Kỳ thi học kì 1 lớp 11 đang đến gần, và môn Toán luôn là "nỗi ám ảnh" của nhiều bạn: vừa phải nhớ hàng loạt công thức lượng giác, vừa phải tư duy hình học không gian trừu tượng, lại thêm phần giới hạn đầy mới lạ. Nhưng đừng lo — chỉ cần ôn đúng trọng tâm và luyện đủ dạng bài, bạn hoàn toàn có thể chinh phục đề thi một cách tự tin.
Bài viết này tổng hợp đầy đủ những gì bạn cần cho kỳ thi học kì 1 Toán 11 theo sách Kết nối tri thức với cuộc sống: cấu trúc đề kiểm tra cuối kì theo Công văn 7991, tóm tắt kiến thức trọng tâm của 5 chương (kèm đầy đủ công thức), 2 đề thi mẫu hoàn chỉnh có đáp án và lời giải chi tiết từng câu như giáo viên đang chữa bài, phương pháp làm từng dạng bài, 5 lỗi mất điểm oan thường gặp, lịch ôn tập 2 tuần cụ thể và phần hỏi đáp giải tỏa mọi thắc mắc.
Cấu trúc đề kiểm tra cuối học kì 1 Toán 11
Trước khi ôn, bạn cần nắm rõ "luật chơi": đề thi ra sao, bao nhiêu câu, mỗi phần bao nhiêu điểm. Theo Công văn 7991/BGDĐT-QLCL và các đề kiểm tra cuối kì 1 Toán 11 đã được các trường áp dụng, cấu trúc đề phổ biến như sau:
| Phần | Hình thức | Số câu | Điểm |
|---|---|---|---|
| I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn | Chọn 1 trong 4 đáp án A, B, C, D | 12 câu × 0,25đ | 3,0 điểm |
| II. Trắc nghiệm đúng – sai | Mỗi câu có 4 ý a, b, c, d; chọn đúng hoặc sai | 2 câu | 2,0 điểm |
| III. Trắc nghiệm trả lời ngắn | Điền đáp số (không cần trình bày) | 4 câu × 0,5đ | 2,0 điểm |
| IV. Tự luận | Trình bày lời giải chi tiết | 3 câu | 3,0 điểm |
| Tổng | 21 câu | 10,0 điểm |
Thời gian làm bài là 90 phút (không kể thời gian phát đề). Về mức độ nhận thức, đề thi thường phân bổ theo tỉ lệ:
- Nhận biết: 40% (nhớ định nghĩa, công thức, nhận dạng trực tiếp).
- Thông hiểu: 30% (hiểu bản chất, vận dụng công thức vào bài tập đơn giản).
- Vận dụng: 20% (kết hợp nhiều kiến thức, bài toán có tình huống).
- Vận dụng cao: 10% (bài toán khó, đòi hỏi tư duy sáng tạo).
Phạm vi kiến thức học kì 1: học đến đâu, thi đến đó
Theo sách Toán 11 bộ Kết nối tri thức với cuộc sống (bộ sách thống nhất toàn quốc từ năm học 2026–2027), học kì 1 gồm 5 chương:
| Chương | Bài học | Nội dung chính |
|---|---|---|
| Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác | Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Bài 2. Công thức lượng giác Bài 3. Hàm số lượng giác Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản |
Góc lượng giác, giá trị lượng giác, công thức cộng – nhân đôi – biến đổi tích thành tổng, hàm số sin/cos/tan/cot, phương trình lượng giác cơ bản |
| Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân | Bài 5. Dãy số Bài 6. Cấp số cộng Bài 7. Cấp số nhân |
Khái niệm dãy số, dãy tăng/giảm/bị chặn, cấp số cộng (un, Sn), cấp số nhân (un, Sn) |
| Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm | Bài 8. Mẫu số liệu ghép nhóm Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm |
Ghép nhóm mẫu số liệu, số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm |
| Chương 4: Quan hệ song song trong không gian | Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Bài 11. Hai đường thẳng song song Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song Bài 13. Hai mặt phẳng song song Bài 14. Phép chiếu song song |
Tiên đề Euclid, cách xác định mặt phẳng, giao tuyến, giao điểm, chứng minh song song, định lí Thalès trong không gian |
| Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục | Bài 15. Giới hạn của dãy số Bài 16. Giới hạn của hàm số Bài 17. Hàm số liên tục |
Giới hạn hữu hạn/vô cực của dãy số và hàm số, các phép toán giới hạn, xét tính liên tục tại một điểm và trên khoảng |
Tóm tắt kiến thức trọng tâm từng chương
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
- Trên đường tròn lượng giác, với mỗi góc lượng giác α, ta xác định điểm M sao cho (OA, OM) = α. Khi đó: cos α = hoành độ của M, sin α = tung độ của M.
- tan α = sin α / cos α (với cos α ≠ 0); cot α = cos α / sin α (với sin α ≠ 0).
- Quan hệ: tan α · cot α = 1; sin²α + cos²α = 1; 1 + tan²α = 1/cos²α; 1 + cot²α = 1/sin²α.
- Dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư: góc phần tư I (sin+, cos+, tan+, cot+); II (sin+, cos−, tan−, cot−); III (sin−, cos−, tan+, cot+); IV (sin−, cos+, tan−, cot−).
- Mẹo nhớ "cos đối, sin bù, phụ chéo, tan cot hơn kém π": cos(−α) = cos α; sin(π − α) = sin α; sin(π/2 − α) = cos α; tan(α + π) = tan α.
2. Công thức lượng giác
- Công thức cộng: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b; sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b; cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b; cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b; tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b); tan(a − b) = (tan a − tan b)/(1 + tan a tan b).
- Công thức nhân đôi: sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a; tan 2a = 2 tan a/(1 − tan²a).
- Công thức hạ bậc: sin²a = (1 − cos 2a)/2; cos²a = (1 + cos 2a)/2.
- Biến đổi tích thành tổng: cos a cos b = [cos(a+b) + cos(a−b)]/2; sin a sin b = [cos(a−b) − cos(a+b)]/2; sin a cos b = [sin(a+b) + sin(a−b)]/2.
- Biến đổi tổng thành tích: sin a + sin b = 2 sin((a+b)/2) cos((a−b)/2); sin a − sin b = 2 cos((a+b)/2) sin((a−b)/2); cos a + cos b = 2 cos((a+b)/2) cos((a−b)/2); cos a − cos b = −2 sin((a+b)/2) sin((a−b)/2).
3. Hàm số lượng giác
- Hàm số y = sin x: tập xác định D = ℝ, tập giá trị [−1; 1], tuần hoàn với chu kì 2π, là hàm số lẻ, đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2 + k2π; π/2 + k2π).
- Hàm số y = cos x: tập xác định D = ℝ, tập giá trị [−1; 1], tuần hoàn với chu kì 2π, là hàm số chẵn, đồng biến trên mỗi khoảng (π + k2π; 2π + k2π).
- Hàm số y = tan x: tập xác định D = ℝ \ {π/2 + kπ}, tuần hoàn với chu kì π, là hàm số lẻ.
- Hàm số y = cot x: tập xác định D = ℝ \ {kπ}, tuần hoàn với chu kì π, là hàm số lẻ.
4. Phương trình lượng giác cơ bản
- sin x = m: nếu |m| > 1 thì vô nghiệm; nếu |m| ≤ 1 thì x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π (với sin α = m).
- cos x = m: nếu |m| > 1 thì vô nghiệm; nếu |m| ≤ 1 thì x = ±α + k2π (với cos α = m).
- tan x = m: x = α + kπ (với tan α = m).
- cot x = m: x = α + kπ (với cot α = m).
- Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: a sin x + b cos x = c có nghiệm khi a² + b² ≥ c².
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
1. Dãy số
- Dãy số là hàm số u xác định trên tập hợp số nguyên dương ℕ*: u: ℕ* → ℝ, kí hiệu (un).
- Dãy số tăng: un+1 > un với mọi n; dãy số giảm: un+1 < un với mọi n.
- Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho un ≤ M với mọi n; bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho un ≥ m với mọi n.
2. Cấp số cộng
- Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d (công sai): un+1 = un + d.
- Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d.
- Tính chất: uk = (uk−1 + uk+1)/2 với k ≥ 2.
- Tổng n số hạng đầu: Sn = n(u1 + un)/2 = n[2u1 + (n − 1)d]/2.
3. Cấp số nhân
- Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng (trừ số hạng đầu) bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q (công bội): un+1 = un · q.
- Số hạng tổng quát: un = u1 · qn−1.
- Tính chất: uk² = uk−1 · uk+1 với k ≥ 2.
- Tổng n số hạng đầu: nếu q = 1 thì Sn = n·u1; nếu q ≠ 1 thì Sn = u1(1 − qn)/(1 − q) = u1(qn − 1)/(q − 1).
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
1. Mẫu số liệu ghép nhóm
- Khi mẫu số liệu lớn, người ta chia miền giá trị thành các nhóm (khoảng) liên tiếp, mỗi nhóm có độ dài bằng nhau. Bảng tần số ghép nhóm gồm các nhóm [ai; ai+1) và tần số ni của mỗi nhóm.
- Giá trị đại diện của nhóm [ai; ai+1) là xi = (ai + ai+1)/2.
2. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
- Công thức: x̄ = (n1x1 + n2x2 + ... + nkxk)/n, trong đó n = n1 + n2 + ... + nk là cỡ mẫu, xi là giá trị đại diện của nhóm i.
3. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
- Gọi nhóm chứa trung vị là nhóm [um; um+1), nm là tần số của nhóm đó, C = n1 + ... + nm−1 là tần số tích lũy trước nhóm chứa trung vị. Khi đó: Me = um + [(n/2 − C)/nm] · (um+1 − um).
4. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
- Tứ phân vị thứ nhất Q1: thay n/2 bằng n/4 trong công thức trung vị. Tứ phân vị thứ ba Q3: thay n/2 bằng 3n/4. Tứ phân vị thứ hai Q2 chính là trung vị.
- Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q3 − Q1, đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.
5. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
- Gọi nhóm chứa mốt là [um; um+1), nm là tần số lớn nhất. Khi đó: Mo = um + [(nm − nm−1)/((nm − nm−1) + (nm − nm+1))] · (um+1 − um).
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Tiên đề 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Tiên đề 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Tiên đề 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tiên đề 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Cách xác định mặt phẳng: qua 3 điểm không thẳng hàng; qua 1 đường thẳng và 1 điểm không thuộc đường thẳng; qua 2 đường thẳng cắt nhau; qua 2 đường thẳng song song.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng. Giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P) là điểm chung duy nhất của d và (P).
2. Hai đường thẳng song song
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
- Tiên đề Euclid: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
- Tính chất bắc cầu: nếu a // b và b // c (phân biệt) thì a // c.
- Định lí: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó.
3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung: d // (P).
- Dấu hiệu: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì d // (P).
- Tính chất: Nếu d // (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) sẽ cắt theo giao tuyến song song với d.
4. Hai mặt phẳng song song
- Hai mặt phẳng song song nếu chúng không có điểm chung: (P) // (Q).
- Dấu hiệu: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q).
- Tính chất: Nếu (P) // (Q) thì mọi mặt phẳng (R) cắt (P) cũng cắt (Q), và hai giao tuyến song song với nhau.
- Định lí Thalès trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
5. Phép chiếu song song
- Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P). Với mỗi điểm M, đường thẳng qua M song song với l cắt (P) tại M'. Điểm M' gọi là hình chiếu song song của M lên (P).
- Tính chất: Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng (hoặc điểm), biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song.
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
1. Giới hạn của dãy số
- Dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi: lim un = 0.
- Các giới hạn cơ bản: lim (1/nk) = 0 (k > 0); lim qn = 0 (|q| < 1).
- Nếu lim un = a và lim vn = b thì: lim(un + vn) = a + b; lim(un − vn) = a − b; lim(un·vn) = a·b; lim(un/vn) = a/b (nếu b ≠ 0).
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1/(1 − q) với |q| < 1.
2. Giới hạn của hàm số
- Giới hạn tại một điểm: limx→x₀ f(x) = L nếu với mọi dãy (xn) → x₀ (xn ≠ x₀) thì f(xn) → L.
- Giới hạn một phía: giới hạn trái limx→x₀⁻ f(x), giới hạn phải limx→x₀⁺ f(x). Hàm số có giới hạn tại x₀ khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải tồn tại và bằng nhau.
- Các phép toán giới hạn hàm số tương tự như giới hạn dãy số.
- Giới hạn vô cực: limx→+∞ (1/xk) = 0; limx→+∞ xk = +∞ (k > 0).
3. Hàm số liên tục
- Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ nếu: (1) f(x) xác định tại x₀; (2) tồn tại limx→x₀ f(x); (3) limx→x₀ f(x) = f(x₀).
- Hàm số liên tục trên khoảng nếu liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
- Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)·f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
Đề thi mẫu số 1
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1
Môn: Toán 11 — Kết nối tri thức
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho góc lượng giác α thỏa mãn sin α = 3/5 và π/2 < α < π. Giá trị của cos α là:
A. 4/5
B. −4/5
C. 3/4
D. −3/4
→ Đáp án: B.
Giải thích: Áp dụng sin²α + cos²α = 1, suy ra cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, do đó cos α = ±4/5. Vì α thuộc góc phần tư thứ II (π/2 < α < π) nên cos α < 0. Vậy cos α = −4/5. Đáp án A sai vì không xét dấu theo góc phần tư. Đáp án C, D sai vì tính nhầm (lấy 3/4 thay vì 4/5).
Câu 2. Giá trị của biểu thức P = (1 + tan²x) · cos²x + (1 + cot²x) · sin²x là:
A. 1
B. 2
C. sin²x + cos²x
D. tan²x + cot²x
→ Đáp án: B.
Giải thích: Ta có (1 + tan²x) · cos²x = cos²x + tan²x · cos²x = cos²x + sin²x = 1. Tương tự, (1 + cot²x) · sin²x = sin²x + cot²x · sin²x = sin²x + cos²x = 1. Vậy P = 1 + 1 = 2. Đáp án A sai vì chỉ tính một nửa biểu thức. Đáp án C sai vì không rút gọn hết. Đáp án D sai vì biến đổi nhầm.
Câu 3. Tập xác định của hàm số y = tan(2x + π/3) là:
A. D = ℝ \ {π/12 + kπ/2, k ∈ ℤ}
B. D = ℝ \ {π/6 + kπ, k ∈ ℤ}
C. D = ℝ \ {π/12 + kπ, k ∈ ℤ}
D. D = ℝ
→ Đáp án: A.
Giải thích: Hàm tan xác định khi cos(2x + π/3) ≠ 0, tức là 2x + π/3 ≠ π/2 + kπ. Giải ra: 2x ≠ π/6 + kπ, suy ra x ≠ π/12 + kπ/2. Đáp án B sai vì quên chia 2 (lấy kπ thay vì kπ/2). Đáp án C sai vì thiếu hệ số 1/2 ở kπ. Đáp án D sai vì hàm tan không xác định tại mọi điểm.
Câu 4. Nghiệm của phương trình 2sin x − 1 = 0 là:
A. x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π
B. x = π/3 + k2π hoặc x = 2π/3 + k2π
C. x = ±π/6 + k2π
D. x = π/6 + kπ
→ Đáp án: A.
Giải thích: 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = 1/2. Nghiệm là x = π/6 + k2π hoặc x = π − π/6 + k2π = 5π/6 + k2π. Đáp án B sai vì nhầm với sin x = √3/2. Đáp án C sai vì dùng công thức của cos. Đáp án D sai vì gộp hai họ nghiệm thành một cách không đúng (x = π/6 + kπ cho cả π/6 và 7π/6, trong đó 7π/6 không phải nghiệm).
Câu 5. Cho dãy số (un) với un = 2n + 1. Số hạng u5 của dãy số là:
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
→ Đáp án: C.
Giải thích: Thay n = 5 vào công thức: u5 = 2 · 5 + 1 = 11. Đáp án A sai vì tính 2 · 4 + 1 (nhầm n = 4). Đáp án B sai vì tính 2 · 5 (quên +1). Đáp án D sai vì tính 2 · 5 + 2.
Câu 6. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 3 và công sai d = 4. Số hạng u10 là:
A. 36
B. 39
C. 40
D. 43
→ Đáp án: B.
Giải thích: Áp dụng un = u1 + (n − 1)d: u10 = 3 + 9 · 4 = 3 + 36 = 39. Đáp án A sai vì tính 3 + 9 · 3 (nhầm d). Đáp án C sai vì tính 4 · 10 (quên u1 và trừ 1). Đáp án D sai vì tính 3 + 10 · 4 (quên trừ 1).
Câu 7. Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u4 = 54. Công bội q của cấp số nhân là:
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
→ Đáp án: B.
Giải thích: Áp dụng un = u1 · qn−1: u4 = 2 · q³ = 54, suy ra q³ = 27, do đó q = 3. Đáp án A sai vì đoán mò. Đáp án C sai vì tính 54/9 (nhầm công thức). Đáp án D sai vì tính √81 (nhầm số mũ).
Câu 8. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 40 học sinh như sau: nhóm [150; 155) có 6 học sinh, [155; 160) có 12 học sinh, [160; 165) có 14 học sinh, [165; 170) có 8 học sinh. Số trung bình của mẫu số liệu là:
A. 159,5
B. 160,125
C. 160,5
D. 161
→ Đáp án: C.
Giải thích: Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là 152,5; 157,5; 162,5; 167,5. Số trung bình x̄ = (6·152,5 + 12·157,5 + 14·162,5 + 8·167,5)/40 = (915 + 1890 + 2275 + 1340)/40 = 6420/40 = 160,5. Đáp án A sai vì tính nhầm giá trị đại diện. Đáp án B sai vì cộng nhầm tần số. Đáp án D sai vì làm tròn sai.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng:
A. AC
B. BD
C. SO (với O là giao điểm của AC và BD)
D. SA
→ Đáp án: C.
Giải thích: Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có điểm chung S. Trong mặt phẳng đáy, AC cắt BD tại O, mà O thuộc cả (SAC) (vì O ∈ AC) và (SBD) (vì O ∈ BD). Vậy O là điểm chung thứ hai. Giao tuyến là đường thẳng SO. Đáp án A sai vì AC chỉ nằm trong (SAC). Đáp án B sai vì BD chỉ nằm trong (SBD). Đáp án D sai vì A không thuộc (SBD).
Câu 10. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d song song với mọi đường thẳng nằm trong (P)
B. d không có điểm chung với (P)
C. d nằm trong (P)
D. d cắt (P)
→ Đáp án: B.
Giải thích: Theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng khi chúng không có điểm chung. Đáp án A sai vì d chỉ song song với một số đường thẳng trong (P), không phải mọi đường. Đáp án C sai vì đó là trường hợp d nằm trong (P). Đáp án D sai vì đó là trường hợp d cắt (P).
Câu 11. Giới hạn lim (2n + 1)/(3n + 2) bằng:
A. 2/3
B. 1/2
C. 1
D. +∞
→ Đáp án: A.
Giải thích: Chia cả tử và mẫu cho n: lim (2 + 1/n)/(3 + 2/n) = (2 + 0)/(3 + 0) = 2/3. Đáp án B sai vì lấy hệ số tự do. Đáp án C sai vì nhầm lẫn. Đáp án D sai vì bậc tử bằng bậc mẫu nên giới hạn hữu hạn.
Câu 12. Hàm số f(x) = (x² − 1)/(x − 1) có liên tục tại x = 1 không?
A. Có, vì giới hạn bằng 2
B. Không, vì hàm số không xác định tại x = 1
C. Có, vì f(1) = 2
D. Không, vì giới hạn không tồn tại
→ Đáp án: B.
Giải thích: Hàm số không xác định tại x = 1 (mẫu bằng 0), nên không thỏa mãn điều kiện đầu tiên của tính liên tục. Do đó hàm số gián đoạn tại x = 1. Đáp án A sai vì dù giới hạn limx→1 f(x) = 2 tồn tại nhưng hàm không xác định tại điểm đó. Đáp án C sai vì f(1) không tồn tại. Đáp án D sai vì giới hạn tồn tại và bằng 2.
Phần II. Trắc nghiệm đúng – sai (2,0 điểm)
Trong mỗi ý a, b, c, d, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 5 và công sai d = 3.
a) Số hạng u2 = 8.
b) Số hạng tổng quát un = 3n + 2.
c) Tổng 10 số hạng đầu S10 = 185.
d) 47 là một số hạng của cấp số cộng.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – Đ.
Giải thích: a) Đúng vì u2 = u1 + d = 5 + 3 = 8. b) Đúng vì un = 5 + (n − 1)·3 = 3n + 2. c) Đúng vì S10 = 10·(2·5 + 9·3)/2 = 5·(10 + 27) = 5·37 = 185. d) Đúng vì giải 3n + 2 = 47 được n = 15 (nguyên dương).
Câu 2. Xét các mệnh đề về giới hạn:
a) lim (1/n²) = 0.
b) lim (3n² + 1)/(2n² + n) = 3/2.
c) Nếu lim un = 2 và lim vn = −1 thì lim(un + vn) = 1.
d) lim qn = 0 khi |q| > 1.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: a) Đúng theo giới hạn cơ bản lim(1/nk) = 0. b) Đúng vì chia tử mẫu cho n² được (3 + 1/n²)/(2 + 1/n) → 3/2. c) Đúng theo phép toán giới hạn: 2 + (−1) = 1. d) Sai vì lim qn = 0 chỉ khi |q| < 1; khi |q| > 1 thì |qn| → +∞.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Thí sinh điền đáp số vào ô trả lời.
Câu 1. Giải phương trình sin 2x = √3/2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất (đơn vị radian, làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
→ Đáp án: 0,52
Giải thích: sin 2x = √3/2 ⇔ 2x = π/3 + k2π hoặc 2x = 2π/3 + k2π. Suy ra x = π/6 + kπ hoặc x = π/3 + kπ. Nghiệm dương nhỏ nhất là x = π/6 ≈ 0,52.
Câu 2. Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 và q = 2. Tính tổng 8 số hạng đầu S8.
→ Đáp án: 765
Giải thích: S8 = 3·(2⁸ − 1)/(2 − 1) = 3·(256 − 1) = 3·255 = 765.
Câu 3. Tính giới hạn limx→2 (x² − 4)/(x − 2).
→ Đáp án: 4
Giải thích: (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Vậy giới hạn bằng 2 + 2 = 4.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB. Tỉ số MN/AB bằng bao nhiêu?
→ Đáp án: 1/2 (hoặc 0,5)
Giải thích: MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN = AB/2. Vậy tỉ số MN/AB = 1/2.
Phần IV. Tự luận (3,0 điểm)
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2cos²x − 3cos x + 1 = 0.
Lời giải: Đặt t = cos x (|t| ≤ 1), phương trình trở thành 2t² − 3t + 1 = 0. Giải ra t = 1 hoặc t = 1/2.
- Với t = 1: cos x = 1 ⇔ x = k2π.
- Với t = 1/2: cos x = 1/2 ⇔ x = ±π/3 + k2π.
Vậy nghiệm của phương trình là x = k2π hoặc x = ±π/3 + k2π (k ∈ ℤ).
Câu 2 (1,0 điểm). Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm theo thể thức lãi kép (tiền lãi mỗi năm được cộng vào vốn để tính lãi năm sau). Hỏi sau 5 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn đồng)?
Lời giải: Số tiền sau n năm là un = 100·(1 + 0,06)n triệu đồng (cấp số nhân với công bội q = 1,06). Sau 5 năm: u5 = 100·(1,06)⁵ ≈ 100·1,3382 = 133,82 triệu đồng. Làm tròn: khoảng 133.822.000 đồng.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng MN // (ABCD).
Lời giải: Trong tam giác SAD, M là trung điểm SA, N là trung điểm SD nên MN là đường trung bình, suy ra MN // AD. Mà AD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và MN không nằm trong (ABCD) (vì M, N không thuộc đáy). Theo dấu hiệu đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có MN // (ABCD).
Bảng đáp án đề thi mẫu số 1
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | A | A | C | B | B | C | C | B |
| Câu | 11 | 12 |
|---|---|---|
| Đáp án | A | B |
| Câu đúng – sai | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Câu 1 | Đ | Đ | Đ | Đ |
| Câu 2 | Đ | Đ | Đ | S |
| Câu | Trả lời ngắn 1 | Trả lời ngắn 2 | Trả lời ngắn 3 | Trả lời ngắn 4 |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | 0,52 | 765 | 4 | 1/2 |
Đề thi mẫu số 2
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 1
Môn: Toán 11 — Kết nối tri thức
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho cos α = −1/2 và π < α < 3π/2. Giá trị của sin α là:
A. √3/2
B. −√3/2
C. 1/2
D. −1/2
→ Đáp án: B.
Giải thích: sin²α = 1 − cos²α = 1 − 1/4 = 3/4, suy ra sin α = ±√3/2. Vì α thuộc góc phần tư thứ III nên sin α < 0. Vậy sin α = −√3/2. Đáp án A sai vì không xét dấu. Đáp án C, D sai vì tính nhầm.
Câu 2. Công thức nào sau đây sai?
A. sin 2a = 2 sin a cos a
B. cos 2a = 1 − 2sin²a
C. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
D. cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b
→ Đáp án: D.
Giải thích: Công thức đúng là cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b (dấu trừ). Đáp án D viết dấu cộng nên sai. Các đáp án A, B, C đều là công thức đúng trong sách giáo khoa.
Câu 3. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; π)
B. (−π/2; π/2)
C. (π; 2π)
D. (−π; 0)
→ Đáp án: C.
Giải thích: Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (π + k2π; 2π + k2π). Với k = 0, ta được khoảng (π; 2π). Đáp án A sai vì trên (0; π) hàm cos nghịch biến. Đáp án B sai vì đó là khoảng đồng biến của hàm sin. Đáp án D sai vì trên (−π; 0) hàm cos nghịch biến.
Câu 4. Nghiệm của phương trình tan x = 1 là:
A. x = π/4 + k2π
B. x = π/4 + kπ
C. x = ±π/4 + k2π
D. x = 3π/4 + kπ
→ Đáp án: B.
Giải thích: tan x = 1 ⇔ x = π/4 + kπ (k ∈ ℤ). Đáp án A sai vì chu kì của tan là π chứ không phải 2π. Đáp án C sai vì dùng công thức của cos. Đáp án D sai vì tan(3π/4) = −1.
Câu 5. Cho dãy số (un) với un = (−1)n · n. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số bị chặn
D. Dãy số không bị chặn
→ Đáp án: D.
Giải thích: Các số hạng là −1, 2, −3, 4, −5, 6, ... Dãy không tăng cũng không giảm vì đan dấu. Vì |un| = n → +∞ nên dãy không bị chặn (không bị chặn trên và không bị chặn dưới). Đáp án A, B sai vì dãy đan dấu. Đáp án C sai vì giá trị tuyệt đối tiến tới vô cực.
Câu 6. Cho cấp số cộng (un) có u3 = 7 và u7 = 19. Công sai d là:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
→ Đáp án: B.
Giải thích: Ta có u7 = u3 + 4d, suy ra 19 = 7 + 4d, do đó 4d = 12 và d = 3. Đáp án A sai vì tính (19 − 7)/6. Đáp án C sai vì tính (19 − 7)/3. Đáp án D sai vì tính 19 − 7 − 6.
Câu 7. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân có u1 = 1 và q = 3 là:
A. 29524
B. 29525
C. 59048
D. 59049
→ Đáp án: A.
Giải thích: S10 = (3¹⁰ − 1)/(3 − 1) = (59049 − 1)/2 = 59048/2 = 29524. Đáp án B sai vì cộng thêm 1. Đáp án C sai vì quên chia 2. Đáp án D sai vì tính 3¹⁰.
Câu 8. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: [0; 10) có 5 quan sát, [10; 20) có 15 quan sát, [20; 30) có 8 quan sát là:
A. 15
B. 15,83
C. 16
D. 14,17
→ Đáp án: C.
Giải thích: Cỡ mẫu n = 28, n/2 = 14. Tần số tích lũy đến nhóm 1 là 5 < 14, đến nhóm 2 là 20 ≥ 14 nên nhóm chứa trung vị là [10; 20). Áp dụng công thức: Me = 10 + [(14 − 5)/15] · 10 = 10 + 6 = 16. Đáp án A sai vì lấy giá trị đại diện. Đáp án B, D sai vì tính nhầm tần số tích lũy.
Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MN // (BCD)
B. MN // BC
C. MN cắt (BCD)
D. MN ⊂ (BCD)
→ Đáp án: A.
Giải thích: Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên MN // BC. Vì BC nằm trong mặt phẳng (BCD) và MN không nằm trong (BCD), theo dấu hiệu đường thẳng song song với mặt phẳng ta có MN // (BCD). Đáp án B đúng về quan hệ MN // BC nhưng đáp án A đầy đủ hơn khi hỏi về quan hệ với mặt phẳng. Đáp án C, D sai vì MN song song với (BCD).
Câu 10. Cho (P) // (Q). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với (Q)
B. Nếu đường thẳng a ⊂ (P) thì a // (Q)
C. (P) và (Q) không có điểm chung
D. Mọi mặt phẳng cắt (P) đều song song với (Q)
→ Đáp án: D.
Giải thích: Một mặt phẳng cắt (P) sẽ cắt (Q) theo giao tuyến song song (nếu (P) // (Q)), chứ không song song với (Q). Đáp án D sai. Các đáp án A, B, C đều đúng theo định nghĩa và tính chất của hai mặt phẳng song song.
Câu 11. Giới hạn limx→+∞ (3x² + 2x + 1)/(x² + 5) bằng:
A. 3
B. +∞
C. 0
D. 1
→ Đáp án: A.
Giải thích: Chia cả tử và mẫu cho x²: lim (3 + 2/x + 1/x²)/(1 + 5/x²) = 3/1 = 3. Đáp án B sai vì bậc tử bằng bậc mẫu. Đáp án C sai vì nhầm với giới hạn 1/x. Đáp án D sai vì không chia đúng.
Câu 12. Hàm số nào sau đây liên tục trên ℝ?
A. y = 1/x
B. y = tan x
C. y = x³ − 2x + 1
D. y = 1/(x − 1)
→ Đáp án: C.
Giải thích: Hàm đa thức y = x³ − 2x + 1 liên tục trên ℝ. Đáp án A sai vì gián đoạn tại x = 0. Đáp án B sai vì gián đoạn tại x = π/2 + kπ. Đáp án D sai vì gián đoạn tại x = 1.
Phần II. Trắc nghiệm đúng – sai (2,0 điểm)
Trong mỗi ý a, b, c, d, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho cấp số nhân (un) có u1 = 4 và q = 2.
a) Số hạng u3 = 16.
b) Số hạng tổng quát un = 4 · 2n−1.
c) Tổng 5 số hạng đầu S5 = 124.
d) 256 là một số hạng của cấp số nhân.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – Đ.
Giải thích: a) Đúng vì u3 = 4 · 2² = 16. b) Đúng theo công thức số hạng tổng quát. c) Đúng vì S5 = 4·(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 4·31 = 124. d) Đúng vì giải 4·2n−1 = 256 được 2n−1 = 64 = 2⁶, suy ra n = 7.
Câu 2. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x² + 1 tại x = 2:
a) f(2) = 5.
b) limx→2 f(x) = 5.
c) Hàm số liên tục tại x = 2.
d) Hàm số gián đoạn tại x = 2.
→ Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S.
Giải thích: a) Đúng vì f(2) = 4 + 1 = 5. b) Đúng vì limx→2 (x² + 1) = 5. c) Đúng vì limx→2 f(x) = f(2) = 5. d) Sai vì hàm liên tục tại x = 2.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Thí sinh điền đáp số vào ô trả lời.
Câu 1. Giải phương trình cos 2x = 0. Tìm nghiệm trong khoảng (0; π) (đơn vị radian).
→ Đáp án: π/4 và 3π/4 (hoặc 0,79 và 2,36)
Giải thích: cos 2x = 0 ⇔ 2x = π/2 + kπ ⇔ x = π/4 + kπ/2. Trong khoảng (0; π), các nghiệm là x = π/4 và x = 3π/4.
Câu 2. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 2, d = 5. Tính u20.
→ Đáp án: 97
Giải thích: u20 = 2 + 19·5 = 2 + 95 = 97.
Câu 3. Tính giới hạn limn→+∞ (n² + 3n)/(2n² + 1).
→ Đáp án: 1/2
Giải thích: Chia tử mẫu cho n²: (1 + 3/n)/(2 + 1/n²) → 1/2.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi O là tâm đáy. Tính SO biết SA = a√2 (gợi ý: tính AO trước).
→ Đáp án: a√3/√2 (hoặc a√6/2)
Giải thích: AO = a√2/2 (nửa đường chéo hình vuông). Tam giác SAO vuông tại O: SO = √(SA² − AO²) = √(2a² − a²/2) = √(3a²/2) = a√6/2.
Phần IV. Tự luận (3,0 điểm)
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình: sin²x − sin x − 2 = 0.
Lời giải: Đặt t = sin x (|t| ≤ 1), phương trình trở thành t² − t − 2 = 0. Giải ra t = 2 (loại vì |t| > 1) hoặc t = −1 (nhận). Với sin x = −1, ta có x = −π/2 + k2π = 3π/2 + k2π (k ∈ ℤ).
Câu 2 (1,0 điểm). Tính giới hạn: limx→1 (x³ − 1)/(x² − 1).
Lời giải: Phân tích: (x³ − 1) = (x − 1)(x² + x + 1); (x² − 1) = (x − 1)(x + 1). Với x ≠ 1, biểu thức bằng (x² + x + 1)/(x + 1). Vậy giới hạn = (1 + 1 + 1)/(1 + 1) = 3/2.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD và AB = 2CD. Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh rằng DM // (SAC).
Lời giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD, N là trung điểm của SO. Trong tam giác SBD, M là trung điểm SB và N là trung điểm SO nên MN là đường trung bình, suy ra MN // BD. Vì O ∈ BD nên MN // OD. Trong tam giác SAC... (chứng minh chi tiết: gọi I là trung điểm của AO, chứng minh MI // SO và DI // AC, từ đó (DMI) // (SAC), suy ra DM // (SAC)).
Bảng đáp án đề thi mẫu số 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | D | C | B | D | B | A | C | A | D |
| Câu | 11 | 12 |
|---|---|---|
| Đáp án | A | C |
| Câu đúng – sai | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|
| Câu 1 | Đ | Đ | Đ | Đ |
| Câu 2 | Đ | Đ | Đ | S |
| Câu | Trả lời ngắn 1 | Trả lời ngắn 2 | Trả lời ngắn 3 | Trả lời ngắn 4 |
|---|---|---|---|---|
| Đáp án | π/4; 3π/4 | 97 | 1/2 | a√6/2 |
Phương pháp làm bài từng dạng
Dạng 1: Phương trình lượng giác
- Bước 1: Xác định dạng phương trình (cơ bản, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, bậc nhất đối với sin và cos).
- Bước 2: Nếu là phương trình bậc hai (ví dụ a·sin²x + b·sin x + c = 0), đặt t = sin x (hoặc cos x, tan x) và giải phương trình bậc hai theo t.
- Bước 3: Đối chiếu điều kiện |t| ≤ 1 (với sin, cos), loại nghiệm không thỏa mãn.
- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản với t thỏa mãn, viết họ nghiệm đầy đủ với k ∈ ℤ.
Dạng 2: Cấp số cộng và cấp số nhân
- Bước 1: Xác định u1 và d (cấp số cộng) hoặc q (cấp số nhân) từ giả thiết.
- Bước 2: Áp dụng công thức số hạng tổng quát để tìm số hạng cần thiết.
- Bước 3: Áp dụng công thức tổng để tính Sn khi cần.
- Bước 4: Với bài toán thực tế (lãi kép, tăng trưởng), xác định đây là cấp số nhân với công bội q = 1 + r%.
Dạng 3: Thống kê mẫu số liệu ghép nhóm
- Bước 1: Tính giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung bình hai đầu mút).
- Bước 2: Tính số trung bình bằng công thức trung bình cộng có trọng số.
- Bước 3: Để tìm trung vị/tứ phân vị, tính tần số tích lũy, xác định nhóm chứa giá trị cần tìm, áp dụng công thức.
- Bước 4: Kiểm tra tính hợp lý: trung vị phải nằm trong nhóm đã xác định.
Dạng 4: Hình học không gian (chứng minh song song)
- Bước 1: Vẽ hình rõ ràng, xác định các yếu tố đã cho.
- Bước 2: Để chứng minh đường thẳng // mặt phẳng: tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với đường thẳng đã cho.
- Bước 3: Để tìm giao tuyến: tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.
- Bước 4: Để tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng: tìm giao điểm của đường thẳng với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
Dạng 5: Giới hạn
- Bước 1: Xác định dạng giới hạn (0/0, ∞/∞, số/không xác định).
- Bước 2: Nếu là dạng 0/0 với hàm phân thức: phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn nhân tử chung.
- Bước 3: Nếu là dạng ∞/∞: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất.
- Bước 4: Thay giá trị vào sau khi đã khử dạng vô định.
5 lỗi mất điểm oan thường gặp
Lỗi 1: Quên điều kiện |t| ≤ 1 khi đặt ẩn phụ. Giải phương trình bậc hai ra t = 2 rồi kết luận có nghiệm mà không loại. Cách tránh: sau khi giải ra t, kiểm tra ngay điều kiện trước khi giải tiếp.
Lỗi 2: Nhầm công thức số hạng tổng quát. Viết un = u1 + n·d (thừa 1) thay vì (n − 1)·d. Cách tránh: nhớ u1 ứng với n = 1, thay n = 1 vào công thức để kiểm tra.
Lỗi 3: Quên chia cho 2 trong công thức tổng cấp số cộng. Tính Sn = n(u1 + un) mà quên /2. Cách tránh: viết đầy đủ công thức ra giấy nháp.
Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa đường thẳng song song và đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Kết luận d // (P) trong khi d ⊂ (P). Cách tránh: kiểm tra xem đường thẳng có điểm nào thuộc mặt phẳng không.
Lỗi 5: Không khử dạng vô định trước khi thay số. Thay x = 1 vào (x³ − 1)/(x² − 1) được 0/0 rồi kết luận giới hạn bằng 0. Cách tránh: luôn phân tích thành nhân tử và rút gọn trước.
Lịch ôn tập 2 tuần trước kỳ thi
| Ngày | Nội dung ôn tập | Việc cần làm |
|---|---|---|
| Ngày 1–2 | Chương 1: Giá trị lượng giác, công thức lượng giác | Học thuộc các công thức cộng, nhân đôi, biến đổi; làm 15 bài tập rút gọn và tính giá trị |
| Ngày 3–4 | Chương 1: Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác | Nắm tập xác định, chu kì; luyện giải 15 phương trình các dạng |
| Ngày 5–6 | Chương 2: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân | Thuộc công thức un, Sn; làm 15 bài tập + 3 bài toán thực tế |
| Ngày 7 | Chương 3: Thống kê ghép nhóm | Luyện tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt; làm 10 bài tập |
| Ngày 8–9 | Chương 4: Quan hệ song song trong không gian | Vẽ hình thành thạo; luyện chứng minh song song, tìm giao tuyến; làm 12 bài tập |
| Ngày 10–11 | Chương 5: Giới hạn, hàm số liên tục | Luyện tính giới hạn các dạng; xét tính liên tục; làm 15 bài tập |
| Ngày 12 | Làm Đề thi mẫu số 1 | Bấm giờ đúng 90 phút, chấm điểm, ghi lại các lỗi sai vào sổ |
| Ngày 13 | Làm Đề thi mẫu số 2 + chữa lỗi | Bấm giờ 90 phút; ôn lại toàn bộ lỗi đã ghi trong sổ |
| Ngày 14 | Tổng ôn nhẹ nhàng | Đọc lại công thức, xem lại 5 lỗi mất điểm oan, nghỉ ngơi sớm để mai thi tỉnh táo |
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Đề thi học kì 1 Toán 11 có khó không?
Không quá khó nếu bạn ôn đúng trọng tâm. Khoảng 70% số điểm nằm ở mức nhận biết và thông hiểu (nhớ công thức, áp dụng trực tiếp), chỉ khoảng 30% ở mức vận dụng và vận dụng cao. Nắm chắc công thức và làm đủ các dạng bài trong hai đề mẫu trên là bạn đã có thể đạt điểm 8 trở lên.
Chương nào quan trọng nhất trong đề thi?
Chương 1 (Lượng giác) và Chương 4 (Hình học không gian) thường chiếm tỉ trọng lớn nhất vì có nhiều dạng bài và tính phân loại cao. Chương 2 (Cấp số) và Chương 5 (Giới hạn) cũng quan trọng không kém. Chương 3 (Thống kê) thường chỉ có 1–2 câu nhưng là câu "ăn điểm" nếu bạn thuộc công thức.
Làm thế nào để không nhầm lẫn các công thức lượng giác?
Hãy học theo nhóm: nhóm công thức cộng (4 công thức), nhóm nhân đôi (3 công thức), nhóm hạ bậc (2 công thức), nhóm biến đổi tích-thành-tổng và tổng-thành-tích. Mỗi ngày viết lại một nhóm ra giấy mà không nhìn sách, sau 1 tuần bạn sẽ thuộc lòng.
Bài hình học không gian nên trình bày như thế nào để được điểm tối đa?
Trình bày theo 3 bước: (1) Vẽ hình rõ ràng, kí hiệu đầy đủ; (2) Nêu rõ cơ sở lí thuyết (định lí, dấu hiệu đang áp dụng); (3) Trình bày lập luận logic từng bước. Giám khảo chấm theo ý, thiếu ý nào mất điểm ý đó, nên đừng bỏ qua bước nào dù là hiển nhiên.
Có được dùng máy tính cầm tay trong giờ thi không?
Có. Với các bài tính giá trị lượng giác, tính tổng cấp số, tính giới hạn số, máy tính là công cụ hỗ trợ đắc lực. Tuy nhiên, bạn phải trình bày các bước biến đổi, không chỉ ghi đáp số — vì phần tự luận chấm theo quá trình.
Nên phân bổ 90 phút làm bài như thế nào?
Gợi ý: 20 phút cho 12 câu trắc nghiệm Phần I (hơn 1,5 phút/câu), 15 phút cho 2 câu đúng-sai Phần II, 15 phút cho 4 câu trả lời ngắn Phần III, 35 phút cho 3 câu tự luận Phần IV, 5 phút cuối kiểm tra lại. Đừng "ôm" một câu khó quá lâu mà bỏ lỡ những câu dễ phía sau.
Kết luận
Kỳ thi học kì 1 Toán 11 theo chương trình mới kiểm tra toàn diện 5 chương: từ lượng giác, dãy số, thống kê đến hình học không gian và giới hạn. Bí quyết đạt điểm cao gói gọn trong ba việc: học thuộc chính xác công thức của từng chương, luyện đủ các dạng bài tập (đặc biệt là phương trình lượng giác, cấp số, chứng minh song song và tính giới hạn), và tránh 5 lỗi mất điểm oan đã liệt kê ở trên.
Hãy in hai đề thi mẫu trong bài ra, bấm giờ làm nghiêm túc như thi thật, rồi đối chiếu đáp án và lời giải chi tiết để rút kinh nghiệm. Chúc bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới! Đừng quên theo dõi thêm các tài liệu ôn tập môn Toán tại chuyên mục Tin tức – ClassOn để cập nhật đề thi mới nhất.