Kì thi cuối học kì 1 đang đến gần, và với nhiều bạn lớp 10, môn Toán luôn là "thử thách lớn" vì vừa phải nhớ công thức, vừa phải biết vận dụng linh hoạt vào nhiều dạng bài khác nhau. Tin vui là đề thi học kì 1 Toán 10 bám rất sát sách giáo khoa — chỉ cần ôn đúng trọng tâm, nắm chắc 5 chương của học kì 1 và luyện đề theo đúng cấu trúc mới là bạn hoàn toàn có thể đạt điểm cao.
Bài viết này tổng hợp toàn bộ kiến thức trọng tâm học kì 1 (Chương 1 đến Chương 5, sách Toán 10 Kết nối tri thức với cuộc sống — bộ sách thống nhất trên cả nước từ năm học 2026–2027), kèm 2 đề thi mẫu theo đúng cấu trúc mới (trắc nghiệm nhiều lựa chọn, trắc nghiệm đúng – sai, trả lời ngắn và tự luận), mỗi câu đều có đáp án và lời giải chi tiết như giáo viên chữa bài. Hãy đọc kỹ phần tóm tắt, làm thử 2 đề bấm giờ nghiêm túc, đối chiếu đáp án rồi rút kinh nghiệm — đó là cách ôn thi hiệu quả nhất.
Cấu trúc đề kiểm tra cuối học kì 1 Toán 10 (theo form mới)
Hiện nay các trường THPT đều ra đề kiểm tra cuối kì 1 Toán 10 theo cấu trúc mới, gồm trắc nghiệm khách quan kết hợp tự luận. Thời gian làm bài là 90 phút, thang điểm 10. Cấu trúc cụ thể như sau:
| Phần thi | Dạng câu hỏi | Số câu | Điểm |
|---|---|---|---|
| A. Trắc nghiệm (7,0 điểm) | Phần I: Nhiều phương án lựa chọn | 12 câu (câu 1–12) | 3,0 điểm (0,25đ/câu) |
| Phần II: Đúng – Sai | 2 câu (mỗi câu 4 ý a, b, c, d) | 2,0 điểm (mỗi ý đúng 0,25đ) | |
| Phần III: Trả lời ngắn | 4 câu | 2,0 điểm (0,5đ/câu) | |
| B. Tự luận (3,0 điểm) | Trình bày lời giải chi tiết | 3 bài | 3,0 điểm |
| Tổng | 21 câu/bài | 10 điểm | |
Một số điểm mới các bạn cần nhớ khi làm bài theo cấu trúc này:
– Phần Đúng – Sai: mỗi câu có 4 ý, mỗi ý chỉ được chọn "Đúng" hoặc "Sai". Làm đúng càng nhiều ý thì điểm càng cao, vì vậy đừng bỏ trống ý nào.
– Phần Trả lời ngắn: chỉ cần ghi kết quả cuối cùng (số, phân số hoặc biểu thức rút gọn), không cần trình bày lời giải, nhưng kết quả phải chính xác tuyệt đối.
– Phần Tự luận: phải trình bày đầy đủ các bước, lập luận chặt chẽ — đây là nơi giáo viên đánh giá tư duy của bạn, làm tắt bước có thể bị trừ điểm trình bày.
– Các câu hỏi được phân hóa theo 4 mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao. Khoảng 70% số điểm nằm ở mức Nhận biết và Thông hiểu.
Phạm vi kiến thức học kì 1: học đến đâu, thi đến đó
Đối chiếu với sách giáo khoa Toán 10 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống" (Tập 1), học kì 1 gồm 5 chương đầu tiên. Các nội dung như hàm số bậc hai, phương pháp tọa độ, đại số tổ hợp, xác suất thuộc học kì 2 nên không có trong đề thi cuối kì 1.
| Chương | Tên chương | Các bài học |
|---|---|---|
| Chương 1 | Mệnh đề và tập hợp | Bài 1: Mệnh đề; Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp |
| Chương 2 | Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn; Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn |
| Chương 3 | Hệ thức lượng trong tam giác | Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°; Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác |
| Chương 4 | Vectơ | Bài 7: Các khái niệm mở đầu; Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ; Bài 9: Tích của một vectơ với một số; Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ; Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ |
| Chương 5 | Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm | Bài 12: Số gần đúng và sai số; Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm; Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán |
Tóm tắt kiến thức trọng tâm từng chương
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
1. Mệnh đề và các phép toán logic:
- Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai (không vừa đúng vừa sai). Câu cảm thán, câu hỏi, câu mệnh lệnh không phải mệnh đề.
- Mệnh đề chứa biến: câu khẳng định chứa biến, tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của biến.
- Phủ định của mệnh đề P (kí hiệu P̄): đúng khi P sai, sai khi P đúng. Quy tắc: phủ định của "∀" là "∃", phủ định của "∃" là "∀"; phủ định của ">" là "≤", của "<" là "≥", của "=" là "≠".
- Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Mệnh đề đảo của P ⇒ Q là Q ⇒ P. Hai mệnh đề P, Q tương đương (P ⇔ Q) khi cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.
2. Tập hợp và các phép toán:
- Cách cho tập hợp: liệt kê phần tử hoặc nêu tính chất đặc trưng. Tập rỗng (∅) là tập không có phần tử nào.
- Tập A là tập con của B (A ⊂ B) nếu mọi phần tử của A đều thuộc B. Hai tập hợp bằng nhau khi A ⊂ B và B ⊂ A.
- Giao của A và B: A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}. Hợp của A và B: A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}. Hiệu của A và B: A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.
- Nếu A ⊂ E thì phần bù của A trong E là CEA = E \ A.
- Số tập con của tập có n phần tử là 2n. Công thức đếm: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
- Biểu đồ Ven là công cụ trực quan rất hữu ích cho bài toán đếm số phần tử (dạng "học sinh giỏi hoặc hạnh kiểm tốt").
Chương 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn: có dạng ax + by ≤ c (hoặc <, ≥, >) với a, b không đồng thời bằng 0. Cặp số (x0; y0) là nghiệm nếu thay vào được khẳng định đúng.
2. Cách xác định miền nghiệm (4 bước bắt buộc nhớ):
- Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ.
- Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) (nếu O không thuộc d; nếu O thuộc d thì lấy điểm khác như (1; 0)).
- Bước 3: Thay tọa độ điểm vừa lấy vào bất phương trình: nếu thỏa mãn thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó, ngược lại là nửa mặt phẳng không chứa điểm đó.
- Bước 4: Gạch bỏ phần không phải miền nghiệm (kể cả đường thẳng d nếu bất phương trình là dấu < hoặc > nghiêm ngặt).
3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm thành phần — tức là phần mặt phẳng thỏa mãn đồng thời mọi bất phương trình trong hệ, thường là một đa giác (tam giác, tứ giác...).
4. Bài toán tối ưu (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F = ax + by trên miền nghiệm):
- Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ (một đa giác).
- Bước 2: Tính giá trị của F tại các đỉnh của đa giác.
- Bước 3: So sánh và kết luận: giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh.
- Mẹo: bài toán thực tế (lợi nhuận, chi phí, sản lượng) luôn đưa về dạng này — việc khó nhất là đặt ẩn và dịch điều kiện thực tế thành hệ bất phương trình cho đúng.
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác
1. Giá trị lượng giác của góc α (0° ≤ α ≤ 180°):
- Trên nửa đường tròn đơn vị, điểm M(x0; y0) tương ứng với góc α thì sin α = y0, cos α = x0, tan α = y0/x0 (x0 ≠ 0), cot α = x0/y0 (y0 ≠ 0).
- Dấu của các giá trị: sin α ≥ 0 với mọi α ∈ [0°; 180°]; cos α, tan α, cot α đổi dấu tại 90°.
- Công thức góc bù nhau (cực kỳ hay ra thi): sin(180° − α) = sin α; cos(180° − α) = −cos α; tan(180° − α) = −tan α; cot(180° − α) = −cot α.
- Các góc đặc biệt phải thuộc lòng: sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2; cos60° = 1/2, cos45° = √2/2, cos30° = √3/2; tan45° = 1, tan60° = √3.
2. Định lí côsin, định lí sin và công thức diện tích:
- Định lí côsin: a² = b² + c² − 2bc·cosA; b² = a² + c² − 2ac·cosB; c² = a² + b² − 2ab·cosC. Dùng khi biết 2 cạnh và góc xen giữa (tính cạnh còn lại) hoặc biết 3 cạnh (tính góc).
- Định lí sin: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dùng khi biết 1 cạnh và 2 góc, hoặc 2 cạnh và góc đối diện một trong hai cạnh.
- Diện tích tam giác: S = ½·b·c·sinA = ½·c·a·sinB = ½·a·b·sinC; S = a·b·c/(4R); S = p·r (p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp); công thức Hê-rông S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)].
- Công thức đường trung tuyến: ma² = (2b² + 2c² − a²)/4 (ma là trung tuyến ứng với cạnh a).
3. Giải tam giác: là đi tìm các cạnh và góc còn lại khi biết một số yếu tố. Trình tự thường gặp: biết 2 cạnh + góc xen giữa → dùng côsin tìm cạnh thứ ba → dùng sin hoặc côsin tìm góc → góc còn lại bằng 180° trừ đi hai góc đã biết.
Chương 4. Vectơ
1. Khái niệm mở đầu:
- Vectơ là đoạn thẳng có hướng: điểm đầu, điểm cuối, phương, hướng và độ dài (môđun). Kí hiệu AB→ hoặc a→.
- Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau; cùng hướng hoặc ngược hướng là khái niệm chỉ xét với vectơ cùng phương.
- Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Vectơ-không (0→) có độ dài bằng 0, cùng hướng với mọi vectơ.
2. Tổng, hiệu và tích của vectơ với một số:
- Quy tắc 3 điểm: AB→ + BC→ = AC→. Quy tắc hình bình hành: AB→ + AD→ = AC→ (với ABCD là hình bình hành). Quy tắc trừ: AB→ − AC→ = CB→.
- Tích của số k với vectơ a→ là vectơ k·a→: cùng hướng với a→ nếu k > 0, ngược hướng nếu k < 0, độ dài bằng |k|·|a→|.
- I là trung điểm AB ⇔ IA→ + IB→ = 0→ ⇔ với mọi điểm O: OI→ = (OA→ + OB→)/2.
- G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA→ + GB→ + GC→ = 0→ ⇔ với mọi điểm O: OG→ = (OA→ + OB→ + OC→)/3.
3. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ:
- a→ = (x; y) ⇔ a→ = x·i→ + y·j→. Cho A(xA; yA), B(xB; yB) thì AB→ = (xB − xA; yB − yA).
- |a→| = √(x² + y²). Trung điểm M của AB: M((xA+xB)/2; (yA+yB)/2). Trọng tâm G của tam giác ABC: G((xA+xB+xC)/3; (yA+yB+yC)/3).
- Hai vectơ a→ = (x1; y1), b→ = (x2; y2) cùng phương ⇔ x1·y2 − x2·y1 = 0.
4. Tích vô hướng của hai vectơ:
- Định nghĩa: a→·b→ = |a→|·|b→|·cos(a→, b→). Trong tọa độ: a→·b→ = x1x2 + y1y2.
- Ứng dụng quan trọng: a→ ⊥ b→ ⇔ a→·b→ = 0 (với a→, b→ khác 0→); tính góc giữa hai vectơ qua cos(a→, b→) = (a→·b→)/(|a→|·|b→|); bình phương vô hướng a→² = |a→|².
- Mẹo hay dùng: để chứng minh vuông góc, hãy đưa về chứng minh tích vô hướng bằng 0; để tính độ dài đoạn thẳng, hãy bình phương vô hướng của vectơ tương ứng.
Chương 5. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm
1. Số gần đúng và sai số:
- Sai số tuyệt đối: Δa = |a − ā| (a là số gần đúng, ā là số đúng). Sai số tương đối: δa = Δa/|a|.
- Độ chính xác d cho biết số gần đúng được viết chính xác đến hàng nào: quy tròn số đến hàng mà độ chính xác yêu cầu (ví dụ d = 0,01 thì quy tròn đến hàng phần trăm).
2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm:
- Số trung bình: x̄ = (x1 + x2 + ... + xn)/n. Với bảng tần số: x̄ = (m1x1 + ... + mkxk)/n.
- Trung vị (Me): sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm; nếu n lẻ, trung vị là giá trị ở vị trí chính giữa; nếu n chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa.
- Tứ phân vị: Q1 là trung vị của nửa dưới, Q2 chính là trung vị, Q3 là trung vị của nửa trên (sau khi đã tách trung vị ra khỏi hai nửa nếu n lẻ).
- Mốt (Mo): giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu (một mẫu có thể có nhiều mốt hoặc không có mốt).
3. Các số đặc trưng đo độ phân tán:
- Khoảng biến thiên: R = (giá trị lớn nhất) − (giá trị nhỏ nhất).
- Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q3 − Q1 (đo sự phân tán của 50% số liệu chính giữa).
- Phương sai: s² = [(x1−x̄)² + (x2−x̄)² + ... + (xn−x̄)²]/n. Công thức tính nhanh: s² = (x1² + ... + xn²)/n − x̄² (tức là "trung bình của bình phương trừ đi bình phương của trung bình").
- Độ lệch chuẩn: s = √s² (cùng đơn vị với số liệu nên dễ so sánh, dễ cảm nhận).
- Ý nghĩa: số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn. Một giá trị x được coi là bất thường nếu x > Q3 + 1,5·ΔQ hoặc x < Q1 − 1,5·ΔQ.
Đề thi mẫu số 1
Thời gian làm bài: 90 phút. Thang điểm 10: trắc nghiệm 7 điểm + tự luận 3 điểm.
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃x ∈ ℝ, x² + 3x + 2 < 0" là:
A. ∀x ∈ ℝ, x² + 3x + 2 ≥ 0
B. ∀x ∈ ℝ, x² + 3x + 2 < 0
C. ∃x ∈ ℝ, x² + 3x + 2 ≥ 0
D. ∀x ∈ ℝ, x² + 3x + 2 ≤ 0
Lời giải: Phủ định của "∃" là "∀", phủ định của "<" là "≥". Vậy mệnh đề phủ định là "∀x ∈ ℝ, x² + 3x + 2 ≥ 0".
→ Đáp án: A. Giải thích: Đáp án B sai vì giữ nguyên dấu "<" mà không phủ định; đáp án C sai vì giữ nguyên "∃"; đáp án D sai vì phủ định của "<" là "≥" chứ không phải "≤".
Câu 2. Cho hai tập hợp A = {0; 2} và B = {0; 1; 2; 3; 4}. Số tập hợp X thỏa mãn A ∪ X = B là:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Lời giải: Vì A ∪ X = B nên X phải chứa mọi phần tử của B mà A không có, tức là {1; 3; 4} ⊂ X. Đồng thời X ⊂ B. Đặt X = {1; 3; 4} ∪ Y với Y ⊂ A = {0; 2}. Số tập Y là 2² = 4 (gồm ∅, {0}, {2}, {0; 2}). Vậy có 4 tập X.
→ Đáp án: C. Giải thích: Lỗi thường gặp là quên rằng các phần tử 0, 2 của A có thể có hoặc không trong X — mỗi phần tử cho 2 lựa chọn nên có 2² = 4 khả năng.
Câu 3. Cặp số (2; 3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. x − 3y + 7 < 0
B. 2x − 3y − 1 > 0
C. x − y < 0
D. 4x > 3y
Lời giải: Thay x = 2, y = 3 vào từng đáp án: A: 2 − 9 + 7 = 0, mà 0 < 0 là sai. B: 4 − 9 − 1 = −6, mà −6 > 0 là sai. C: 2 − 3 = −1 < 0 là đúng. D: 8 > 9 là sai.
→ Đáp án: C. Giải thích: Muốn kiểm tra một cặp số có phải nghiệm hay không, chỉ cần thay trực tiếp vào bất phương trình — đáp án nào cho khẳng định đúng thì đó là đáp án cần chọn.
Câu 4. Cho cos α = 0,2 và 0° < α < 90°. Giá trị của cos(180° − α) bằng:
A. 0,2
B. −0,2
C. −0,8
D. 0,8
Lời giải: Theo công thức hai góc bù nhau: cos(180° − α) = −cos α = −0,2.
→ Đáp án: B. Giải thích: Đáp án A sai vì quên đổi dấu; nhiều bạn nhầm với công thức của sin (sin(180° − α) = sin α, không đổi dấu) nên chọn A — hãy nhớ "cos bù thì đổi dấu, sin bù thì giữ nguyên".
Câu 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc A = 60°. Độ dài cạnh BC bằng:
A. √13
B. √37
C. 5
D. √7
Lời giải: Áp dụng định lí côsin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cosA = 9 + 16 − 2·3·4·cos60° = 25 − 24·(1/2) = 25 − 12 = 13. Vậy BC = √13.
→ Đáp án: A. Giải thích: Đáp án B sai vì quên nhân với cos60° = 1/2 (lấy 25 + 12 = 37); đáp án C sai vì áp dụng Pytago cho tam giác không vuông; đáp án D sai vì tính nhầm 2·3·4 = 12 thành 2·3 + 4 = 10 rồi 25 − ... — hãy viết đầy đủ công thức ra nháp trước khi thay số.
Câu 6. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. IA→ + IB→ = 0→
B. IA→ = IB→
C. AB→ = 2·IA→
D. |IA→| = |AB→|
Lời giải: Vì I là trung điểm AB nên IA→ và IB→ ngược hướng, cùng độ dài, do đó IA→ + IB→ = 0→.
→ Đáp án: A. Giải thích: Đáp án B sai vì hai vectơ ngược hướng (chỉ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài); đáp án C sai vì AB→ = −2·IA→ (ngược hướng); đáp án D sai vì |IA→| = |AB→|/2.
Câu 7. Vectơ a→ = (−4; 0) được phân tích theo hai vectơ đơn vị i→, j→ như thế nào?
A. a→ = −4i→ + j→
B. a→ = −i→ + 4j→
C. a→ = −4j→
D. a→ = −4i→
Lời giải: a→ = (−4; 0) = −4·i→ + 0·j→ = −4i→.
→ Đáp án: D. Giải thích: Tọa độ (x; y) tương ứng với x·i→ + y·j→. Đáp án A sai vì tung độ là 0 chứ không phải 1; đáp án C sai vì nhầm hoành độ với tung độ.
Câu 8. Cho u→ = (1; 2) và v→ = (3; −1). Tích vô hướng u→·v→ bằng:
A. 5
B. 1
C. −1
D. 7
Lời giải: u→·v→ = 1·3 + 2·(−1) = 3 − 2 = 1.
→ Đáp án: B. Giải thích: Công thức trong tọa độ là "hoành nhân hoành cộng tung nhân tung". Đáp án A sai vì lấy 3 + 2 = 5 (quên dấu âm của −1); đáp án C sai vì tính 1·3 − 2·1 = 1 rồi đổi dấu nhầm.
Câu 9. Mốt của mẫu số liệu 2; 4; 4; 6; 9 là:
A. 2
B. 4
C. 6
D. 9
Lời giải: Giá trị 4 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn mọi giá trị khác (mỗi giá trị còn lại xuất hiện 1 lần), nên mốt là 4.
→ Đáp án: B. Giải thích: Mốt là giá trị có tần số lớn nhất, không phải giá trị lớn nhất hay giá trị ở giữa.
Câu 10. Số trung bình của mẫu số liệu 2; 4; 4; 6; 9 là:
A. 4
B. 5
C. 4,5
D. 6
Lời giải: x̄ = (2 + 4 + 4 + 6 + 9)/5 = 25/5 = 5.
→ Đáp án: B. Giải thích: Đáp án A sai vì lấy trung vị (giá trị chính giữa sau khi sắp xếp là 4) nhầm thành số trung bình; đáp án C sai vì tính nhầm tổng bằng 22,5.
Câu 11. Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó có 15 học sinh được xếp loại học lực giỏi, 20 học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, 10 em vừa xếp loại học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh được xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?
A. 25
B. 35
C. 45
D. 10
Lời giải: Gọi A là tập học sinh giỏi, B là tập học sinh hạnh kiểm tốt. Số học sinh giỏi hoặc tốt là |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 15 + 20 − 10 = 25.
→ Đáp án: A. Giải thích: Đáp án B sai vì cộng 15 + 20 mà quên trừ đi 10 em bị đếm hai lần; đây chính là công thức |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| — vẽ biểu đồ Ven sẽ thấy ngay phần giao bị đếm trùng.
Câu 12. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình {x + y − 2 ≤ 0; x − y + 2 ≥ 0}?
A. (0; 0)
B. (2; 2)
C. (0; 3)
D. (3; 0)
Lời giải: Thay từng điểm vào cả hai bất phương trình: A: 0 + 0 − 2 = −2 ≤ 0 (đúng) và 0 − 0 + 2 = 2 ≥ 0 (đúng) → (0; 0) thỏa mãn cả hai. B: 2 + 2 − 2 = 2 > 0 (sai). C: 0 + 3 − 2 = 1 > 0 (sai). D: 3 + 0 − 2 = 1 > 0 (sai).
→ Đáp án: A. Giải thích: Điểm thuộc miền nghiệm của hệ phải thỏa mãn đồng thời mọi bất phương trình — chỉ cần một bất phương trình sai là loại ngay.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng – sai (2,0 điểm). Thí sinh trả lời câu 13 và câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) GA→ + GB→ + GC→ = 0→.
b) |AB→| = 2.
c) AB→·AC→ = 4.
d) Góc giữa hai vectơ AB→ và AC→ bằng 120°.
Lời giải:
a) Đúng. Đây chính là tính chất đặc trưng của trọng tâm tam giác.
b) Đúng. |AB→| là độ dài cạnh AB, bằng 2 theo giả thiết.
c) Sai. AB→·AC→ = |AB→|·|AC→|·cos60° = 2·2·(1/2) = 2, khác 4.
d) Sai. Tam giác ABC đều nên góc A bằng 60°, tức là góc giữa AB→ và AC→ bằng 60°, không phải 120°.
→ Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. Giải thích: Ý c là "bẫy" quen thuộc: nhiều bạn tính 2·2 = 4 mà quên nhân với cos60° = 1/2. Ý d đánh vào việc nhầm góc trong tam giác với góc bù của nó.
Câu 14 (1,0 điểm). Cho mẫu số liệu: 15; 20; 1; 2; 4; 6; 7; 5. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Số trung bình của mẫu số liệu bằng 7,5.
b) Trung vị của mẫu số liệu bằng 5.
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng 19.
d) Mốt của mẫu số liệu là 5.
Lời giải: Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: 1; 2; 4; 5; 6; 7; 15; 20 (n = 8).
a) Đúng. Tổng = 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 15 + 20 = 60; số trung bình = 60/8 = 7,5.
b) Sai. n = 8 chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa (vị trí 4 và 5): (5 + 6)/2 = 5,5, khác 5.
c) Đúng. R = 20 − 1 = 19.
d) Sai. Mọi giá trị đều xuất hiện đúng 1 lần nên mẫu không có mốt.
→ Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai. Giải thích: Ý b là lỗi kinh điển: với n chẵn, trung vị không phải một giá trị có sẵn trong mẫu mà là trung bình cộng của hai giá trị giữa. Ý d nhắc rằng mốt chỉ tồn tại khi có giá trị lặp lại.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 15 đến câu 18, chỉ ghi kết quả.
Câu 15. Cho sin α = 3/5 và 90° < α < 180°. Tính giá trị của biểu thức P = 2sin α + cos α.
Lời giải: Ta có sin²α + cos²α = 1 nên cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, suy ra cos α = 4/5 hoặc cos α = −4/5. Vì 90° < α < 180° (góc tù) nên cos α < 0, do đó cos α = −4/5. Vậy P = 2·(3/5) + (−4/5) = 6/5 − 4/5 = 2/5 = 0,4.
→ Đáp án: 0,4 (chấp nhận 2/5). Giải thích: Bước quyết định là xác định dấu của cos α theo khoảng của góc — góc tù thì cos âm. Quên xét dấu là mất điểm câu này.
Câu 16. Cho hai điểm M, N thỏa mãn MN→·NM→ = −4. Tính độ dài MN.
Lời giải: Vì NM→ = −MN→ nên MN→·NM→ = MN→·(−MN→) = −|MN→|² = −MN². Theo giả thiết −MN² = −4, suy ra MN² = 4, do đó MN = 2 (độ dài luôn dương).
→ Đáp án: 2. Giải thích: Mấu chốt là nhận ra NM→ ngược hướng với MN→. Nhiều bạn lúng túng vì đề cho tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng — hãy viết NM→ = −MN→ ngay từ đầu.
Câu 17. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và góc A = 60°. Gọi M là trung điểm của BC. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Lời giải: Trước hết tính BC bằng định lí côsin: BC² = 25 + 64 − 2·5·8·cos60° = 89 − 40 = 49, suy ra BC = 7. Áp dụng công thức đường trung tuyến: AM² = (2·AB² + 2·AC² − BC²)/4 = (2·25 + 2·64 − 49)/4 = (50 + 128 − 49)/4 = 129/4. Vậy AM = √129/2.
→ Đáp án: √129/2. Giải thích: Đây là dạng kết hợp hai công thức: côsin để tìm cạnh, rồi công thức trung tuyến. Nhớ công thức trung tuyến ma² = (2b² + 2c² − a²)/4 với a là cạnh đối diện đỉnh xuất phát trung tuyến.
Câu 18. Cho mẫu số liệu: 2; 4; 4; 6; 9. Tính phương sai của mẫu số liệu.
Lời giải: Số trung bình x̄ = (2 + 4 + 4 + 6 + 9)/5 = 5. Phương sai s² = [(2−5)² + (4−5)² + (4−5)² + (6−5)² + (9−5)²]/5 = (9 + 1 + 1 + 1 + 16)/5 = 28/5 = 5,6.
→ Đáp án: 5,6. Giải thích: Có thể dùng công thức tính nhanh s² = (4 + 16 + 16 + 36 + 81)/5 − 25 = 30,6 − 25 = 5,6 để kiểm tra lại — hai cách phải cho cùng kết quả.
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1 (1,0 điểm). Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Mỗi sản phẩm loại A cần 2 giờ máy và cho lợi nhuận 90 nghìn đồng; mỗi sản phẩm loại B cần 4 giờ máy và cho lợi nhuận 160 nghìn đồng. Xưởng có tối đa 24 giờ máy mỗi ngày. Hỏi mỗi ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lợi nhuận cao nhất? Tính lợi nhuận cao nhất đó.
Lời giải: Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại A, B sản xuất mỗi ngày (x ≥ 0, y ≥ 0). Điều kiện về giờ máy: 2x + 4y ≤ 24. Lợi nhuận: P = 90x + 160y (nghìn đồng). Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh (0; 0), (12; 0), (0; 6). Tính P tại các đỉnh: P(0; 0) = 0; P(12; 0) = 1080; P(0; 6) = 960. Vậy P lớn nhất bằng 1080 (nghìn đồng) khi x = 12, y = 0.
→ Đáp án: Sản xuất 12 sản phẩm loại A và 0 sản phẩm loại B; lợi nhuận cao nhất là 1.080.000 đồng. Giải thích: Kết quả cho thấy nên tập trung toàn bộ giờ máy cho sản phẩm A vì mỗi giờ máy làm ra A cho lợi nhuận 45 nghìn đồng, cao hơn B (40 nghìn đồng/giờ). Khi trình bày, nhớ vẽ miền nghiệm và nêu rõ 3 bước của bài toán tối ưu.
Bài 2 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC = 30°, cạnh BC = 2a.
a) Tính tích vô hướng AB→·BC→.
b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài đoạn thẳng AI.
Lời giải:
a) Trong tam giác vuông tại A: AB = BC·cos30° = 2a·(√3/2) = a√3. Góc giữa hai vectơ AB→ và BC→ là góc ngoài tại B, bằng 180° − 30° = 150°. Do đó AB→·BC→ = |AB→|·|BC→|·cos150° = a√3·2a·(−√3/2) = −3a².
b) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên AI = BC/2 = a.
→ Đáp án: a) −3a²; b) AI = a. Giải thích: Ý a là "bẫy" góc: góc giữa hai vectơ AB→ và BC→ không phải 30° mà là 150° vì hai vectơ không cùng xuất phát từ B theo hướng vào trong tam giác. Hãy vẽ hình và xác định đúng góc trước khi áp dụng công thức.
Bài 3 (1,0 điểm). Một người đứng ở vị trí A quan sát đỉnh của một tòa nhà, góc nâng từ A đến đỉnh là 30°. Người đó tiến thêm 20 m về phía tòa nhà đến vị trí B thì góc nâng là 45°. Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến hàng phần mười của mét).
Lời giải: Gọi h (m) là chiều cao tòa nhà, x (m) là khoảng cách từ B đến chân tòa nhà. Từ tam giác vuông tại B: tan45° = h/x, suy ra x = h. Từ tam giác vuông tại A: tan30° = h/(x + 20), suy ra h/(h + 20) = 1/√3. Giải ra: h√3 = h + 20 ⇔ h(√3 − 1) = 20 ⇔ h = 20/(√3 − 1) = 10(√3 + 1) ≈ 27,32. Làm tròn đến hàng phần mười: h ≈ 27,3 m.
→ Đáp án: Khoảng 27,3 m. Giải thích: Đây là dạng toán thực tế điển hình của hệ thức lượng: đặt ẩn cho chiều cao, lập hệ từ hai góc nâng rồi giải. Mẹo trục căn thức ở mẫu: 20/(√3 − 1) = 20(√3 + 1)/[(√3−1)(√3+1)] = 10(√3 + 1).
Đề thi mẫu số 2
Thời gian làm bài: 90 phút. Thang điểm 10: trắc nghiệm 7 điểm + tự luận 3 điểm.
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
A. "Hôm nay trời đẹp quá!"
B. "x + 2 = 5"
C. "Hà Nội là thủ đô của Việt Nam."
D. "Bạn có thích học Toán không?"
Lời giải: Mệnh đề phải là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai xác định. A là câu cảm thán, B là mệnh đề chứa biến (chưa xác định đúng sai), D là câu hỏi — đều không phải mệnh đề. C là câu khẳng định đúng nên là mệnh đề.
→ Đáp án: C. Giải thích: Mẹo nhận biết nhanh: câu nào không khẳng định một sự việc cụ thể (cảm thán, hỏi, ra lệnh, chứa biến) thì loại ngay.
Câu 2. Cho A = {1; 2; 3} và B = {2; 3; 4; 5}. Số tập con của A ∩ B là:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
Lời giải: A ∩ B = {2; 3} có 2 phần tử, số tập con là 2² = 4.
→ Đáp án: C. Giải thích: Đáp án D sai vì nhầm số tập con của A (2³ = 8); phải tìm giao trước rồi mới đếm tập con.
Câu 3. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x + y − 4 ≤ 0?
A. (0; 0)
B. (3; 0)
C. (0; 5)
D. (2; 2)
Lời giải: Thay từng điểm: A: 0 + 0 − 4 = −4 ≤ 0 (đúng). B: 6 + 0 − 4 = 2 > 0 (sai). C: 0 + 5 − 4 = 1 > 0 (sai). D: 4 + 2 − 4 = 2 > 0 (sai).
→ Đáp án: A. Giải thích: Điểm O(0; 0) thường là "điểm thử" nhanh nhất khi xác định miền nghiệm — nếu O thỏa mãn thì miền nghiệm chứa O.
Câu 4. Giá trị của sin(180° − 30°) bằng:
A. 0,5
B. −0,5
C. √3/2
D. −√3/2
Lời giải: sin(180° − 30°) = sin30° = 1/2 = 0,5.
→ Đáp án: A. Giải thích: "Sin bù giữ nguyên" — đừng nhầm với cos (cos bù đổi dấu). Đáp án C sai vì đó là sin60°.
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60°, AB = 4. Độ dài cạnh BC bằng:
A. 8
B. 4√3
C. 2
D. 4√2
Lời giải: Trong tam giác vuông tại A: cosB = AB/BC, suy ra BC = AB/cos60° = 4/(1/2) = 8.
→ Đáp án: A. Giải thích: Cạnh kề góc B là AB, cạnh huyền là BC nên cosB = kề/huyền. Đáp án B (4√3) là độ dài cạnh AC (= AB·tan60°), là "bẫy" dành cho bạn nhầm công thức.
Câu 6. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB→ + AD→ = AC→
B. AB→ + BC→ = CA→
C. AB→ = CD→
D. AC→ + BD→ = 0→
Lời giải: Theo quy tắc hình bình hành, tổng hai vectơ kề AB→ và AD→ bằng vectơ đường chéo AC→.
→ Đáp án: A. Giải thích: Đáp án B sai vì AB→ + BC→ = AC→ (quy tắc 3 điểm), không phải CA→; đáp án C sai vì AB→ = DC→ (cùng hướng), còn AB→ ngược hướng với CD→.
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2) và B(4; 6). Tọa độ của vectơ AB→ là:
A. (3; 4)
B. (−3; −4)
C. (5; 8)
D. (3; −4)
Lời giải: AB→ = (xB − xA; yB − yA) = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4).
→ Đáp án: A. Giải thích: Công thức là "tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu". Đáp án B sai vì lấy ngược (điểm đầu trừ điểm cuối) — đó là tọa độ của BA→.
Câu 8. Cho a→ = (1; 0) và b→ = (1; 1). Góc giữa hai vectơ a→ và b→ bằng:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Lời giải: cos(a→, b→) = (a→·b→)/(|a→|·|b→|) = (1·1 + 0·1)/(1·√2) = 1/√2 = √2/2. Vậy góc giữa hai vectơ bằng 45°.
→ Đáp án: B. Giải thích: Hãy thuộc lòng các giá trị cos đặc biệt: cos45° = √2/2, cos30° = √3/2, cos60° = 1/2 để đọc góc ngay sau khi tính cos.
Câu 9. Cho mẫu số liệu: 1; 2; 4; 5; 6; 7; 15; 20. Trung vị của mẫu số liệu là:
A. 5
B. 5,5
C. 6
D. 4,5
Lời giải: Mẫu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm, n = 8 (chẵn) nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí 4 và 5: (5 + 6)/2 = 5,5.
→ Đáp án: B. Giải thích: Lỗi phổ biến là lấy luôn giá trị ở vị trí thứ 4 (là 5) làm trung vị — với n chẵn phải lấy trung bình cộng của hai giá trị giữa.
Câu 10. Cho mẫu số liệu: 2; 4; 4; 6; 9. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:
A. 4
B. 4,5
C. 5
D. 7
Lời giải: Mẫu đã sắp xếp, n = 5. Trung vị Q2 = 4 (vị trí 3). Q1 là trung vị của nửa dưới (2; 4), bằng (2 + 4)/2 = 3. Q3 là trung vị của nửa trên (6; 9), bằng (6 + 9)/2 = 7,5. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 = 7,5 − 3 = 4,5.
→ Đáp án: B. Giải thích: Đáp án A sai vì lấy khoảng biến thiên (9 − ... ) nhầm thành khoảng tứ phân vị; đáp án D sai vì lấy max − Q1 = 9 − ... — hãy làm đúng 3 bước: tìm trung vị, tách hai nửa, tìm Q1, Q3.
Câu 11. Số gần đúng a = 173,4592 với độ chính xác d = 0,01. Viết a dưới dạng chuẩn là:
A. 173,46
B. 173,5
C. 173,459
D. 173
Lời giải: Độ chính xác d = 0,01 (hàng phần trăm) nên quy tròn a đến hàng phần trăm: 173,4592 ≈ 173,46.
→ Đáp án: A. Giải thích: Quy tắc: độ chính xác đến hàng nào thì giữ lại đến hàng đó. Đáp án B sai vì quy tròn đến hàng phần mười (d = 0,1); đáp án C sai vì giữ đến hàng phần nghìn (d = 0,001).
Câu 12. Cho A = (−2; 3] và B = [1; 5). Hợp của hai tập hợp A ∪ B bằng:
A. (−2; 5)
B. [1; 3]
C. (−2; 1)
D. (3; 5)
Lời giải: Vẽ hai khoảng trên trục số: A từ −2 (không lấy) đến 3 (lấy), B từ 1 (lấy) đến 5 (không lấy). Hai khoảng giao nhau nên hợp là khoảng liền mạch từ −2 đến 5, trong đó −2 không lấy, 5 không lấy: (−2; 5).
→ Đáp án: A. Giải thích: Đáp án B là giao chứ không phải hợp; khi hợp hai khoảng có phần chung, kết quả là khoảng "bao" từ đầu mút trái nhất đến đầu mút phải nhất, chú ý ngoặc tròn/vuông tại mỗi đầu mút.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng – sai (2,0 điểm). Thí sinh trả lời câu 13 và câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Tam giác ABC vuông tại A.
b) sin B = 4/5.
c) Diện tích tam giác ABC bằng 6.
d) cos C = 3/4.
Lời giải:
a) Đúng. Vì 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², theo định lí Pytago đảo, tam giác vuông tại A.
b) Đúng. Trong tam giác vuông tại A, sin B = (cạnh đối)/ (cạnh huyền) = AC/BC = 4/5.
c) Đúng. S = ½·AB·AC = ½·3·4 = 6.
d) Sai. cos C = (cạnh kề)/(cạnh huyền) = AC/BC = 4/5, khác 3/4.
→ Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai. Giải thích: Với bộ ba 3-4-5, việc đầu tiên là nhận ra tam giác vuông (định lí Pytago đảo) — sau đó mọi tỉ số lượng giác đều tính trực tiếp theo định nghĩa "đối, kề, huyền". Ý d là bẫy hoán đổi tử số.
Câu 14 (1,0 điểm). Xét hệ bất phương trình {x + y ≤ 4; x ≥ 0; y ≥ 0}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Điểm (0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ.
b) Điểm (2; 2) thuộc miền nghiệm của hệ.
c) Điểm (3; 2) thuộc miền nghiệm của hệ.
d) Miền nghiệm của hệ là một tam giác.
Lời giải:
a) Đúng. 0 + 0 = 0 ≤ 4, đồng thời 0 ≥ 0 — thỏa mãn cả ba.
b) Đúng. 2 + 2 = 4 ≤ 4 (dấu ≤ cho phép bằng), đồng thời 2 ≥ 0 — thỏa mãn cả ba.
c) Sai. 3 + 2 = 5 > 4, vi phạm bất phương trình đầu.
d) Đúng. Miền nghiệm là tam giác vuông với ba đỉnh (0; 0), (4; 0), (0; 4).
→ Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. Giải thích: Ý b nhắc rằng dấu "≤" bao gồm cả trường hợp bằng nhau — điểm nằm trên đường biên vẫn thuộc miền nghiệm. Ý d: với hệ có x ≥ 0, y ≥ 0 và một bất phương trình tuyến tính, miền nghiệm thường là tam giác trong góc phần tư thứ nhất.
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 15 đến câu 18, chỉ ghi kết quả.
Câu 15. Cho sin α = 3/5 và 0° < α < 90°. Tính giá trị của biểu thức P = 2sin α + cos α.
Lời giải: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25. Vì α nhọn nên cos α > 0, suy ra cos α = 4/5. Vậy P = 2·(3/5) + 4/5 = 6/5 + 4/5 = 10/5 = 2.
→ Đáp án: 2. Giải thích: So với câu tương tự ở đề 1 (góc tù, cos âm), câu này góc nhọn nên cos dương — cùng một công thức nhưng dấu của cos phụ thuộc vào khoảng của góc. Luôn xác định dấu trước khi lấy căn.
Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(0; 2), B(4; 0), C(2; 4). Gọi G(a; b) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính a + b.
Lời giải: Tọa độ trọng tâm: a = (0 + 4 + 2)/3 = 2; b = (2 + 0 + 4)/3 = 2. Vậy a + b = 4.
→ Đáp án: 4. Giải thích: Công thức trọng tâm là "trung bình cộng của ba đỉnh" theo từng tọa độ. Dạng hỏi a + b (hoặc a − b, ab) buộc bạn phải tính cả hai tọa độ — đừng chỉ tính hoành độ rồi đoán.
Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải: Cạnh huyền BC = √(6² + 8²) = √100 = 10. Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền nên R = BC/2 = 5.
→ Đáp án: 5. Giải thích: Mẹo nhớ: "tam giác vuông thì ngoại tiếp bằng nửa cạnh huyền". Đừng vội dùng định lí sin a/sinA = 2R — cách trung điểm cạnh huyền nhanh hơn nhiều.
Câu 18. Cho mẫu số liệu: 1; 2; 4; 5; 6; 7; 15; 20. Tính khoảng tứ phân vị ΔQ của mẫu số liệu.
Lời giải: Mẫu đã sắp xếp, n = 8. Trung vị Q2 = (5 + 6)/2 = 5,5. Q1 là trung vị của nửa dưới (1; 2; 4; 5): (2 + 4)/2 = 3. Q3 là trung vị của nửa trên (6; 7; 15; 20): (7 + 15)/2 = 11. Vậy ΔQ = 11 − 3 = 8.
→ Đáp án: 8. Giải thích: Với n = 8, mỗi nửa có đúng 4 số liệu nên Q1, Q3 là trung bình cộng của hai số giữa của mỗi nửa. Làm đúng trình tự 3 bước thì không thể sai.
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1 (1,0 điểm). Một cửa hàng làm hai loại bánh A và B để bán trong ngày. Mỗi chiếc bánh A cần 100 g bột và cho lãi 8 nghìn đồng; mỗi chiếc bánh B cần 150 g bột và cho lãi 10 nghìn đồng. Cửa hàng có 6 kg bột và mỗi ngày làm tối đa 50 chiếc bánh (do giới hạn nhân lực). Hỏi mỗi ngày cửa hàng nên làm bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại để tiền lãi cao nhất? Tính tiền lãi cao nhất đó.
Lời giải: Gọi x, y lần lượt là số bánh A, B làm mỗi ngày (x ≥ 0, y ≥ 0, x, y nguyên). Đổi 100 g = 0,1 kg, 150 g = 0,15 kg. Điều kiện về bột: 0,1x + 0,15y ≤ 6 ⇔ 2x + 3y ≤ 120. Điều kiện về số lượng: x + y ≤ 50. Tiền lãi: P = 8x + 10y (nghìn đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh (0; 0), (50; 0), (30; 20), (0; 40). Tính P tại các đỉnh: P(0; 0) = 0; P(50; 0) = 400; P(30; 20) = 240 + 200 = 440; P(0; 40) = 400. Vậy P lớn nhất bằng 440 (nghìn đồng) khi x = 30, y = 20.
→ Đáp án: Làm 30 chiếc bánh A và 20 chiếc bánh B; tiền lãi cao nhất là 440.000 đồng. Giải thích: Đây là bài toán tối ưu điển hình: đặt ẩn → dịch điều kiện thành hệ bất phương trình → vẽ miền nghiệm → tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh → so sánh. Nhớ đổi đơn vị gam ra kilôgam trước khi lập bất phương trình.
Bài 2 (1,0 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh a.
a) Tính tích vô hướng AB→·AD→.
b) Tính độ dài của vectơ tổng AB→ + AD→.
Lời giải:
a) Vì ABCD là hình vuông nên AB ⊥ AD, góc giữa AB→ và AD→ bằng 90°, do đó AB→·AD→ = |AB→|·|AD→|·cos90° = 0.
b) Theo quy tắc hình bình hành: AB→ + AD→ = AC→. Độ dài |AB→ + AD→| = |AC→| = √(a² + a²) = a√2 (đường chéo hình vuông).
→ Đáp án: a) 0; b) a√2. Giải thích: Ý a nhắc lại ứng dụng quan trọng nhất của tích vô hướng: chứng minh vuông góc. Ý b cho thấy sức mạnh của quy tắc hình bình hành — biến tổng hai vectơ thành một vectơ đường chéo rồi tính độ dài bằng Pytago.
Bài 3 (1,0 điểm). Điểm kiểm tra môn Toán của 10 bạn học sinh như sau: 6; 7; 8; 6; 9; 7; 8; 10; 7; 6.
a) Tính số trung bình của mẫu số liệu.
b) Tìm trung vị và mốt của mẫu số liệu.
Lời giải:
a) Tổng các điểm: 6 + 7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8 + 10 + 7 + 6 = 74. Số trung bình x̄ = 74/10 = 7,4.
b) Sắp xếp mẫu: 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 10 (n = 10 chẵn). Trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí 5 và 6: (7 + 7)/2 = 7. Các giá trị 6 và 7 đều xuất hiện 3 lần, nhiều nhất trong mẫu, nên mẫu có hai mốt là 6 và 7.
→ Đáp án: a) 7,4; b) Trung vị bằng 7, mốt là 6 và 7. Giải thích: Một mẫu số liệu có thể có nhiều hơn một mốt (khi nhiều giá trị cùng có tần số lớn nhất) hoặc không có mốt — đừng mặc định mốt là duy nhất.
Bảng đáp án tổng hợp 2 đề thi mẫu
Đề thi mẫu số 1 — Phần I (trắc nghiệm nhiều lựa chọn)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | C | B | A | A | D | B | B | B |
| Câu | 11 | 12 |
|---|---|---|
| Đáp án | A | A |
Đề thi mẫu số 1 — Phần II (đúng – sai) và Phần III (trả lời ngắn)
| Câu | a) | b) | c) | d) |
|---|---|---|---|---|
| Câu 13 | Đúng | Đúng | Sai | Sai |
| Câu 14 | Đúng | Sai | Đúng | Sai |
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| Câu 15 | 0,4 (2/5) |
| Câu 16 | 2 |
| Câu 17 | √129/2 |
| Câu 18 | 5,6 |
Đề thi mẫu số 1 — Phần IV (tự luận)
| Bài | Đáp án |
|---|---|
| Bài 1 | 12 sản phẩm A, 0 sản phẩm B; lợi nhuận cao nhất 1.080.000 đồng |
| Bài 2 | a) −3a²; b) AI = a |
| Bài 3 | Chiều cao tòa nhà khoảng 27,3 m |
Đề thi mẫu số 2 — Phần I (trắc nghiệm nhiều lựa chọn)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | C | A | A | A | A | A | B | B | B |
| Câu | 11 | 12 |
|---|---|---|
| Đáp án | A | A |
Đề thi mẫu số 2 — Phần II (đúng – sai) và Phần III (trả lời ngắn)
| Câu | a) | b) | c) | d) |
|---|---|---|---|---|
| Câu 13 | Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
| Câu 14 | Đúng | Đúng | Sai | Đúng |
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| Câu 15 | 2 |
| Câu 16 | 4 |
| Câu 17 | 5 |
| Câu 18 | 8 |
Đề thi mẫu số 2 — Phần IV (tự luận)
| Bài | Đáp án |
|---|---|
| Bài 1 | 30 chiếc bánh A, 20 chiếc bánh B; tiền lãi cao nhất 440.000 đồng |
| Bài 2 | a) 0; b) a√2 |
| Bài 3 | a) 7,4; b) Trung vị bằng 7, mốt là 6 và 7 |
Phương pháp làm bài từng dạng
Dạng 1: Mệnh đề và tập hợp
- Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định yêu cầu: phủ định mệnh đề, tìm giao/hợp/hiệu hay đếm số phần tử.
- Bước 2: Với phủ định: đổi "∀" thành "∃" (và ngược lại), đổi dấu bất đẳng thức (< thành ≥, > thành ≤, = thành ≠).
- Bước 3: Với bài toán đếm: vẽ biểu đồ Ven, điền số liệu vào từng vùng từ trong ra ngoài (điền phần giao trước).
- Bước 4: Áp dụng công thức |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| để kiểm tra lại kết quả đếm.
Dạng 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình và bài toán tối ưu
- Bước 1: Với câu hỏi "điểm nào thuộc miền nghiệm": thay trực tiếp tọa độ vào từng bất phương trình.
- Bước 2: Với bài toán tối ưu: đặt ẩn, dịch mọi điều kiện thực tế thành hệ bất phương trình (chú ý đổi đơn vị).
- Bước 3: Xác định miền nghiệm và liệt kê tọa độ các đỉnh của đa giác miền nghiệm.
- Bước 4: Tính giá trị hàm mục tiêu tại từng đỉnh, so sánh để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Dạng 3: Hệ thức lượng trong tam giác
- Bước 1: Vẽ hình, ghi đầy đủ giả thiết lên hình.
- Bước 2: Chọn đúng định lí: biết 2 cạnh + góc xen giữa (hoặc 3 cạnh) → côsin; biết 1 cạnh + 2 góc (hoặc 2 cạnh + góc đối diện một cạnh) → sin.
- Bước 3: Với bài toán thực tế (chiều cao, khoảng cách): đặt ẩn, dùng tan của góc nâng/góc hạ để lập phương trình.
- Bước 4: Kiểm tra tính hợp lý: cạnh huyền phải dài nhất trong tam giác vuông, góc lớn đối diện cạnh lớn.
Dạng 4: Vectơ
- Bước 1: Với đẳng thức vectơ: nghĩ ngay đến quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trừ và tính chất trung điểm, trọng tâm.
- Bước 2: Với bài toán tọa độ: viết công thức AB→ = (xB − xA; yB − yA) ra nháp rồi mới thay số.
- Bước 3: Với tích vô hướng: muốn chứng minh vuông góc thì đưa về tích vô hướng bằng 0; muốn tính góc thì dùng công thức cos.
- Bước 4: Cẩn thận với "góc giữa hai vectơ": phải đưa hai vectơ về cùng điểm gốc rồi mới xác định góc — đây là bẫy phổ biến nhất của chương vectơ.
Dạng 5: Thống kê
- Bước 1: Luôn sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm trước khi tìm trung vị, tứ phân vị.
- Bước 2: Phân biệt rõ: n lẻ thì trung vị là giá trị chính giữa; n chẵn thì trung vị là trung bình cộng hai giá trị giữa.
- Bước 3: Tìm tứ phân vị theo đúng 3 bước: trung vị → tách hai nửa → trung vị từng nửa.
- Bước 4: Với phương sai: có thể dùng công thức tính nhanh để kiểm tra chéo với công thức định nghĩa.
5 lỗi mất điểm oan thường gặp
Lỗi 1: Nhầm góc giữa hai vectơ với góc trong của tam giác. Góc giữa AB→ và BC→ là góc ngoài tại B (180° trừ góc trong), không phải góc B của tam giác. Cách tránh: luôn vẽ hai vectơ cùng gốc rồi mới xác định góc.
Lỗi 2: Quên xét dấu của giá trị lượng giác theo khoảng góc. Tính ra cos α = ±4/5 rồi chọn bừa dấu. Cách tránh: góc nhọn (0°–90°) thì cos dương; góc tù (90°–180°) thì cos âm; sin luôn không âm trên [0°; 180°].
Lỗi 3: Lấy trung vị sai khi n chẵn. Lấy luôn giá trị ở vị trí n/2 làm trung vị. Cách tránh: n chẵn thì trung vị = trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí n/2 và n/2 + 1.
Lỗi 4: Quên nhân với cos trong định lí côsin. Viết a² = b² + c² − 2bc mà bỏ mất cosA. Cách tránh: viết đầy đủ công thức ra giấy nháp trước khi thay số, đừng tính nhẩm.
Lỗi 5: Bỏ trống các ý trong phần Đúng – Sai. Vì sợ sai nên bỏ trống, mất trắng 0,25 điểm mỗi ý. Cách tránh: mỗi ý chỉ có 2 lựa chọn Đúng/Sai nên xác suất đoán đúng là 50% — hãy suy luận hết sức rồi quyết định, tuyệt đối không bỏ trống.
Lịch ôn tập 2 tuần trước kỳ thi
| Ngày | Nội dung ôn tập | Việc cần làm |
|---|---|---|
| Ngày 1–2 | Chương 1: Mệnh đề và tập hợp | Học thuộc quy tắc phủ định; luyện 20 câu tập hợp, vẽ biểu đồ Ven cho 5 bài toán đếm |
| Ngày 3–4 | Chương 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình | Luyện 4 bước xác định miền nghiệm; làm 3 bài toán tối ưu thực tế |
| Ngày 5–6 | Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác | Thuộc lòng công thức góc bù, định lí côsin/sin; làm 15 bài giải tam giác + 3 bài thực tế |
| Ngày 7–8 | Chương 4: Vectơ (phần 1) | Nắm vững 3 quy tắc cộng/trừ, tính chất trung điểm/trọng tâm; làm 15 câu đẳng thức vectơ |
| Ngày 9 | Chương 4: Vectơ (phần 2) | Luyện tọa độ vectơ và tích vô hướng; 10 câu tính góc, chứng minh vuông góc |
| Ngày 10–11 | Chương 5: Thống kê | Học thuộc công thức 8 số đặc trưng; tính tay trọn bộ cho 3 mẫu số liệu |
| Ngày 12 | Làm đề thi mẫu số 1 | Bấm giờ đúng 90 phút, chấm điểm theo bảng đáp án, ghi lại các lỗi sai vào sổ |
| Ngày 13 | Làm đề thi mẫu số 2 + chữa lỗi | Bấm giờ 90 phút; ôn lại toàn bộ lỗi đã ghi trong sổ, làm lại các câu từng sai |
| Ngày 14 | Tổng ôn nhẹ nhàng | Đọc lại toàn bộ công thức, xem lại 5 lỗi mất điểm oan, nghỉ ngơi sớm để mai thi tỉnh táo |
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Hỏi: Đề thi học kì 1 Toán 10 gồm những chương nào?
Đáp: Đề thi bao quát 5 chương của sách Toán 10 Kết nối tri thức Tập 1: Mệnh đề và tập hợp; Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; Hệ thức lượng trong tam giác; Vectơ; Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các chương về hàm số, phương pháp tọa độ, tổ hợp, xác suất thuộc học kì 2.
Hỏi: Phần nào trong đề thi "ăn điểm" nhất?
Đáp: Phần I trắc nghiệm nhiều lựa chọn (12 câu, 3 điểm) và phần Đúng – Sai (2 câu, 2 điểm) chiếm một nửa số điểm. Nắm chắc kiến thức nhận biết – thông hiểu của 5 chương là bạn đã có nền tảng cho 5 điểm đầu tiên.
Hỏi: Phần Đúng – Sai làm thế nào để không bị mất điểm oan?
Đáp: Xử lý từng ý độc lập như một câu đúng/sai riêng, đừng để một ý sai kéo theo tâm lý ở các ý còn lại. Mỗi ý đúng được 0,25 điểm nên tuyệt đối không bỏ trống ý nào.
Hỏi: Phần trả lời ngắn có cần trình bày lời giải không?
Đáp: Không. Bạn chỉ cần ghi kết quả cuối cùng vào bài làm. Tuy nhiên khi ôn tập ở nhà, hãy trình bày đầy đủ ra nháp để rèn tư duy và dễ kiểm tra lại khi sai.
Hỏi: Bài toán tối ưu (lợi nhuận, chi phí) hay sai ở đâu nhất?
Đáp: Hai chỗ: (1) quên đổi đơn vị (gam ra kilôgam, nghìn đồng ra đồng); (2) liệt kê thiếu đỉnh của miền nghiệm. Hãy vẽ miền nghiệm cẩn thận và kiểm tra lại tọa độ từng đỉnh trước khi tính giá trị hàm mục tiêu.
Hỏi: Nên phân bổ 90 phút làm bài như thế nào?
Đáp: Gợi ý: 25 phút cho 12 câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn, 15 phút cho 2 câu Đúng – Sai, 15 phút cho 4 câu trả lời ngắn, 30 phút cho 3 bài tự luận, 5 phút cuối kiểm tra lại toàn bài. Đừng "sa lầy" quá lâu ở một câu khó — đánh dấu lại và quay lại sau.
Kết luận
Kỳ kiểm tra cuối học kì 1 Toán 10 theo chương trình mới không đánh đố bạn bằng kiến thức ngoài sách giáo khoa — nó kiểm tra mức độ chắc chắn của bạn với 5 chương đã học: từ mệnh đề, tập hợp, bất phương trình đến hệ thức lượng, vectơ và thống kê. Bí quyết đạt điểm cao gói gọn trong ba việc: học thuộc chính xác công thức và quy tắc, luyện đủ các dạng bài theo đúng cấu trúc mới (đặc biệt là dạng Đúng – Sai và trả lời ngắn còn khá mới mẻ), và tránh 5 lỗi mất điểm oan đã liệt kê ở trên.
Hãy in hai đề thi mẫu trong bài ra, bấm giờ làm nghiêm túc như thi thật trong 90 phút, rồi đối chiếu đáp án và lời giải chi tiết để rút kinh nghiệm. Chúc bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới! Đừng quên theo dõi thêm các tài liệu ôn tập môn Toán tại chuyên mục Tin tức – ClassOn để cập nhật đề thi mới nhất.