Đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 11 (Kết nối tri thức) — Cấu trúc đề, dạng bài trọng tâm và đáp án

Dưới đây là đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 11 — Đề 1 theo sách Kết nối tri thức với cuộc sống, biên soạn đúng định dạng Công văn 7991, tổng điểm 10, làm trong 90 phút. Đề gồm 4 phần quen thuộc: 12 câu trắc nghiệm, 2 câu đúng – sai, 4 câu trả lời ngắn và 3 bài tự luận, phủ đều bốn chương đầu của học kỳ 1: lượng giác, dãy số – cấp số, thống kê ghép nhóm và quan hệ song song trong không gian.

Bài viết này đăng trọn vẹn đề bài kèm đáp án và giải thích từng câu để bạn đối chiếu. Nhưng khoan kéo xuống xem đáp án vội — hãy tự làm hết đề một lượt, bấm giờ như thi thật, rồi mới quay lại kiểm tra. Muốn làm bài có bấm giờ và chấm điểm tự động, bạn có thể làm đề trực tuyến trên ClassOn — xem đề không cần đăng nhập và hoàn toàn miễn phí.

Trước khi làm, hãy đọc nhanh phần thông tin chung, phạm vi kiến thức và ma trận bên dưới để biết đề "nặng" ở mảng nào — lượng giác và dãy số cộng lại đã chiếm gần 7/10 điểm đấy.

Thông tin chung về đề thi

• Môn / lớp: Toán — lớp 11
• Kỳ thi: Giữa kỳ 1, năm học 2026–2027
• Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống (KNTT), cấu trúc theo Công văn 7991
• Thời gian làm bài: 90 phút
• Tổng điểm: 10 điểm
• Cấu trúc đề:
  • Phần I — Trắc nghiệm nhiều lựa chọn: 12 câu × 0,25 điểm = 3,0 điểm
  • Phần II — Trắc nghiệm đúng – sai: 2 câu (mỗi câu 4 ý) = 2,0 điểm
  • Phần III — Trắc nghiệm trả lời ngắn: 4 câu × 0,5 điểm = 2,0 điểm
  • Phần IV — Tự luận: 3 bài = 3,0 điểm
• Tỉ lệ trắc nghiệm / tự luận: 70% / 30%, mức độ Nhận biết 40% — Thông hiểu 32,5% — Vận dụng 27,5% (xấp xỉ chuẩn 40/30/30 của đề định kỳ THPT)
• Hình thức: Làm online trên ClassOn, phần khách quan được chấm tự động khi nộp bài; hoặc in ra giấy tự luyện.

Phạm vi kiến thức của đề

Đề phủ bốn chương đầu học kỳ 1 Toán 11 KNTT:

• Chương I — Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác: đổi đơn vị độ – rađian, tập giá trị của hàm số lượng giác, giá trị lượng giác của góc ở góc phần tư thứ hai, công thức nhân đôi, giải phương trình lượng giác cơ bản (sin, cos, tan) và đếm nghiệm trên một đoạn/khoảng, phương trình bậc hai đối với cos x.
• Chương II — Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân: số hạng tổng quát, tìm số hạng thứ n, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng và cấp số nhân, bài toán tìm u₁ và d từ hệ điều kiện.
• Chương III — Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm: số trung bình (dùng giá trị đại diện của nhóm), trung vị của mẫu ghép nhóm theo tần số tích lũy, nhận biết đúng về mốt và tứ phân vị.
• Chương IV — Quan hệ song song trong không gian: tiên đề Ơ-clit, hai đường thẳng song song trong hình hộp, điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, đường trung bình trong tam giác ứng dụng vào hình chóp.

Đối chiếu với các bộ sách khác: Cả ba bộ sách theo chương trình GDPT 2018 (Kết nối tri thức, Cánh Diều, Chân trời sáng tạo) đều bố trí bốn mảng lượng giác — dãy số/cấp số — thống kê ghép nhóm — quan hệ song song vào học kỳ 1 lớp 11, chỉ khác thứ tự chương và cách chia bài. Nếu trường bạn học bộ sách khác, đề này vẫn dùng ôn tập được phần lớn nội dung; chỉ cần đối chiếu thêm đề cương của trường mình để chắc chắn về phạm vi.

Ma trận đề

Nhận xét nhanh: Chương I (lượng giác) là mảng nặng nhất với 3,5 điểm và cũng là mảng "tham lam" nhất — vừa có nhiều câu nhận biết dễ ăn điểm, vừa chứa các câu vận dụng dễ mất điểm nhất của đề (đếm nghiệm phương trình, dấu của sin 2α). Chương II bám sát ngay sau với 3,25 điểm. Ai ôn lệch bỏ hình học không gian cũng đừng lo quá: Chương IV chỉ 2,25 điểm và phần lớn ở mức cơ bản.

Đề bài đầy đủ

Phần I — Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (12 câu, 3,0 điểm)

Mỗi câu 0,25 điểm. Chọn một đáp án đúng.

Câu 1. Góc có số đo 60° bằng bao nhiêu rađian?
A. (π)/(6)
B. (π)/(4)
C. (π)/(3)
D. (2π)/(3)

Câu 2. Tập giá trị của hàm số y = cos x là:
A. R
B. [0; 1]
C. (−1; 1)
D. [−1; 1]

Câu 3. Nghiệm của phương trình sin x = sin (π)/(6) là:
A. x = (π)/(6) + k2π hoặc x = (5π)/(6) + k2π (k ∈ Z)
B. x = (π)/(6) + k2π hoặc x = −(π)/(6) + k2π (k ∈ Z)
C. x = (π)/(6) + kπ hoặc x = (5π)/(6) + kπ (k ∈ Z)
D. x = (π)/(6) + k2π (k ∈ Z)

Câu 4. Phương trình cos 2x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Câu 5. Cho dãy số (uₙ) có số hạng tổng quát uₙ = 2n − 1. Số hạng thứ 5 của dãy số là:
A. 9
B. 7
C. 11
D. 5

Câu 6. Cho cấp số cộng (uₙ) có u₁ = 3 và công sai d = 4. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
A. uₙ = 4n + 3
B. uₙ = 4n − 1
C. uₙ = 3n + 4
D. uₙ = 4n + 7

Câu 7. Cho cấp số nhân (uₙ) có u₁ = 2 và công bội q = 3. Tổng của 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:
A. 40
B. 80
C. 54
D. 160

Câu 8. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm luôn là một giá trị cụ thể xuất hiện trong mẫu số liệu gốc.
B. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị đại diện của nhóm có tần số lớn nhất.
C. Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm luôn nhỏ hơn trung vị của nó.
D. Khi tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thay mỗi giá trị trong một nhóm bằng giá trị đại diện của nhóm đó.

Câu 9. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian hoàn thành một bài kiểm tra (phút) của 10 học sinh:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
A. 13
B. 14
C. 15
D. 14,5

Câu 10. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng đó?
A. 0
B. 2
C. Vô số
D. 1

Câu 11. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AB song song với đường thẳng nào sau đây?
A. AA'
B. AC
C. A'B'
D. AD

Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó thì đường thẳng ấy song song với mặt phẳng.
B. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng có đúng một điểm chung.

Phần II — Trắc nghiệm đúng–sai (2 câu, 2,0 điểm)

Mỗi câu 1,0 điểm: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Câu 1. Cho góc α thỏa mãn sin α = (3)/(5) và (π)/(2) < α < π. Xét tính đúng–sai của các khẳng định sau:
a) cos α < 0.
b) cos α = −(4)/(5).
c) sin 2α = (24)/(25).
d) tan α = −(3)/(4).

Câu 2. Cho cấp số nhân (uₙ) có u₁ = 3 và công bội q = 2. Xét tính đúng–sai của các khẳng định sau:
a) u₄ = 24.
b) Tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 93.
c) Số 96 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
d) u₁ + u₃ + u₅ = 60.

Phần III — Trắc nghiệm trả lời ngắn (4 câu, 2,0 điểm)

Mỗi câu 0,5 điểm. Chỉ ghi đáp số.

Câu 1. Phương trình tan x = √3 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [0; 2π)?

Câu 2. Cho cấp số cộng (uₙ) có u₁ = 5 và công sai d = 3. Tính u₁₀.

Câu 3. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao (cm) của 25 học sinh:

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Tính tỉ số (MN)/(AC).

Phần IV — Tự luận (3 bài, 3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm). Giải các phương trình sau:
a) (0,5 điểm) 2 sin x − 1 = 0.
b) (0,5 điểm) cos² x − cos x − 2 = 0.

Bài 2 (1,0 điểm). Cho cấp số cộng (uₙ) thỏa mãn u₂ + u₅ = 17 và u₃ + u₆ = 23.
a) (0,5 điểm) Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng.
b) (0,5 điểm) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Bài 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
a) (0,5 điểm) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) (0,5 điểm) Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD).

Đáp án và giải thích chi tiết

Bảng đáp án nhanh

Phần I — Trắc nghiệm nhiều lựa chọn:

Phần II — Trắc nghiệm đúng – sai:

Phần III — Trả lời ngắn:

Giải thích từng câu — Phần I

Câu 1 — Đáp án C. Đổi từ độ sang rađian bằng cách nhân với (π)/(180): 60° = 60 × (π)/(180) = (π)/(3). Phương án A (π)/(6) là của góc 30° — bẫy cho bạn nào thuộc lòng cặp góc đặc biệt nhưng gán nhầm.

Câu 2 — Đáp án D. Hàm số y = cos x nhận mọi giá trị từ −1 đến 1, nên tập giá trị là [−1; 1]. Phương án C (−1; 1) sai ở hai đầu mút: cos x đạt đúng −1 và 1 (tại x = π + k2π và x = k2π) nên khoảng phải đóng. Phương án B [0; 1] là tập giá trị của hàm trị tuyệt đối |cos x|, không phải của cos x.

Câu 3 — Đáp án A. Phương trình sin x = sin α luôn có HAI họ nghiệm: x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π. Ở đây α = (π)/(6) nên họ thứ hai là x = (5π)/(6) + k2π. Phương án D thiếu hẳn họ thứ hai; phương án B lấy −(π)/(6) là công thức của phương trình cos; phương án C sai chu kỳ (kπ thay vì k2π) — đây là câu "mất điểm oan" kinh điển, xem thêm mục bẫy của đề ở dưới.

Câu 4 — Đáp án C. cos 2x = 0 ⇔ 2x = (π)/(2) + kπ ⇔ x = (π)/(4) + (kπ)/(2). Lần lượt thử k = 0; 1; 2; 3 được x ∈ {(π)/(4); (3π)/(4); (5π)/(4); (7π)/(4)} — cả 4 nghiệm đều nằm trong [0; 2π]. Với k = 4 thì x = (9π)/(4) > 2π nên dừng. Đáp án: 4 nghiệm. Mẹo đếm nhanh: họ nghiệm cách nhau (π)/(2), đoạn dài 2π chứa đúng 4 điểm của họ này.

Câu 5 — Đáp án A. Thay n = 5 vào công thức tổng quát: u₅ = 2 × 5 − 1 = 9. Câu này gần như cho điểm — chỉ cần đừng thay nhầm n = 4 (được 7, phương án B).

Câu 6 — Đáp án B. uₙ = u₁ + (n − 1)d = 3 + (n − 1) × 4 = 4n − 1. Kiểm tra ngược: n = 1 cho u₁ = 3 ✓, n = 2 cho u₂ = 7 = 3 + 4 ✓. Phương án A (4n + 3) là lỗi quên trừ d khi khai triển (n − 1)d; phương án C đổi vai trò của u₁ và d.

Câu 7 — Đáp án B. Cách chắc ăn nhất với n nhỏ là cộng trực tiếp: 2 + 6 + 18 + 54 = 80. Hoặc dùng công thức: S₄ = u₁ × (q⁴ − 1)/(q − 1) = 2 × (81 − 1)/(3 − 1) = 80. Phương án D (160) là lỗi quên chia cho (q − 1); phương án A (40) là chia thừa một lần nữa.

Câu 8 — Đáp án D. Số trung bình của mẫu ghép nhóm được tính bằng cách thay mỗi giá trị trong nhóm bằng giá trị đại diện của nhóm rồi tính như mẫu không ghép. Ba phương án còn lại đều sai: A — trung vị ghép nhóm tính theo công thức nội suy, không nhất thiết là một giá trị của mẫu gốc; B — mốt ghép nhóm cũng tính theo công thức dựa trên nhóm có tần số lớn nhất (nhóm mốt), không phải lấy luôn giá trị đại diện; C — tứ phân vị thứ hai chính là trung vị, hai đại lượng này bằng nhau chứ không nhỏ hơn.

Câu 9 — Đáp án B. Giá trị đại diện của ba nhóm lần lượt là 5; 15; 25 (trung điểm hai đầu mút). Số trung bình = (3 × 5 + 5 × 15 + 2 × 25)/(10) = (140)/(10) = 14. Bẫy của câu này: lấy cận dưới của nhóm (0; 10; 20) thay cho giá trị đại diện sẽ ra đáp án lệch hẳn.

Câu 10 — Đáp án D. Theo tiên đề Ơ-clit: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Phương án C "Vô số" là nhầm với tình huống trong không gian — qua một điểm có vô số đường thẳng, nhưng song song với đường thẳng cho trước thì chỉ một. Đây là câu phân biệt rõ bạn nào học bài kỹ.

Câu 11 — Đáp án C. Trong hình hộp, mặt ABB'A' là hình bình hành nên AB ∥ A'B'. Các phương án còn lại: AA', AD, AC đều cắt AB tại điểm A nên không thể song song với AB (hai đường song song thì không có điểm chung).

Câu 12 — Đáp án A. Đây chính là định lí điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng. Phương án B sai: đường thẳng song song với mặt phẳng vẫn có thể chéo một số đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Phương án C sai: hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Phương án D sai ở định nghĩa: có đúng một điểm chung nghĩa là đường thẳng cắt mặt phẳng, không phải song song (song song là không có điểm chung nào).

Giải thích từng ý — Phần II

Câu 1: Đúng – Đúng – Sai – Đúng. (Góc α nằm ở góc phần tư thứ hai vì (π)/(2) < α < π, sin α = (3)/(5).)

• Ý a) Đúng: ở góc phần tư thứ hai, cos luôn âm.
• Ý b) Đúng: từ sin² α + cos² α = 1, ta có cos² α = 1 − (9)/(25) = (16)/(25); kết hợp cos α < 0 được cos α = −(4)/(5). Bộ ba 3 – 4 – 5 quen thuộc, chỉ cần nhớ lấy dấu âm.
• Ý c) Sai — đây là ý "gài" chính của câu: sin 2α = 2 sin α cos α = 2 × (3)/(5) × (−(4)/(5)) = −(24)/(25), mang dấu âm vì cos α âm. Ai tính đúng độ lớn (24)/(25) mà quên dấu sẽ kết luận sai ý này.
• Ý d) Đúng: tan α = (sin α)/(cos α) = ((3)/(5))/((−4)/(5)) = −(3)/(4).

Câu 2: Đúng – Đúng – Đúng – Sai. (Cấp số nhân u₁ = 3, q = 2: các số hạng là 3; 6; 12; 24; 48; 96...)

• Ý a) Đúng: u₄ = u₁ × q³ = 3 × 2³ = 24.
• Ý b) Đúng: S₅ = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 (hoặc S₅ = 3 × (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 93).
• Ý c) Đúng: uₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹ = 96 ⇔ 2ⁿ⁻¹ = 32 = 2⁵ ⇔ n = 6.
• Ý d) Sai: u₁ + u₃ + u₅ = 3 + 12 + 48 = 63, không phải 60. Ý này gài bạn nào tính u₅ nhầm thành 45 hoặc cộng vội.

Giải thích từng câu — Phần III

Câu 1 — Đáp án 2. tan x = √3 ⇔ x = (π)/(3) + kπ (k ∈ Z). Trong khoảng [0; 2π), họ nghiệm này cho đúng 2 điểm: x = (π)/(3) và x = (4π)/(3). Lưu ý khoảng là [0; 2π) — nửa đóng nửa mở; điểm tiếp theo (7π)/(3) đã vượt 2π nên không tính.

Câu 2 — Đáp án 32. u₁₀ = u₁ + 9d = 5 + 9 × 3 = 32. Lỗi hay gặp: nhân 10d thay vì 9d (số khoảng cách giữa số hạng đầu và số hạng thứ 10 là 9, không phải 10).

Câu 3 — Đáp án 32,5. Cỡ mẫu n = 25 nên (n)/(2) = 12,5. Tần số tích lũy qua các nhóm: 4; 10; 20; 25. Nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥ 12,5, tức nhóm [30; 40) (nhóm trước tích lũy mới 10 < 12,5). Áp dụng công thức: Mₑ = 30 + ((12,5 − 10)/(10)) × 10 = 32,5.

Câu 4 — Đáp án (1)/(2). Trong tam giác SAC, M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC nên MN là đường trung bình của tam giác, suy ra MN = (1)/(2) AC. Vậy (MN)/(AC) = (1)/(2). Hình bình hành ở đáy thực ra không cần dùng đến — đề "trang trí" thêm để bạn tự tin áp dụng đúng định lí đường trung bình.

Lời giải và thang điểm — Phần IV

Bài 1 (1,0 điểm).

• a) (0,5 điểm) 2 sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = (1)/(2) (0,25 điểm). Vậy x = (π)/(6) + k2π hoặc x = (5π)/(6) + k2π (k ∈ Z) (0,25 điểm). Viết đủ cả hai họ nghiệm mới trọn điểm — thiếu một họ là mất nửa ý.
• b) (0,5 điểm) Đặt t = cos x với điều kiện −1 ≤ t ≤ 1, phương trình trở thành t² − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = −1 (0,25 điểm). Loại t = 2 vì vượt ngoài [−1; 1]; nhận t = −1: cos x = −1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z) (0,25 điểm). Bước loại nghiệm là chỗ chấm chặt nhất của ý này.

Bài 2 (1,0 điểm).

• a) (0,5 điểm) Khai triển theo u₁ và d: u₂ + u₅ = 2u₁ + 5d = 17 và u₃ + u₆ = 2u₁ + 7d = 23 (0,25 điểm). Lấy phương trình sau trừ phương trình trước theo vế: 2d = 6 ⇒ d = 3; thay vào phương trình đầu: 2u₁ = 17 − 15 = 2 ⇒ u₁ = 1 (0,25 điểm).
• b) (0,5 điểm) S₂₀ = (20)/(2) × [2u₁ + (20 − 1)d] = 10 × (2 × 1 + 19 × 3) = 10 × 59 = 590 (0,5 điểm).

Bài 3 (1,0 điểm).

• a) (0,5 điểm) Điểm S thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) (0,25 điểm). Gọi O = AC ∩ BD (tâm hình bình hành); vì O ∈ AC ⊂ (SAC) và O ∈ BD ⊂ (SBD) nên O cũng là điểm chung của hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng có hai điểm chung S và O nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SO (0,25 điểm).
• b) (0,5 điểm) Trong tam giác SAC, MN là đường trung bình nên MN ∥ AC (0,25 điểm). Mà AC ⊂ (ABCD) và MN ⊄ (ABCD) (vì M nằm trên SA, M ≠ A nên M không thuộc mặt phẳng đáy). Theo định lí đường thẳng song song với mặt phẳng: MN ∥ (ABCD) (0,25 điểm). Lưu ý phải nêu đủ cả hai điều kiện — MN song song với một đường trong mặt phẳng VÀ MN không nằm trong mặt phẳng — thiếu một vế là mất điểm.

Thang điểm chi tiết của đề

Để tự chấm bài sau khi làm, bạn đối chiếu theo thang điểm sau:

• Phần I (3,0 điểm): 12 câu trắc nghiệm, mỗi câu đúng 0,25 điểm, sai hoặc bỏ trống 0 điểm.
• Phần II (2,0 điểm): mỗi câu đúng – sai gồm 4 ý, chấm lũy tiến theo số ý đúng: đúng 1 ý được 0,1 điểm; đúng 2 ý được 0,25 điểm; đúng 3 ý được 0,5 điểm; đúng cả 4 ý được trọn 1,0 điểm. Nghĩa là dù chưa chắc cả câu, cứ mạnh dạn làm từng ý — mỗi ý đúng đều "gỡ" thêm điểm.
• Phần III (2,0 điểm): 4 câu trả lời ngắn, mỗi câu đúng 0,5 điểm. Phần này chỉ ghi đáp số, không có điểm từng bước nên hãy kiểm tra lại phép tính trước khi chốt.
• Phần IV (3,0 điểm): 3 bài tự luận, mỗi bài 1,0 điểm, chấm theo từng bước trình bày như thang điểm trong phần lời giải ở trên (mỗi ý a/b đều 0,5 điểm, chia tiếp theo từng bước biến đổi).

Tổng cộng 10 điểm — đúng thang điểm giữa kỳ quen thuộc ở trường.

Làm đề trực tuyến trên ClassOn

Đọc đề và đáp án trên giấy giúp bạn hiểu bài, nhưng cảm giác thi thật thì chỉ có khi bấm giờ và bị "khóa" đáp án đến lúc nộp bài. Bạn có thể làm đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 11 có đáp án trực tuyến ngay trên ClassOn:

• Đồng hồ đếm ngược 90 phút như phòng thi, nộp bài là biết điểm phần khách quan ngay nhờ chấm tự động.
• Xem đề thi công khai không cần đăng nhập; chỉ khi muốn nộp bài để chấm và lưu kết quả, bạn mới cần một tài khoản ClassOn miễn phí.
• Giáo viên cũng có thể tạo lớp miễn phí trên ClassOn và giao chính đề này cho học sinh làm, hệ thống tự chấm phần trắc nghiệm, đúng – sai, trả lời ngắn.

Cách ôn tập theo từng chủ đề của đề

Thay vì ôn dàn trải cả sách, hãy bám đúng bốn mảng của đề:

Chủ đề 1 — Lượng giác và phương trình lượng giác (3,5 điểm). Đây là mảng quyết định điểm số. Cần chắc: đổi đơn vị độ ↔ rađian; dấu của sin, cos, tan theo từng góc phần tư; công thức nhân đôi sin 2α; và quan trọng nhất là công thức nghiệm đầy đủ hai họ của sin x = sin α, cos x = cos α, tan x = tan α. Với dạng đếm nghiệm trên đoạn, luôn liệt kê các giá trị k nguyên thỏa mãn thay vì ước lượng.

Chủ đề 2 — Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân (3,25 điểm). Học thuộc theo cặp để khỏi nhầm lẫn nhau: uₙ = u₁ + (n − 1)d và Sₙ = (n)/(2) × [2u₁ + (n − 1)d] cho cấp số cộng; uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ và Sₙ = u₁ × (qⁿ − 1)/(q − 1) cho cấp số nhân. Với n nhỏ (n ≤ 6), cộng trực tiếp từng số hạng thường nhanh và chắc hơn bấm công thức. Dạng tìm u₁, d từ hai điều kiện: cứ khai triển mọi số hạng về u₁ và d rồi giải hệ.

Chủ đề 3 — Thống kê ghép nhóm (1,0 điểm). Hai kỹ năng: tính số trung bình bằng giá trị đại diện (trung điểm nhóm), và tìm trung vị bằng tần số tích lũy — xác định đúng nhóm chứa trung vị trước, áp dụng công thức nội suy sau. Chỉ 1 điểm nhưng là điểm "chắc ăn" nếu thuộc quy trình, đừng bỏ.

Chủ đề 4 — Quan hệ song song trong không gian (2,25 điểm). Nắm tiên đề Ơ-clit, tính chất hình hộp (các mặt đối là hình bình hành), và thuộc lòng định lí: đường thẳng không nằm trong mặt phẳng, song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì song song với mặt phẳng. Khi chứng minh, luôn kiểm tra đủ hai điều kiện (song song với một đường trong mặt phẳng + không nằm trong mặt phẳng). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng = tìm hai điểm chung của chúng.

Lộ trình ôn 3 buổi gợi ý:

• Buổi 1: Ôn Chủ đề 1, làm lại Phần I Câu 1–4, Phần II Câu 1 và Bài 1 tự luận; viết ra giấy công thức nghiệm của ba phương trình lượng giác cơ bản.
• Buổi 2: Ôn Chủ đề 2 + Chủ đề 3, làm Phần I Câu 5–9, Phần II Câu 2, Phần III Câu 2–3 và Bài 2 tự luận.
• Buổi 3: Ôn Chủ đề 4 (Phần I Câu 10–12, Phần III Câu 4, Bài 3), sau đó làm trọn đề trong 90 phút trên ClassOn (phân bổ gợi ý: Phần I 20 phút, Phần II 15 phút, Phần III 15 phút, Phần IV 35 phút, chừa 5 phút soát bài) và đối chiếu đáp án.

⚠️ Lỗi sai thường gặp — những "cái bẫy" có thật trong đề này

1. Quên họ nghiệm thứ hai của phương trình sin. Câu 3 Phần I và Bài 1a tự luận đều kiểm tra điều này: sin x = sin α có hai họ nghiệm x = α + k2π và x = π − α + k2π. Chỉ viết một họ là mất nửa ý tự luận và chọn nhầm đáp án trắc nghiệm (phương án D được "thiết kế" sẵn cho lỗi này). Phòng tránh: thuộc câu thần chú "sin thì bù, cos thì đối, tan thì hơn kém π".
2. Quên xét dấu khi dùng công thức nhân đôi. Phần II Câu 1 ý c: sin 2α = 2 sin α cos α. Vì α ở góc phần tư thứ hai nên cos α âm, kết quả đúng phải là −(24)/(25). Đề cố tình ghi khẳng định là (24)/(25) — đúng độ lớn, sai dấu. Phòng tránh: trước khi tính bất kỳ giá trị lượng giác nào, dành 3 giây xác định góc nằm ở phần tư nào và dấu của từng hàm.
3. Không loại nghiệm khi đặt ẩn phụ t = cos x. Bài 1b: phương trình bậc hai cho hai nghiệm t = 2 và t = −1, nhưng t = cos x chỉ nhận giá trị trong [−1; 1] nên t = 2 phải loại. Không loại sẽ dẫn tới kết luận sai (hoặc loay hoay tìm x từ cos x = 2). Phòng tránh: viết điều kiện −1 ≤ t ≤ 1 ngay cạnh phép đặt ẩn, và đối chiếu lại ngay khi giải xong phương trình bậc hai.
4. Đếm nghiệm trên đoạn/khoảng sai vì đầu mút. Câu 4 Phần I (đoạn đóng [0; 2π], nghiệm cách nhau (π)/(2) nên có 4 nghiệm) và Phần III Câu 1 (khoảng nửa mở [0; 2π) với tan x = √3 chỉ có 2 nghiệm: (π)/(3) và (4π)/(3)). Phòng tránh: giải họ nghiệm xong, thay lần lượt k = 0; 1; 2; ... và kiểm tra từng giá trị có thuộc đúng đoạn/khoảng không — đừng đếm bằng cảm tính.
5. Nhầm "giá trị đại diện" và "tần số tích lũy" trong thống kê ghép nhóm. Câu 9 Phần I: tính trung bình phải dùng trung điểm của nhóm, lấy cận dưới sẽ sai đáp án. Phần III Câu 3: tìm nhóm chứa trung vị phải nhìn tần số tích lũy (4; 10; 20; 25) chứ không phải tần số từng nhóm — nhóm [30; 40) có tần số lớn nhất thật đấy, nhưng lý do nó chứa trung vị là vì tích lũy của nhóm trước (10) vừa nhỏ hơn 12,5. Phòng tránh: với mọi bài ghép nhóm, lập thêm một cột tần số tích lũy ra nháp trước khi tính.

Câu hỏi thường gặp

Đề kiểm tra giữa kỳ 1 Toán 11 trên ClassOn có miễn phí không?
Có. ClassOn miễn phí 100% — xem đề, làm bài, xem đáp án đều không thu phí, không có gói trả tiền ẩn.

Xem và làm đề có cần đăng nhập không?
Xem đề thi công khai và đọc đáp án trong bài viết này không cần đăng nhập. Nếu muốn nộp bài để được chấm tự động và lưu kết quả trên hệ thống, bạn cần một tài khoản ClassOn miễn phí.

Đề thi này theo bộ sách nào, có khớp tiến độ ở trường em không?
Đề biên soạn theo sách Kết nối tri thức với cuộc sống, đúng định dạng Công văn 7991 mà nhiều trường đang áp dụng (12 trắc nghiệm, 2 đúng – sai, 4 trả lời ngắn, 3 tự luận, 90 phút). Bốn mảng kiến thức của đề (lượng giác, dãy số – cấp số, thống kê ghép nhóm, quan hệ song song) đều nằm trong học kỳ 1 của cả ba bộ sách GDPT 2018 nên học sinh học Cánh Diều hay Chân trời sáng tạo vẫn ôn được phần lớn nội dung; tuy vậy phạm vi từng trường có thể xê dịch nhẹ theo tiến độ — hãy đối chiếu thêm đề cương trường mình.

Giáo viên có thể dùng đề này cho lớp của mình không?
Hoàn toàn được: tạo lớp miễn phí trên ClassOn, giao đề cho học sinh làm trực tuyến để hệ thống chấm tự động phần khách quan — hoặc tham khảo cấu trúc và ma trận của đề khi ra đề riêng.

Tài liệu liên quan và đề thi tiếp theo

Đề Toán 11 này thuộc đợt đề kiểm tra giữa kỳ 1 các môn lớp 6–12 đang được ClassOn đăng tải dần lên kho đề thi công khai — vào Xem đề thi công khai để làm bài ngay, hoặc xem toàn bộ danh sách đề tại kho đề thi công khai của ClassOn để chọn thêm đề các môn, các lớp khác.

Chúc bạn ôn tập hiệu quả, vào phòng thi thật bình tĩnh và "ẵm" trọn những câu đã luyện ở đề này. Học tốt nhé! 💪