Kỳ thi học kì 1 lớp 12 đang đến gần, và môn Toán luôn là "ải" khó nhất: vừa phải thành thạo đạo hàm để khảo sát đủ loại đồ thị, vừa phải tư duy hình học trong không gian ba chiều, lại thêm phần thống kê với những công thức phương sai, độ lệch chuẩn hoàn toàn mới. Nhưng đừng lo — đề thi học kì 1 Toán 12 có cấu trúc rất rõ ràng và phạm vi chỉ gói gọn trong 3 chương đầu, nên chỉ cần ôn đúng trọng tâm và luyện đủ dạng bài, bạn hoàn toàn có thể chinh phục điểm cao một cách tự tin.
Bài viết này tổng hợp đầy đủ những gì bạn cần cho kỳ thi học kì 1 Toán 12 theo sách Kết nối tri thức với cuộc sống: cấu trúc đề kiểm tra cuối kì theo Quyết định 764/QĐ-BGDĐT, phạm vi kiến thức 3 chương của học kì 1, tóm tắt kiến thức trọng tâm kèm đầy đủ công thức, 2 đề thi mẫu hoàn chỉnh (12 trắc nghiệm + 4 đúng–sai + 6 trả lời ngắn, 90 phút) có đáp án và lời giải chi tiết từng câu như giáo viên đang chữa bài, phương pháp làm từng dạng bài, 5 lỗi mất điểm oan thường gặp, lịch ôn tập 2 tuần cụ thể và phần hỏi đáp giải tỏa mọi thắc mắc.
Cấu trúc đề kiểm tra cuối kì 1 Toán 12
Trước khi ôn, bạn cần nắm rõ "luật chơi": đề thi ra sao, bao nhiêu câu, mỗi phần bao nhiêu điểm. Theo Quyết định 764/QĐ-BGDĐT và các đề kiểm tra cuối kì 1 Toán 12 đã được các trường THPT áp dụng, cấu trúc đề chuẩn như sau:
| Phần | Hình thức | Số câu | Điểm |
|---|---|---|---|
| I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn | Chọn 1 trong 4 đáp án A, B, C, D | 12 câu × 0,25đ | 3,0 điểm |
| II. Trắc nghiệm đúng – sai | Mỗi câu có 4 ý a, b, c, d; mỗi ý đúng được 0,25đ | 4 câu | 4,0 điểm |
| III. Trắc nghiệm trả lời ngắn | Điền đáp số (không cần trình bày lời giải) | 6 câu × 0,5đ | 3,0 điểm |
| Tổng | 22 câu / 28 lệnh hỏi | 10,0 điểm |
Thời gian làm bài là 90 phút (không kể thời gian phát đề). Một số trường có biến thể nhỏ (ví dụ thêm phần tự luận hoặc thay đổi số câu mỗi phần), nhưng cấu trúc 12 + 4 + 6 trên đây là phổ biến nhất. Về mức độ nhận thức, đề thi thường phân bổ theo tỉ lệ:
- Nhận biết: 40% (nhớ định nghĩa, công thức, nhận dạng trực tiếp).
- Thông hiểu: 30% (hiểu bản chất, vận dụng công thức vào bài tập đơn giản).
- Vận dụng: 20% (kết hợp nhiều kiến thức, bài toán có tình huống thực tế).
- Vận dụng cao: 10% (bài toán khó, đòi hỏi tư duy sáng tạo).
Phạm vi kiến thức học kì 1: học đến đâu, thi đến đó
Theo sách Toán 12 tập 1 bộ Kết nối tri thức với cuộc sống (bộ sách thống nhất toàn quốc từ năm học 2026–2027), học kì 1 gồm 3 chương. Từ Chương 4 (Nguyên hàm – Tích phân) trở đi thuộc học kì 2, không thi cuối kì 1:
| Chương | Bài học | Nội dung chính |
|---|---|---|
| Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số | Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn |
Tính đơn điệu, cực trị, GTLN–GTNN, tiệm cận đứng/ngang/xiên, khảo sát đồ thị hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm phân thức; bài toán tối ưu thực tế |
| Chương 2: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian | Bài 6. Vectơ trong không gian Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ |
Khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, hệ trục Oxyz, tọa độ điểm và vectơ, tích vô hướng, ứng dụng tính độ dài, góc, chứng minh vuông góc |
| Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm | Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn |
Khoảng biến thiên R, khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1, phương sai s², độ lệch chuẩn s của mẫu số liệu ghép nhóm |
Tóm tắt kiến thức trọng tâm từng chương
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
- Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K: nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f(x) đồng biến trên K; nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f(x) nghịch biến trên K.
- Điểm x0 là điểm cực đại nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0; là điểm cực tiểu nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương.
- Quy tắc tìm cực trị: tính f'(x), giải f'(x) = 0, lập bảng biến thiên, kết luận.
- Lưu ý: điểm mà tại đó f'(x) = 0 chưa chắc là cực trị (ví dụ y = x³ tại x = 0) — phải xét dấu đạo hàm.
2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Tìm GTLN–GTNN trên đoạn [a; b]: tính f'(x), tìm các điểm tới hạn xi ∈ (a; b), tính f(a), f(b), f(xi), rồi so sánh.
- Tìm GTLN–GTNN trên khoảng: lập bảng biến thiên trên khoảng đó rồi kết luận.
- Mẹo: với hàm liên tục trên đoạn [a; b], GTLN và GTNN luôn tồn tại và đạt được tại điểm tới hạn hoặc đầu mút.
3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
- Tiệm cận đứng: đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía tại x0 bằng ±∞. Với hàm phân thức, tiệm cận đứng thường là nghiệm của mẫu số (không đồng thời là nghiệm của tử số).
- Tiệm cận ngang: đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang nếu limx→+∞ f(x) = y0 hoặc limx→−∞ f(x) = y0.
- Tiệm cận xiên: đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên nếu limx→±∞ [f(x) − (ax + b)] = 0. Thường gặp ở hàm phân thức mà bậc tử hơn bậc mẫu đúng 1 đơn vị — tìm bằng phép chia đa thức.
- Công thức nhanh với hàm y = (ax + b)/(cx + d): tiệm cận đứng x = −d/c, tiệm cận ngang y = a/c.
4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Các bước khảo sát: (1) Tìm tập xác định; (2) Xét sự biến thiên: tính đạo hàm, tìm cực trị, tìm giới hạn tại vô cực và tiệm cận, lập bảng biến thiên; (3) Vẽ đồ thị: xác định một số điểm đặc biệt (giao với các trục), vẽ các đường tiệm cận (nếu có), vẽ đồ thị.
- Ba dạng đồ thị phải thuộc lòng: hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d; hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c; hàm phân thức y = (ax + b)/(cx + d).
- Số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = m cho biết số nghiệm của phương trình f(x) = m — dạng bài rất hay ra ở phần trắc nghiệm.
5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết bài toán thực tiễn
- Các bước giải bài toán tối ưu: (1) Đặt ẩn và điều kiện; (2) Lập hàm số biểu diễn đại lượng cần tìm GTLN–GTNN theo ẩn; (3) Tìm GTLN–GTNN của hàm số đó; (4) Trả lời.
- Dạng hay gặp: bài toán hình học (diện tích, thể tích lớn nhất), bài toán kinh tế (lợi nhuận, chi phí), bài toán chuyển động.
Chương 2: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
1. Vectơ trong không gian
- Vectơ là đoạn thẳng có hướng; hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
- Phép cộng vectơ: quy tắc ba điểm AB + BC = AC; quy tắc hình bình hành; quy tắc hình hộp: với hình hộp ABCD.A'B'C'D' thì AC' = AB + AD + AA'.
- Phép trừ: a − b = a + (−b).
- Nhân vectơ với một số: k·a cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng nếu k < 0, độ dài |k·a| = |k|·|a|.
- Ba vectơ đồng phẳng khi có thể biểu diễn một vectơ qua hai vectơ còn lại (định lí về sự đồng phẳng).
2. Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz
- Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc, chung gốc O.
- Điểm M(x; y; z): x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ.
- Vectơ a = (a1; a2; a3) thì a = a1i + a2j + a3k.
- Với A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB): vectơ AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).
- Trung điểm I của đoạn AB: I((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2).
3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- Cho a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3):
- a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3); a − b = (a1 − b1; a2 − b2; a3 − b3); k·a = (ka1; ka2; ka3).
- Độ dài vectơ: |a| = √(a1² + a2² + a3²). Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = |AB| = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²).
- Tích vô hướng: a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = |a|·|b|·cos(a, b).
- Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0: a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.
- Mẹo làm bài nhanh: bài toán tìm m để hai vectơ vuông góc luôn quy về giải phương trình tích vô hướng bằng 0.
Chương 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm
1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
- Khoảng biến thiên R = (đầu mút phải của nhóm cuối cùng) − (đầu mút trái của nhóm đầu tiên). R càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
- Giá trị đại diện của nhóm [ai; ai+1) là xi = (ai + ai+1)/2 — dùng để tính số trung bình, phương sai.
- Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1, trong đó Q1, Q3 tính bằng công thức nội suy: Q1 = um + [(n/4 − C)/nm]·h; Q3 = um + [(3n/4 − C)/nm]·h (um là đầu mút trái nhóm chứa tứ phân vị, C là tần số tích lũy trước nhóm đó, nm là tần số của nhóm, h là độ dài nhóm).
- Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu nên ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường hơn khoảng biến thiên.
2. Phương sai và độ lệch chuẩn
- Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: x̄ = (n1x1 + n2x2 + ... + nkxk)/n, với n = n1 + ... + nk là cỡ mẫu.
- Phương sai: s² = [n1(x1 − x̄)² + n2(x2 − x̄)² + ... + nk(xk − x̄)²]/n (mẫu số là n, không phải n − 1).
- Độ lệch chuẩn: s = √s², cùng đơn vị với số liệu gốc nên dễ diễn giải thực tế hơn phương sai.
- Ý nghĩa: phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các số liệu càng phân tán (càng "lệch" khỏi giá trị trung bình); càng nhỏ thì số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình.
- Công thức tính nhanh (ít sai số làm tròn): s² = (n1x1² + ... + nkxk²)/n − x̄².
Đề thi mẫu số 1
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1
Môn: Toán 12 — Kết nối tri thức
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.
Câu 1. Cho hàm số y = x³ − 3x² + 2. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 2)
B. (−∞; 0) và (2; +∞)
C. (0; +∞)
D. (−∞; 2)
→ Đáp án: B.
Giải thích: Ta có y' = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Giải y' = 0 được x = 0 hoặc x = 2. Lập bảng xét dấu: y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, y' < 0 khi 0 < x < 2. Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2). Đáp án A là khoảng nghịch biến nên sai; C và D đều chứa khoảng nghịch biến (0; 2) nên sai.
Câu 2. Hàm số y = −x⁴ + 2x² + 3 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
→ Đáp án: C.
Giải thích: Ta có y' = −4x³ + 4x = −4x(x² − 1) = −4x(x − 1)(x + 1). Phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt x = −1, x = 0, x = 1 và đạo hàm đổi dấu qua cả ba nghiệm (hệ số của x³ âm nên dấu y' là −, +, −, +). Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án B sai vì nhầm với số điểm cực tiểu; đáp án A sai vì chỉ đếm một nghiệm.
Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x³ − 3x trên đoạn [−2; 2] bằng
A. 2
B. −2
C. 0
D. 8
→ Đáp án: A.
Giải thích: Ta có y' = 3x² − 3 = 0 ⇔ x = ±1, cả hai đều thuộc [−2; 2]. Tính giá trị: y(−2) = −8 + 6 = −2; y(−1) = −1 + 3 = 2; y(1) = 1 − 3 = −2; y(2) = 8 − 6 = 2. So sánh bốn giá trị, giá trị lớn nhất là 2. Đáp án B là giá trị nhỏ nhất nên sai; đáp án D sai vì tính nhầm y(2).
Câu 4. Đồ thị hàm số y = (2x + 1)/(x − 1) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
A. x = 1 và y = 2
B. x = −1 và y = 2
C. x = 1 và y = 1
D. x = 2 và y = 1
→ Đáp án: A.
Giải thích: Áp dụng công thức nhanh với hàm y = (ax + b)/(cx + d): tiệm cận đứng x = −d/c = 1, tiệm cận ngang y = a/c = 2. Kiểm tra lại bằng giới hạn: limx→1⁺ y = +∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng; limx→±∞ y = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang. Đáp án C sai tiệm cận ngang; B và D sai tiệm cận đứng.
Câu 5. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (x² − 2x + 3)/(x − 1) là đường thẳng
A. y = x + 1
B. y = x − 1
C. y = 2x − 1
D. y = x
→ Đáp án: B.
Giải thích: Thực hiện phép chia đa thức: x² − 2x + 3 = (x − 1)(x − 1) + 2, nên y = x − 1 + 2/(x − 1). Vì limx→±∞ 2/(x − 1) = 0 nên đường thẳng y = x − 1 là tiệm cận xiên. Đáp án A sai vì nhầm dấu khi chia; C sai vì nhầm hệ số; D sai vì bỏ sót hằng số −1.
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho vectơ a = (1; −2; 3) và vectơ b = (2; 0; −1). Tọa độ của vectơ a + 2b là
A. (5; −2; 1)
B. (3; −2; 2)
C. (5; 2; 1)
D. (4; −2; 2)
→ Đáp án: A.
Giải thích: Ta có 2b = (4; 0; −2), suy ra a + 2b = (1 + 4; −2 + 0; 3 − 2) = (5; −2; 1). Đáp án B là kết quả của a + b (quên nhân 2); C sai dấu ở tung độ; D sai ở hoành độ.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, độ dài của vectơ u = (2; −1; 2) bằng
A. 3
B. 5
C. √5
D. 9
→ Đáp án: A.
Giải thích: Áp dụng công thức |u| = √(2² + (−1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3. Đáp án B sai vì tính nhầm tổng bình phương; C sai vì bỏ sót một thành phần; D sai vì quên lấy căn bậc hai.
Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3) và B(−1; 0; 5). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
A. (0; 1; 4)
B. (1; 1; 4)
C. (0; 2; 8)
D. (2; 2; −2)
→ Đáp án: A.
Giải thích: Áp dụng công thức trung điểm: I = ((1 + (−1))/2; (2 + 0)/2; (3 + 5)/2) = (0; 1; 4). Đáp án B sai ở hoành độ (lấy hiệu thay vì tổng); C sai vì quên chia 2 ở tung độ và cao độ; D là tọa độ vectơ AB chứ không phải trung điểm.
Câu 9. Tích vô hướng của hai vectơ a = (1; 2; −1) và b = (3; −1; 2) bằng
A. −1
B. 1
C. 0
D. 7
→ Đáp án: A.
Giải thích: Áp dụng công thức a·b = 1·3 + 2·(−1) + (−1)·2 = 3 − 2 − 2 = −1. Đáp án B sai dấu; C là điều kiện vuông góc, ở đây tích vô hướng khác 0 nên hai vectơ không vuông góc; D sai vì cộng thay vì nhân các thành phần tương ứng.
Câu 10. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao (cm) của 40 học sinh như sau:
| Nhóm | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) | [170; 175) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 4 | 10 | 14 | 8 | 4 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng
A. 25
B. 20
C. 15
D. 10
→ Đáp án: A.
Giải thích: Khoảng biến thiên R = (đầu mút phải của nhóm cuối) − (đầu mút trái của nhóm đầu) = 175 − 150 = 25. Đáp án B sai vì lấy 170 − 150 (nhầm đầu mút phải); C và D sai vì lấy hiệu của các giá trị đại diện thay vì đầu mút nhóm.
Câu 11. Với mẫu số liệu ở Câu 10, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng
A. 8
B. 8,25
C. 10
D. 7,5
→ Đáp án: B.
Giải thích: Cỡ mẫu n = 40. Vị trí Q1 là n/4 = 10; tần số tích lũy: 4, 14, 28, 36, 40 nên Q1 thuộc nhóm [155; 160): Q1 = 155 + [(10 − 4)/10]·5 = 155 + 3 = 158. Vị trí Q3 là 3n/4 = 30, thuộc nhóm [165; 170): Q3 = 165 + [(30 − 28)/8]·5 = 165 + 1,25 = 166,25. Vậy ΔQ = 166,25 − 158 = 8,25. Đáp án A sai vì làm tròn thô; C và D sai vì xác định nhầm nhóm chứa tứ phân vị.
Câu 12. Với mẫu số liệu ở Câu 10, phương sai của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần mười) bằng
A. 30,5
B. 31,2
C. 32,0
D. 29,8
→ Đáp án: B.
Giải thích: Giá trị đại diện các nhóm: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5. Số trung bình x̄ = (4·152,5 + 10·157,5 + 14·162,5 + 8·167,5 + 4·172,5)/40 = 6490/40 = 162,25. Phương sai s² = [4·(152,5 − 162,25)² + 10·(157,5 − 162,25)² + 14·(162,5 − 162,25)² + 8·(167,5 − 162,25)² + 4·(172,5 − 162,25)²]/40 = 1247,5/40 = 31,1875 ≈ 31,2. Lưu ý mẫu số là n = 40 (theo SGK), không phải n − 1. Đáp án A sai vì dùng n − 1 ở mẫu số; C và D sai vì tính nhầm giá trị đại diện.
Phần II. Trắc nghiệm đúng – sai (4,0 điểm)
Trong mỗi ý a, b, c, d, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Mỗi ý đúng được 0,25 điểm.
Câu 1. Xét hàm số y = x⁴ − 2x² + 1.
a) y' = 4x³ − 4x.
b) Hàm số có 3 điểm cực trị.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).
d) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng 1 điểm.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: Ý a đúng vì đạo hàm của x⁴ là 4x³, của −2x² là −4x, của hằng số 1 là 0. Ý b đúng vì y' = 4x(x² − 1) = 0 có ba nghiệm phân biệt x = −1, x = 0, x = 1 và y' đổi dấu qua cả ba nghiệm. Ý c đúng vì trên (0; 1) ta có x > 0, x − 1 < 0, x + 1 > 0 nên y' = 4x(x − 1)(x + 1) < 0. Ý d sai vì y = (x² − 1)² = 0 cho hai nghiệm x = ±1, đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm (tiếp xúc tại mỗi điểm).
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; 2), B(3; 2; 0), C(1; 4; 2).
a) Vectơ AB = (2; 2; −2).
b) Độ dài đoạn AB bằng 2√3.
c) Trung điểm của đoạn AB là M(2; 1; 1).
d) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: Ý a đúng vì AB = (3 − 1; 2 − 0; 0 − 2) = (2; 2; −2). Ý b đúng vì AB = √(2² + 2² + (−2)²) = √12 = 2√3. Ý c đúng vì M = ((1 + 3)/2; (0 + 2)/2; (2 + 0)/2) = (2; 1; 1). Ý d sai vì AC = (0; 4; 0) không cùng phương với AB = (2; 2; −2) (tỉ số các thành phần 0/2 ≠ 4/2), nên ba điểm không thẳng hàng.
Câu 3. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) giải một bài toán của 30 học sinh:
| Nhóm | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | 6 | 10 | 8 | 6 |
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng 20.
b) Cỡ mẫu n = 30.
c) Nhóm chứa trung vị là [10; 15).
d) Giá trị đại diện của nhóm [15; 20) là 17.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: Ý a đúng vì R = 25 − 5 = 20. Ý b đúng vì n = 6 + 10 + 8 + 6 = 30. Ý c đúng vì vị trí trung vị là n/2 = 15; tần số tích lũy 6, 16, 24, 30 nên nhóm [10; 15) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥ 15. Ý d sai vì giá trị đại diện của nhóm [15; 20) là (15 + 20)/2 = 17,5 chứ không phải 17 — đây là lỗi "làm tròn ẩu" rất hay mất điểm.
Câu 4. Xét hàm số y = (2x − 1)/(x + 2).
a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {−2}.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.
c) y' = 5/(x + 2)².
d) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – Đ.
Giải thích: Ý a đúng vì mẫu số bằng 0 khi x = −2. Ý b đúng vì limx→±∞ (2x − 1)/(x + 2) = 2. Ý c đúng vì y' = [2(x + 2) − (2x − 1)·1]/(x + 2)² = 5/(x + 2)². Ý d đúng vì y' = 5/(x + 2)² > 0 với mọi x ≠ −2 nên hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (−2; +∞) — lưu ý không được nói "đồng biến trên D" vì D không phải là một khoảng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)
Thí sinh ghi đáp số vào ô trả lời. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.
Câu 1. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = x³ − 3x + 1.
→ Đáp án: −1.
Giải thích: Ta có y' = 3x² − 3 = 0 ⇔ x = ±1. Lập bảng xét dấu: y' đổi dấu từ dương sang âm tại x = −1 (cực đại), từ âm sang dương tại x = 1 (cực tiểu). Giá trị cực tiểu y(1) = 1 − 3 + 1 = −1.
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² − 4x + 5 trên đoạn [0; 3].
→ Đáp án: 1.
Giải thích: Ta có y' = 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ∈ [0; 3]. Tính y(0) = 5, y(2) = 4 − 8 + 5 = 1, y(3) = 9 − 12 + 5 = 2. So sánh ba giá trị, giá trị nhỏ nhất là 1 (đạt tại x = 2).
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho a = (2; −1; 3), b = (−1; 4; 0). Tính tích vô hướng a·b.
→ Đáp án: −6.
Giải thích: a·b = 2·(−1) + (−1)·4 + 3·0 = −2 − 4 + 0 = −6.
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; −3; 1) và N(0; 1; 5). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
→ Đáp án: 6.
Giải thích: Vectơ MN = (0 − 2; 1 − (−3); 5 − 1) = (−2; 4; 4). Độ dài MN = √((−2)² + 4² + 4²) = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6.
Câu 5. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: [0; 10): 5, [10; 20): 8, [20; 30): 12, [30; 40): 5. Tính số trung bình của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm).
→ Đáp án: 20,67.
Giải thích: Giá trị đại diện các nhóm: 5, 15, 25, 35. Cỡ mẫu n = 5 + 8 + 12 + 5 = 30. Số trung bình x̄ = (5·5 + 8·15 + 12·25 + 5·35)/30 = (25 + 120 + 300 + 175)/30 = 620/30 ≈ 20,67.
Câu 6. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (3x² − 1)/(x² − 4).
→ Đáp án: 3.
Giải thích: Mẫu số bằng 0 tại x = ±2, tử số tại đó khác 0 nên có 2 tiệm cận đứng x = 2 và x = −2. Vì bậc tử bằng bậc mẫu nên có 1 tiệm cận ngang y = 3/1 = 3. Tổng cộng 3 đường tiệm cận.
Bảng đáp án đề thi mẫu số 1
Phần I. Câu 1 – 10
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | A | B | A | A | A | A | A |
Phần I. Câu 11 – 12
| Câu | 11 | 12 |
|---|---|---|
| Đáp án | B | B |
Phần II. Câu 1
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | Đ | S |
Phần II. Câu 2
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | Đ | S |
Phần II. Câu 3
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | Đ | S |
Phần II. Câu 4
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | Đ | Đ |
Phần III. Trả lời ngắn
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| 1 | −1 |
| 2 | 1 |
| 3 | −6 |
| 4 | 6 |
| 5 | 20,67 |
| 6 | 3 |
Đề thi mẫu số 2
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1
Môn: Toán 12 — Kết nối tri thức
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.
Câu 1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ?
A. y = −x³ + 3x − 1
B. y = x³ + 2x + 1
C. y = x⁴ − x²
D. y = (x + 1)/(x − 1)
→ Đáp án: B.
Giải thích: Với đáp án B, y' = 3x² + 2 > 0 với mọi x ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ. Đáp án A có y' = −3x² + 3 đổi dấu nên không đơn điệu trên ℝ; đáp án C là hàm trùng phương, không đơn điệu trên ℝ; đáp án D không xác định tại x = 1 nên không thể đồng biến trên toàn bộ ℝ.
Câu 2. Số điểm cực trị của hàm số y = x³ − 6x² + 9x bằng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
→ Đáp án: C.
Giải thích: Ta có y' = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3). Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 1 và x = 3, đạo hàm đổi dấu qua cả hai nghiệm nên hàm số có 2 điểm cực trị (cực đại tại x = 1, cực tiểu tại x = 3). Đáp án D sai vì nhầm với hàm bậc bốn; A và B sai vì bỏ sót nghiệm.
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁴ − 4x² + 3 trên đoạn [−1; 2] bằng
A. −1
B. 0
C. 3
D. −3
→ Đáp án: A.
Giải thích: Ta có y' = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±√2; trong đoạn [−1; 2] lấy x = 0 và x = √2. Tính y(−1) = 1 − 4 + 3 = 0; y(0) = 3; y(√2) = 4 − 8 + 3 = −1; y(2) = 16 − 16 + 3 = 3. So sánh bốn giá trị, giá trị nhỏ nhất là −1. Đáp án B là giá trị tại đầu mút x = −1, không phải nhỏ nhất; D sai vì tính nhầm.
Câu 4. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x − 3)/(2x + 4) là đường thẳng
A. x = −2
B. x = 2
C. x = 3
D. x = −3
→ Đáp án: A.
Giải thích: Mẫu số 2x + 4 = 0 ⇔ x = −2, tử số tại x = −2 bằng −5 ≠ 0, và limx→−2⁺ y = −∞ nên x = −2 là tiệm cận đứng. Đáp án B sai dấu; C là nghiệm của tử số (giao điểm với trục hoành), không phải tiệm cận; D sai hoàn toàn.
Câu 5. Đồ thị hàm số y = x³ − 3x² cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
→ Đáp án: B.
Giải thích: Phương trình hoành độ giao điểm: x³ − 3x² = x²(x − 3) = 0 ⇔ x = 0 (nghiệm kép) hoặc x = 3. Nghiệm kép x = 0 cho một giao điểm (đồ thị tiếp xúc trục hoành), x = 3 cho giao điểm thứ hai. Tổng cộng 2 điểm. Đáp án C sai vì đếm nghiệm kép thành hai điểm phân biệt.
Câu 6. Trong không gian Oxyz, độ dài của vectơ a = (3; 0; −4) bằng
A. 5
B. 7
C. √7
D. 25
→ Đáp án: A.
Giải thích: |a| = √(3² + 0² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Đáp án B sai vì cộng thay vì cộng bình phương; C sai vì bỏ sót thành phần; D sai vì quên lấy căn.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ u = (1; 1; 1) và v = (2; −1; 0) bằng
A. 1
B. 0
C. 3
D. −1
→ Đáp án: A.
Giải thích: u·v = 1·2 + 1·(−1) + 1·0 = 2 − 1 + 0 = 1. Đáp án B sai — tích vô hướng bằng 1 ≠ 0 nên hai vectơ không vuông góc; C sai vì cộng các thành phần của một vectơ; D sai dấu.
Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; −1) và vectơ AB = (1; −2; 3). Tọa độ điểm B là
A. (3; −1; 2)
B. (1; 3; −4)
C. (3; 1; 2)
D. (2; −1; 3)
→ Đáp án: A.
Giải thích: Ta có OB = OA + AB = (2 + 1; 1 − 2; −1 + 3) = (3; −1; 2), vậy B(3; −1; 2). Đáp án B là kết quả của OA − AB (nhầm phép trừ); C sai dấu ở tung độ; D nhầm tọa độ điểm B với tọa độ vectơ AB.
Câu 9. Hai vectơ a = (1; m; 2) và b = (2; −1; 1) vuông góc với nhau khi m bằng
A. 4
B. −4
C. 2
D. 0
→ Đáp án: A.
Giải thích: Điều kiện vuông góc: a·b = 0 ⇔ 1·2 + m·(−1) + 2·1 = 0 ⇔ 4 − m = 0 ⇔ m = 4. Đáp án B sai dấu khi chuyển vế; C và D là kết quả tính nhầm tích vô hướng.
Câu 10. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm kiểm tra của 36 học sinh:
| Nhóm | [0; 4) | [4; 8) | [8; 12) | [12; 16) |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | 3 | 9 | 15 | 9 |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bằng
A. 4
B. 5,33
C. 6
D. 8
→ Đáp án: B.
Giải thích: Cỡ mẫu n = 36. Vị trí Q1 là n/4 = 9; tần số tích lũy 3, 12, 27, 36 nên Q1 thuộc nhóm [4; 8): Q1 = 4 + [(9 − 3)/9]·4 = 4 + 8/3 ≈ 6,67. Vị trí Q3 là 3n/4 = 27, thuộc nhóm [8; 12): Q3 = 8 + [(27 − 12)/15]·4 = 8 + 4 = 12. Vậy ΔQ = 12 − 6,67 = 5,33. Đáp án A sai vì lấy hiệu hai đầu mút nhóm; C và D sai vì xác định nhầm nhóm chứa tứ phân vị.
Câu 11. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: [1; 3): 2, [3; 5): 5, [5; 7): 3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng
A. 1,40
B. 1,96
C. 1,50
D. 2,00
→ Đáp án: A.
Giải thích: Giá trị đại diện: 2, 4, 6; cỡ mẫu n = 10. Số trung bình x̄ = (2·2 + 5·4 + 3·6)/10 = 42/10 = 4,2. Phương sai s² = [2·(2 − 4,2)² + 5·(4 − 4,2)² + 3·(6 − 4,2)²]/10 = (9,68 + 0,2 + 9,72)/10 = 1,96. Độ lệch chuẩn s = √1,96 = 1,4. Đáp án B là phương sai chứ không phải độ lệch chuẩn — bẫy kinh điển: đề hỏi độ lệch chuẩn thì phải lấy căn; C và D sai vì tính nhầm.
Câu 12. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ (đồ thị hàm bậc ba có điểm cực đại (−1; 2) và điểm cực tiểu (1; −2)). Số nghiệm của phương trình f(x) = 1 là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
→ Đáp án: C.
Giải thích: Số nghiệm của phương trình f(x) = 1 bằng số giao điểm của đồ thị y = f(x) với đường thẳng y = 1. Vì giá trị cực đại là 2 > 1 > −2 là giá trị cực tiểu, đường thẳng y = 1 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm. Đáp án A và B sai vì không hình dung đúng vị trí tương đối của đường thẳng so với hai điểm cực trị.
Phần II. Trắc nghiệm đúng – sai (4,0 điểm)
Trong mỗi ý a, b, c, d, thí sinh chọn đúng hoặc sai. Mỗi ý đúng được 0,5 điểm.
Câu 1. Xét hàm số y = −x³ + 3x² − 2.
a) y' = −3x² + 6x.
b) Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0.
d) Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0).
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – S, d – Đ.
Giải thích: Ý a đúng vì đạo hàm của −x³ là −3x², của 3x² là 6x. Ý b đúng vì y' = −3x(x − 2); xét dấu: y' < 0 khi x < 0, y' > 0 khi 0 < x < 2, y' < 0 khi x > 2, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và cực đại tại x = 2. Ý c sai vì giá trị cực tiểu là y(0) = −2, không phải 0 — bẫy "nhầm hoành độ với tung độ". Ý d đúng vì y(1) = −1 + 3 − 2 = 0.
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a = (2; 1; −1) và b = (1; −2; 3).
a) a + b = (3; −1; 2).
b) a − b = (1; 3; −4).
c) a·b = −3.
d) |a| = |b|.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: Ý a đúng: (2 + 1; 1 − 2; −1 + 3) = (3; −1; 2). Ý b đúng: (2 − 1; 1 − (−2); −1 − 3) = (1; 3; −4). Ý c đúng: a·b = 2·1 + 1·(−2) + (−1)·3 = 2 − 2 − 3 = −3. Ý d sai vì |a| = √(4 + 1 + 1) = √6 còn |b| = √(1 + 4 + 9) = √14, hai độ dài khác nhau.
Câu 3. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng (kg) của 25 học sinh:
| Nhóm | [40; 45) | [45; 50) | [50; 55) | [55; 60) |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | 5 | 9 | 7 | 4 |
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng 20.
b) Nhóm chứa mốt là [45; 50).
c) Giá trị đại diện của nhóm chứa mốt là 47,5.
d) Số trung bình của mẫu số liệu bằng 49.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: Ý a đúng vì R = 60 − 40 = 20. Ý b đúng vì nhóm [45; 50) có tần số lớn nhất (9). Ý c đúng vì (45 + 50)/2 = 47,5. Ý d sai vì x̄ = (5·42,5 + 9·47,5 + 7·52,5 + 4·57,5)/25 = 1237,5/25 = 49,5 chứ không phải 49 — sai số do làm tròn ẩu khi tính nhẩm.
Câu 4. Xét hàm số y = x + 1/x (x ≠ 0).
a) y' = 1 − 1/x².
b) Hàm số có hai điểm cực trị.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: Ý a đúng vì đạo hàm của 1/x là −1/x². Ý b đúng vì y' = 0 ⇔ x = ±1, đạo hàm đổi dấu qua cả hai nghiệm nên có hai điểm cực trị (cực đại tại x = −1, cực tiểu tại x = 1). Ý c đúng vì limx→±∞ [y − x] = limx→±∞ 1/x = 0. Ý d sai — bẫy tinh vi: y' = 1 − 1/x² < 0 chỉ khi 0 < x < 1, còn khi x > 1 thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên (1; +∞). Không thể kết luận nghịch biến trên toàn bộ (0; +∞).
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)
Thí sinh ghi đáp số vào ô trả lời. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.
Câu 1. Tìm giá trị cực đại của hàm số y = −x³ + 6x² − 9x + 2.
→ Đáp án: 2.
Giải thích: Ta có y' = −3x² + 12x − 9 = −3(x² − 4x + 3) = −3(x − 1)(x − 3). Xét dấu: y' > 0 khi 1 < x < 3, y' < 0 khi x < 1 hoặc x > 3, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và cực đại tại x = 3. Giá trị cực đại y(3) = −27 + 54 − 27 + 2 = 2.
Câu 2. Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = (2x² + x + 1)/(x + 1).
→ Đáp án: 1.
Giải thích: Thực hiện phép chia: 2x² + x + 1 = (x + 1)(2x − 1) + 2, nên y = 2x − 1 + 2/(x + 1). Vì limx→±∞ 2/(x + 1) = 0 nên đường thẳng y = 2x − 1 là tiệm cận xiên duy nhất của đồ thị.
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 0), C(1; 0; 1). Tính tích vô hướng AB·AC.
→ Đáp án: 2.
Giải thích: AB = (2 − 0; 3 − 1; 0 − 2) = (2; 2; −2); AC = (1 − 0; 0 − 1; 1 − 2) = (1; −1; −1). Tích vô hướng AB·AC = 2·1 + 2·(−1) + (−2)·(−1) = 2 − 2 + 2 = 2.
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho vectơ a = (1; 2; 2). Tính độ dài của vectơ 2a.
→ Đáp án: 6.
Giải thích: Ta có |2a| = 2·|a| = 2·√(1² + 2² + 2²) = 2·√9 = 2·3 = 6. Mẹo: nhân vectơ với 2 thì độ dài cũng nhân 2 (vì 2 > 0).
Câu 5. Cho mẫu số liệu ghép nhóm: [10; 20): 4, [20; 30): 6, [30; 40): 10. Tính phương sai của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng đơn vị).
→ Đáp án: 61.
Giải thích: Giá trị đại diện: 15, 25, 35; cỡ mẫu n = 20. Số trung bình x̄ = (4·15 + 6·25 + 10·35)/20 = 560/20 = 28. Phương sai s² = [4·(15 − 28)² + 6·(25 − 28)² + 10·(35 − 28)²]/20 = (676 + 54 + 490)/20 = 1220/20 = 61.
Câu 6. Cho hàm số y = x⁴ − 2x² + 1. Tính giá trị cực đại của hàm số.
→ Đáp án: 1.
Giải thích: Ta có y' = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1. Xét dấu y': hàm số đạt cực đại tại x = 0 (y' đổi dấu từ + sang −), đạt cực tiểu tại x = ±1. Giá trị cực đại y(0) = 1.
Bảng đáp án đề thi mẫu số 2
Phần I. Câu 1 – 10
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | A | B | A | A | A | A | B |
Phần I. Câu 11 – 12
| Câu | 11 | 12 |
|---|---|---|
| Đáp án | A | C |
Phần II. Câu 1
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | S | Đ |
Phần II. Câu 2
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | Đ | S |
Phần II. Câu 3
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | Đ | S |
Phần II. Câu 4
| Ý | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | Đ | Đ | Đ | S |
Phần III. Trả lời ngắn
| Câu | Đáp án |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
| 4 | 6 |
| 5 | 61 |
| 6 | 1 |
Phương pháp làm bài từng dạng
Dạng 1: Xét tính đơn điệu, tìm cực trị
Quy trình 4 bước không bao giờ sai:
- Bước 1: Tìm tập xác định, tính đạo hàm y'.
- Bước 2: Giải phương trình y' = 0, tìm các điểm tới hạn và các điểm mà tại đó y' không xác định.
- Bước 3: Lập bảng xét dấu y' (hoặc bảng biến thiên).
- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến/nghịch biến, điểm cực đại/cực tiểu.
Mẹo: với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, dấu của y' không đổi trên từng khoảng xác định nên chỉ cần tính y' tại một điểm bất kì.
Dạng 2: Tìm GTLN–GTNN
- Trên đoạn [a; b]: tính các giá trị tại đầu mút và tại các điểm tới hạn trong (a; b), so sánh trực tiếp — không cần lập bảng biến thiên.
- Trên khoảng: bắt buộc lập bảng biến thiên rồi kết luận; lưu ý GTLN/GTNN có thể không tồn tại (ví dụ hàm số tiến tới ±∞ ở đầu khoảng).
- Bài toán thực tiễn: đặt ẩn, lập hàm số, tìm GTLN–GTNN, trả lời đúng câu hỏi của đề bài (đừng quên kết luận bằng lời).
Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị
- Hàm (ax + b)/(cx + d): nhớ công thức nhanh TCĐ x = −d/c, TCN y = a/c.
- Hàm phân thức bậc tử hơn bậc mẫu 1 đơn vị: chia đa thức để tìm tiệm cận xiên.
5 lỗi mất điểm oan cần tránh
Lỗi 1: Nhầm lẫn giữa hoành độ và tung độ điểm cực trị. Đề hỏi "giá trị cực tiểu" là hỏi yCT (tung độ), còn "điểm cực tiểu" là xCT (hoành độ). Rất nhiều bạn tính đúng x = 1 rồi khoanh luôn đáp án 1 trong khi đáp án đúng là y = −1.
Lỗi 2: Kết luận đơn điệu trên hợp của các khoảng. Với hàm phân thức, chỉ được nói "đồng biến trên (−∞; −2) và (−2; +∞)", tuyệt đối không viết "đồng biến trên D = ℝ \ {−2}" vì D không phải là một khoảng — lỗi này bị trừ điểm ở câu đúng–sai.
Lỗi 3: Quên kiểm tra điều kiện của tiệm cận đứng. Thấy mẫu số bằng 0 là kết luận ngay tiệm cận đứng mà không kiểm tra tử số có đồng thời bằng 0 hay không. Nếu cả tử và mẫu cùng bằng 0, đó có thể chỉ là điểm gián đoạn loại bỏ được.
Lỗi 4: Dùng n − 1 thay vì n khi tính phương sai. SGK Toán 12 quy định phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm chia cho n (cỡ mẫu). Dùng n − 1 là áp dụng nhầm công thức của thống kê suy luận, cho ra đáp án sai hoàn toàn.
Lỗi 5: Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn. Đề hỏi độ lệch chuẩn mà chỉ tính đến phương sai rồi dừng lại. Luôn đọc kĩ câu hỏi ở 5 giây cuối: "phương sai" thì dừng ở s², "độ lệch chuẩn" thì lấy thêm căn bậc hai.
Lịch ôn tập 2 tuần nước rút
| Ngày | Nội dung ôn | Hoạt động cụ thể |
|---|---|---|
| Ngày 1 – 2 | Chương 1: Đơn điệu, cực trị | Học thuộc quy tắc xét dấu đạo hàm; làm 15 câu trắc nghiệm đơn điệu – cực trị; chữa kĩ câu sai |
| Ngày 3 – 4 | Chương 1: GTLN–GTNN, tiệm cận | Luyện 10 câu GTLN–GTNN trên đoạn và khoảng; thuộc công thức tiệm cận nhanh của hàm phân thức |
| Ngày 5 – 6 | Chương 1: Khảo sát đồ thị, bài toán thực tiễn | Vẽ lại 3 dạng đồ thị chuẩn; giải 5 bài toán tối ưu thực tế theo 4 bước |
| Ngày 7 – 8 | Chương 2: Vectơ trong không gian | Ôn quy tắc hình hộp, các phép toán vectơ; làm 10 câu tọa độ vectơ |
| Ngày 9 – 10 | Chương 2: Hệ trục Oxyz, tích vô hướng | Thuộc công thức độ dài, tích vô hướng, trung điểm; luyện 10 câu tìm m, chứng minh vuông góc |
| Ngày 11 – 12 | Chương 3: Độ phân tán | Học thuộc công thức R, ΔQ, s², s; làm 10 câu tính toán thống kê có bấm máy kiểm tra |
| Ngày 13 | Luyện đề tổng hợp | Làm trọn đề thi mẫu số 1 trong 90 phút, bấm giờ nghiêm túc; chữa kĩ từng câu sai |
| Ngày 14 | Luyện đề + tổng ôn | Làm đề thi mẫu số 2; đọc lại toàn bộ công thức; xem lại các câu từng làm sai; ngủ sớm |
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Hỏi: Đề thi cuối kì 1 Toán 12 gồm những chương nào?
Đáp: Gồm 3 chương đầu của sách Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức: Chương 1 (Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số), Chương 2 (Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian), Chương 3 (Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm). Từ Chương 4 (Nguyên hàm – Tích phân) trở đi thuộc học kì 2, không thi cuối kì 1.
Hỏi: Cấu trúc đề thi cuối kì 1 Toán 12 mới nhất như thế nào?
Đáp: Theo Quyết định 764/QĐ-BGDĐT, đề thi gồm 3 phần: Phần I có 12 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm), Phần II có 4 câu trắc nghiệm đúng–sai (4,0 điểm), Phần III có 6 câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm). Tổng 22 câu / 28 lệnh hỏi, thời gian làm bài 90 phút, thang điểm 10.
Hỏi: Phần nào khó lấy điểm nhất trong đề thi?
Đáp: Phần II (đúng–sai) thường là phần "ăn điểm" nếu chắc kiến thức vì mỗi ý chỉ 0,25 điểm và có thể suy luận loại trừ; phần khó nhất thường là 2–3 câu vận dụng cao ở Phần III (trả lời ngắn) về bài toán tối ưu thực tế và đồ thị hàm số. Hãy làm chắc Phần I và Phần II trước để giữ 7 điểm, rồi mới dồn sức cho Phần III.
Hỏi: Có được dùng máy tính cầm tay trong phòng thi không?
Đáp: Có. Máy tính cầm tay không có chức năng soạn thảo văn bản, không có thẻ nhớ (như Casio fx-570VN PLUS, fx-580VN X) được phép mang vào phòng thi theo quy định của Bộ GD&ĐT. Bạn nên tận dụng máy tính để bấm nhanh đạo hàm tại một điểm, giải phương trình và kiểm tra các phép tính thống kê.
Hỏi: Làm sao để không bị mất điểm oan ở phần thống kê?
Đáp: Nhớ 3 điểm then chốt: (1) giá trị đại diện tính bằng trung bình cộng hai đầu mút nhóm, không làm tròn ẩu; (2) phương sai chia cho n chứ không phải n − 1; (3) đề hỏi độ lệch chuẩn thì phải lấy căn bậc hai của phương sai. Chỉ cần chắc 3 điểm này, phần thống kê là phần "cho điểm".
Kết luận
Trên đây là tổng hợp đề thi học kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức 2026 đầy đủ nhất: cấu trúc đề theo Quyết định 764, phạm vi 3 chương học kì 1, tóm tắt kiến thức trọng tâm kèm đầy đủ công thức, 2 đề thi mẫu hoàn chỉnh (12 trắc nghiệm + 4 đúng–sai + 6 trả lời ngắn) có đáp án và lời giải chi tiết từng câu như giáo viên đang chữa bài, phương pháp làm từng dạng bài, 5 lỗi mất điểm oan cần tránh và lịch ôn tập 2 tuần cụ thể.
Điểm mấu chốt để đạt điểm cao là nắm chắc công thức từng chương, luyện đủ dạng bài theo đúng cấu trúc đề mới và rèn kĩ năng bấm máy tính để kiểm tra nhanh kết quả. Hãy in hai đề thi mẫu ra, làm nghiêm túc trong 90 phút rồi đối chiếu với bảng đáp án và phần giải thích chi tiết — đó là cách ôn tập hiệu quả nhất. Chúc bạn ôn tập tốt và đạt điểm cao trong kì thi cuối học kì 1! Xem thêm các đề cương, tài liệu ôn tập các môn khác tại chuyên mục tin tức học liệu của ClassOn.