Viết phương trình bậc hai một ẩn khi biết tổng và tích hai nghiệm: công thức lớp 9

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 20 m và diện tích 21 m². Hỏi hai cạnh của mảnh vườn dài bao nhiêu mét? Bạn gọi hai cạnh là x và y. Chu vi cho bạn x + y = 10, diện tích cho bạn xy = 21. Bạn biết tổng và tích của hai số, nhưng chưa biết từng số là bao nhiêu. Làm sao tìm lại x và y? Câu trả lời nằm trong một công thức rất đẹp: hai số đó chính là hai nghiệm của phương trình x² − 10x + 21 = 0, và giải phương trình này bạn được x = 3, y = 7 (hoặc ngược lại). Bài viết này sẽ chỉ cho bạn vì sao công thức đó luôn đúng, và khi nào thì hai số như vậy không tồn tại.

Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", bài toán tìm hai số khi biết tổng và tích nằm trong Chương VI: Phương trình bậc hai một ẩn, ở Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng. Đây là phần "đảo" của định lí Viète: định lí Viète thuận nói rằng nếu x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình bậc hai thì tổng và tích của chúng tính theo hệ số; còn định lí Viète đảo đi ngược lại — cho trước tổng và tích, hãy viết ra phương trình có hai nghiệm đó. Học xong bài này, bạn sẽ viết được phương trình bậc hai chỉ từ hai con số S và P, giải được bài toán mảnh vườn ở đầu bài, và biết cách kiểm tra xem hai số như vậy có tồn tại hay không.

1. Bài toán ngược: biết tổng và tích, làm sao tìm lại hai số?

Trước hết, bạn hãy hiểu rõ bài toán mà chúng ta đang giải. Cho trước hai số S và P, hãy tìm hai số u và v sao cho u + v = S và uv = P. Đây gọi là bài toán "tìm hai số biết tổng và tích". Nó là bài toán ngược của bài toán quen thuộc: cho trước hai số, tính tổng và tích của chúng. Bài toán thuận thì quá dễ — cộng lại, nhân lại là xong. Nhưng bài toán ngược thì khó hơn nhiều: có vô số cặp số có cùng một tổng, và có vô số cặp số có cùng một tích — chỉ khi kết hợp cả hai điều kiện thì đáp án mới bị "khóa" lại.

Bạn hãy thử với một ví dụ nhỏ: tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6. Bạn có thể mò mẫm: 1 và 4 thì tổng đúng 5 nhưng tích là 4, không phải 6. 2 và 3 thì tổng là 5, tích là 6 — đúng rồi! Vậy đáp án là 2 và 3. Cách mò mẫm này hiệu quả với số nhỏ, nhưng với tổng bằng 37 và tích bằng 210 thì mò mẫm sẽ rất lâu. Bạn cần một phương pháp chắc chắn, làm được với mọi số — và phương pháp đó chính là viết ra phương trình bậc hai x² − Sx + P = 0 rồi giải nó.

Ý tưởng của phương pháp này rất tự nhiên: nếu u và v là hai số cần tìm thì (x − u)(x − v) = 0 là phương trình có đúng hai nghiệm u và v. Khai triển ra: x² − (u + v)x + uv = 0, tức là x² − Sx + P = 0. Vậy là tổng S xuất hiện ở hệ số của x (với dấu trừ), tích P xuất hiện ở hệ số tự do. Đây chính là cầu nối giữa bài toán tìm hai số và phương trình bậc hai — và nó cũng là nội dung của định lí Viète đảo ở mục tiếp theo.

2. Định lí Viète đảo: hai số có tổng S và tích P là nghiệm của x² − Sx + P = 0

Định lí Viète đảo phát biểu như sau: nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² − Sx + P = 0. Công thức này ngắn gọn nhưng rất mạnh: nó biến bài toán tìm hai số thành bài toán giải phương trình bậc hai — mà giải phương trình bậc hai thì bạn đã thành thạo từ Bài 19. Bạn chỉ cần viết phương trình, tính biệt thức Δ = S² − 4P, rồi dùng công thức nghiệm để tìm hai nghiệm.

Bạn hãy xem công thức này hoạt động như thế nào qua ví dụ gốc của bài: S = 5, P = 6. Phương trình là x² − 5x + 6 = 0. Biệt thức Δ = 25 − 24 = 1. Hai nghiệm là x = (5 + 1) / 2 = 3 và x = (5 − 1) / 2 = 2. Vậy hai số cần tìm là 2 và 3 — khớp với đáp án bạn mò được ở mục 1. Bạn thấy không, phương pháp này không cần mò mẫm, không cần may mắn: cứ viết phương trình rồi giải, đáp án tự hiện ra.

Định lí Viète đảo cũng cho bạn một cách nhẩm nghiệm rất nhanh. Khi S và P đều là số nguyên nhỏ, bạn có thể nhẩm hai số nguyên có tổng S và tích P mà không cần giải phương trình. Ví dụ S = 10, P = 21: hai số nào cộng lại bằng 10, nhân lại bằng 21? Là 3 và 7. S = 12, P = 35: là 5 và 7. S = −5, P = 6: là −2 và −3 (tổng −5, tích 6). Kĩ năng nhẩm này rất hữu ích trong bài kiểm tra, vì nó giúp bạn kiểm tra đáp án trong vài giây. Nhưng bạn hãy nhớ: nhẩm chỉ là cách làm nhanh, còn phương pháp chính tắc vẫn là viết phương trình và giải — nhẩm sai thì phương trình sẽ sửa lại cho bạn.

3. Điều kiện S² ≥ 4P — khi nào thì hai số đó không tồn tại?

Không phải cặp số S và P nào cũng cho ra hai số thực u và v. Ví dụ: tổng bằng 2, tích bằng 5 — có hai số thực nào cộng lại bằng 2 mà nhân lại bằng 5 không? Bạn thử mò: 1 và 1 thì tích là 1; 0 và 2 thì tích là 0; −1 và 3 thì tích là −3. Mò mãi cũng không ra, vì thực sự không tồn tại hai số thực như vậy. Điều kiện để tồn tại chính là S² ≥ 4P. Nếu S² < 4P thì không có hai số thực nào có tổng S và tích P.

Vì sao lại có điều kiện này? Vì phương trình x² − Sx + P = 0 chỉ có nghiệm thực khi biệt thức của nó không âm: Δ = S² − 4P ≥ 0. Đây chính là điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai mà bạn đã học ở Bài 19. Với S = 2, P = 5: Δ = 4 − 20 = −16 < 0, phương trình vô nghiệm, nên không tồn tại hai số thực thỏa mãn. Với S = 5, P = 6: Δ = 25 − 24 = 1 ≥ 0, phương trình có nghiệm, hai số tồn tại. Bạn hãy ghi nhớ: trước khi giải, luôn kiểm tra Δ = S² − 4P trước — đó là bước mà nhiều bạn bỏ quên nhất.

Điều kiện S² ≥ 4P còn có một ý nghĩa hình học rất đẹp. Với hai số thực u và v, ta luôn có (u − v)² ≥ 0, khai triển ra được (u + v)² − 4uv ≥ 0, tức là S² ≥ 4P. Dấu bằng xảy ra khi u = v — hai số bằng nhau. Ví dụ S = 4, P = 4: Δ = 16 − 16 = 0, phương trình x² − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2, tức là hai số cần tìm đều bằng 2. Bạn hãy nhớ mốc này: khi S² = 4P thì hai số bằng nhau, mỗi số bằng S / 2. Đây là trường hợp biên giữa "tồn tại" và "không tồn tại" — và đề thi rất hay hỏi vào đúng trường hợp này.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3.
Đây là ví dụ gốc của bài. Tổng S = 2 + 3 = 5, tích P = 2 × 3 = 6.
Áp dụng định lí Viète đảo, phương trình cần viết là x² − Sx + P = 0, tức là x² − 5x + 6 = 0.
Kiểm tra lại: giải phương trình x² − 5x + 6 = 0, bạn được hai nghiệm 2 và 3 — đúng như yêu cầu. Vậy phương trình cần tìm là x² − 5x + 6 = 0.

Ví dụ 2 (nghiệm kép): Tìm hai số có tổng bằng 4 và tích bằng 4.
Trước hết kiểm tra điều kiện: Δ = S² − 4P = 16 − 16 = 0 ≥ 0, hai số tồn tại.
Phương trình là x² − 4x + 4 = 0. Vì Δ = 0 nên phương trình có nghiệm kép x = 4 / 2 = 2.
Vậy hai số cần tìm đều bằng 2. Bạn hãy chú ý: khi Δ = 0 thì hai số trùng nhau — đây là trường hợp đặc biệt duy nhất mà u = v.

Ví dụ 3 (số âm): Tìm hai số có tổng bằng −5 và tích bằng 6.
Kiểm tra điều kiện: Δ = (−5)² − 4 × 6 = 25 − 24 = 1 ≥ 0, hai số tồn tại.
Phương trình là x² + 5x + 6 = 0 (vì −Sx = −(−5)x = +5x). Giải ra hai nghiệm x = −2 và x = −3.
Vậy hai số cần tìm là −2 và −3. Kiểm tra: (−2) + (−3) = −5, (−2) × (−3) = 6 — đúng. Bạn hãy chú ý dấu: khi S âm thì hệ số của x trong phương trình lại dương, vì công thức là x² − Sx + P.

Ví dụ 4 (bài toán thực tế): Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 20 m và diện tích 21 m². Tìm hai cạnh của mảnh vườn.
Gọi hai cạnh là u và v. Nửa chu vi là 10 m nên u + v = 10; diện tích là 21 m² nên uv = 21.
Kiểm tra điều kiện: Δ = 10² − 4 × 21 = 100 − 84 = 16 ≥ 0, hai cạnh tồn tại.
Phương trình là x² − 10x + 21 = 0. Giải ra hai nghiệm x = 7 và x = 3.
Vậy hai cạnh của mảnh vườn là 7 m và 3 m. Kiểm tra: chu vi = 2 × (7 + 3) = 20 m, diện tích = 7 × 3 = 21 m² — khớp với đề bài. Khi cần kiểm tra lại phép tính nghiệm, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Viết nhầm dấu của hệ số x — x² + Sx + P thay vì x² − Sx + P.
Đây là lỗi phổ biến nhất của bài này. Nhiều bạn nhớ mang máng công thức rồi viết x² + 5x + 6 = 0 cho trường hợp S = 5, P = 6 — nhưng phương trình đúng là x² − 5x + 6 = 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ rằng hệ số của x là −S, tức là số đối của tổng. Tổng bằng 5 thì hệ số là −5. Bạn cũng có thể kiểm tra nhanh bằng định lí Viète thuận: nghiệm 2 và 3 có tổng 5, mà tổng nghiệm bằng −b / a, nên b phải bằng −5.

Lỗi 2: Quên kiểm tra điều kiện S² ≥ 4P rồi vẫn cố giải.
Nhiều bạn gặp S = 2, P = 5 thì viết phương trình x² − 2x + 5 = 0 rồi tính Δ = −16 và... vẫn cố viết nghiệm bằng cách lấy căn của số âm. Nhưng phương trình vô nghiệm thì không có hai số thực nào thỏa mãn — đáp án đúng là "không tồn tại hai số thực". Cách tránh: luôn tính Δ = S² − 4P trước khi giải, và nếu Δ < 0 thì kết luận ngay là không tồn tại hai số thực.

Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa tổng S và tích P khi thay vào công thức.
Nhiều bạn viết phương trình x² − Px + S = 0 — đổi chỗ S và P cho nhau. Với S = 5, P = 6 thì viết thành x² − 6x + 5 = 0, nghiệm ra 1 và 5 — sai hoàn toàn. Cách tránh: bạn hãy nhớ vị trí cố định — S đi với x (hệ số của x là −S), P đứng một mình (hệ số tự do là P). Bạn có thể nhớ bằng câu "S theo x, P ở cuối".

Lỗi 4: Chỉ tìm được một số mà quên số còn lại.
Nhiều bạn giải phương trình x² − 5x + 6 = 0, tìm được nghiệm x = 2 rồi kết luận đáp án là 2 — quên mất còn nghiệm x = 3. Bài toán hỏi HAI số, đáp án phải là một cặp. Cách tránh: sau khi giải phương trình, bạn hãy viết rõ cả hai nghiệm, rồi thử lại cả tổng và tích của cặp số đó trước khi kết luận.

Lỗi 5: Áp dụng định lí Viète đảo cho phương trình có hệ số a ≠ 1 mà không chia.
Định lí Viète đảo viết phương trình dưới dạng x² − Sx + P = 0 — hệ số của x² bằng 1. Nhiều bạn gặp phương trình 2x² − 10x + 12 = 0 rồi kết luận tổng nghiệm là 10 và tích nghiệm là 12 — nhưng thực ra phải chia cả hai vế cho 2 trước: x² − 5x + 6 = 0, tổng nghiệm là 5, tích nghiệm là 6. Cách tránh: trước khi đọc tổng và tích từ một phương trình, bạn hãy đưa nó về dạng x² + bx + c = 0 (hệ số của x² bằng 1) đã. Nếu muốn ôn lại cách rút gọn phương trình bậc hai, bạn hãy xem lại bài lũy thừa với số mũ tự nhiên — ở đó, x² chính là lũy thừa bậc hai của x mà bạn dùng trong mọi phương trình bậc hai.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ làm đủ ba bước: kiểm tra điều kiện S² ≥ 4P, viết phương trình x² − Sx + P = 0, rồi giải phương trình — bỏ bước nào cũng dễ mất điểm.

Câu 1: Hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12 là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x² − 7x + 12 = 0
B. x² + 7x + 12 = 0
C. x² − 7x − 12 = 0
D. x² − 12x + 7 = 0

Câu 2: Hai số có tổng bằng 4 và tích bằng 4 là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x² + 4x + 4 = 0
B. x² − 4x + 4 = 0
C. x² − 4x − 4 = 0
D. x² − 2x + 4 = 0

Câu 3: Hai số có tổng bằng 1 và tích bằng −6 là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. x² + x − 6 = 0
B. x² − x + 6 = 0
C. x² − x − 6 = 0
D. x² − 6x + 1 = 0

Câu 4: Hai số có tổng bằng 2 và tích bằng 5 có tồn tại không?
A. Có, hai số đó là 1 và 1
B. Không tồn tại hai số thực như vậy
C. Có, hai số đó là −1 và 3
D. Có, hai số đó là 5 và −3

Câu 5: Tìm hai số có tổng bằng 10 và tích bằng 21.
A. 3 và 7
B. −3 và −7
C. 2 và 8
D. 1 và 9

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (x² − 7x + 12 = 0) đúng: S = 7, P = 12 nên phương trình là x² − Sx + P = 0, tức là x² − 7x + 12 = 0. Giải ra hai nghiệm 3 và 4 — kiểm tra: 3 + 4 = 7, 3 × 4 = 12, đúng. Đáp án B (x² + 7x + 12 = 0) sai vì dấu của hệ số x phải là −S = −7. Đáp án C (x² − 7x − 12 = 0) sai vì hệ số tự do phải là P = +12. Đáp án D (x² − 12x + 7 = 0) sai vì đã đổi chỗ S và P.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (x² − 4x + 4 = 0) đúng: S = 4, P = 4 nên phương trình là x² − 4x + 4 = 0. Biệt thức Δ = 16 − 16 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x = 2 — hai số cần tìm đều bằng 2. Đáp án A (x² + 4x + 4 = 0) sai vì dấu hệ số x phải là −4. Đáp án C (x² − 4x − 4 = 0) sai vì hệ số tự do phải là +4. Đáp án D (x² − 2x + 4 = 0) sai vì hệ số của x phải là −S = −4.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C (x² − x − 6 = 0) đúng: S = 1, P = −6 nên phương trình là x² − x − 6 = 0. Giải ra hai nghiệm 3 và −2 — kiểm tra: 3 + (−2) = 1, 3 × (−2) = −6, đúng. Đáp án A (x² + x − 6 = 0) sai vì hệ số của x phải là −S = −1. Đáp án B (x² − x + 6 = 0) sai vì hệ số tự do phải là P = −6. Đáp án D (x² − 6x + 1 = 0) sai vì đã đổi chỗ S và P.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B (không tồn tại hai số thực) đúng: Kiểm tra điều kiện: Δ = S² − 4P = 4 − 20 = −16 < 0, phương trình x² − 2x + 5 = 0 vô nghiệm nên không tồn tại hai số thực có tổng 2 và tích 5. Đáp án A sai vì 1 và 1 có tích bằng 1, không phải 5. Đáp án C sai vì −1 và 3 có tổng bằng 2 nhưng tích bằng −3, không phải 5. Đáp án D sai vì 5 và −3 có tổng bằng 2 nhưng tích bằng −15, không phải 5.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A (3 và 7) đúng: S = 10, P = 21 nên phương trình là x² − 10x + 21 = 0. Biệt thức Δ = 100 − 84 = 16, hai nghiệm là (10 + 4) / 2 = 7 và (10 − 4) / 2 = 3. Vậy hai số là 3 và 7. Đáp án B sai vì −3 và −7 có tổng bằng −10. Đáp án C sai vì 2 và 8 có tích bằng 16, không phải 21. Đáp án D sai vì 1 và 9 có tích bằng 9, không phải 21.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Định lí Viète thuận và định lí Viète đảo khác nhau như thế nào?
Đáp: Định lí Viète thuận đi từ phương trình tới tổng và tích: nếu x₁, x₂ là nghiệm của ax² + bx + c = 0 thì x₁ + x₂ = −b / a và x₁x₂ = c / a. Định lí Viète đảo đi ngược lại: cho trước tổng S và tích P, hai số đó là nghiệm của x² − Sx + P = 0. Thuận là "biết nghiệm, tính tổng tích"; đảo là "biết tổng tích, tìm nghiệm". Hai định lí là hai mặt của cùng một mối quan hệ.

Hỏi: Vì sao điều kiện lại là S² ≥ 4P mà không phải S² > 4P?
Đáp: Vì dấu bằng vẫn cho ra nghiệm — nghiệm kép. Khi S² = 4P thì Δ = 0, phương trình có nghiệm kép x = S / 2, tức là hai số cần tìm bằng nhau và bằng S / 2. Ví dụ S = 4, P = 4 thì hai số đều bằng 2. Nếu điều kiện là S² > 4P thì trường hợp này đã bị loại oan. Bạn hãy nhớ: "lớn hơn hoặc bằng", không phải "lớn hơn".

Hỏi: Có thể dùng định lí Viète đảo để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai không?
Đáp: Có, và đó là một trong những ứng dụng hay nhất của nó. Gặp phương trình x² − 7x + 12 = 0, bạn đọc tổng nghiệm S = 7 và tích nghiệm P = 12, rồi nhẩm hai số có tổng 7 tích 12 — là 3 và 4. Gặp x² − 5x + 6 = 0, tổng 5 tích 6 — là 2 và 3. Cách nhẩm này nhanh hơn nhiều so với dùng công thức nghiệm, đặc biệt khi S và P là số nguyên nhỏ.

Hỏi: Nếu S và P không phải số nguyên thì làm thế nào?
Đáp: Phương pháp vẫn như cũ: viết phương trình x² − Sx + P = 0 rồi dùng công thức nghiệm. Ví dụ S = 1,5; P = 0,5: phương trình là x² − 1,5x + 0,5 = 0, Δ = 2,25 − 2 = 0,25, hai nghiệm là (1,5 + 0,5) / 2 = 1 và (1,5 − 0,5) / 2 = 0,5. Chỉ khác là bạn không nhẩm được mà phải tính bằng công thức nghiệm — và đó là lúc máy tính cầm tay phát huy tác dụng.

Hỏi: Bài toán tìm hai số biết tổng và tích dùng để làm gì trong thực tế?
Đáp: Rất nhiều. Tìm hai cạnh của hình chữ nhật khi biết chu vi và diện tích, tìm hai số trong các bài toán đố về tuổi, về tiền, về sản phẩm — bất cứ khi nào đề bài cho tổng và tích của hai đại lượng chưa biết. Ở lớp 10, bạn còn dùng nó để phân tích đa thức thành nhân tử và giải hệ phương trình đối xứng. Nếu muốn ôn lại cách giải phương trình bậc hai — công cụ bạn dùng ở bước cuối — bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm, vì công thức nghiệm luôn cần tới căn bậc hai của biệt thức Δ.

8. Kết luận

Tìm hai số khi biết tổng S và tích P chỉ gói gọn trong ba bước: kiểm tra điều kiện S² ≥ 4P, viết phương trình x² − Sx + P = 0, rồi giải phương trình đó. Bạn hãy nhớ kĩ dấu trừ trước S — đó là lỗi mà nhiều bạn mắc nhất — và đừng bao giờ bỏ qua bước kiểm tra điều kiện, vì không phải cặp S, P nào cũng cho ra hai số thực. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để viết phương trình bậc hai từ tổng và tích, nhẩm nghiệm nhanh trong bài kiểm tra, và giải những bài toán thực tế như tìm hai cạnh của mảnh vườn khi biết chu vi và diện tích. Và nếu một ngày nào đó bạn gặp bài toán ngược — biết hai số, hãy tính tổng và tích — thì bạn đã biết định lí Viète thuận đang chờ sẵn ở đó.