc trước dấu trừ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc. Chỉ cần thuộc lòng các cặp số đẹp — 0,25 × 4 = 1, 0,5 × 2 = 1, 1,25 × 8 = 10, 2,5 × 4 = 10 — và tập thói quen "nhìn trước khi tính", bạn sẽ tính nhanh hơn hẳn mà vẫn đúng tuyệt đối. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán tính nhanh với số thập phân trong chương trình lớp 6. Và khi học sang các bài toán về tỉ số và tỉ số phần trăm, bạn sẽ thấy các tính chất này vẫn tiếp tục giúp bạn tính nhanh: công thức tìm tỉ số, tỉ số phần trăm và công thức tìm giá trị phân số, giá trị phần trăm của một số cho trước đang chờ bạn khám phá. Khi cần kiểm tra kết quả tính toán, bạn luôn có thể dùng máy tính Casio online trên ClassOn để đối chiếu.