Một tờ giấy mỏng chỉ dày 0,1 mm. Gấp đôi nó một lần, độ dày thành 0,2 mm. Gấp đôi lần nữa, 0,4 mm. Gấp đôi lần nữa, 0,8 mm. Cứ gấp đôi mãi như vậy, sau 10 lần gấp, tờ giấy dày bao nhiêu? Nhiều bạn đoán "chắc vài milimét thôi". Đáp án thật khiến ai cũng giật mình: sau 10 lần gấp đôi, độ dày là 0,1 × 2¹⁰ = 102,4 mm, tức hơn 10 cm — dày hơn cả một cuốn sách giáo khoa. Còn sau 30 lần gấp đôi, con số sẽ vượt cả chiều cao của đỉnh Everest. Đó chính là sức mạnh của phép nhân lặp lại, và Toán học gọi dãy số tăng theo kiểu "lần sau gấp mấy lần lần trước" này là cấp số nhân.
Bài viết này giúp bạn nắm chắc công thức cấp số nhân: từ khái niệm, công bội, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng, đến cách nhận ra cấp số nhân trong đề thi và những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất. Đọc xong, bạn sẽ giải được mọi bài toán cấp số nhân trong chương trình Toán lớp 11 một cách tự tin, kể cả những bài "trá hình" mà đề không nói thẳng đó là cấp số nhân.
Cấp số nhân là gì? Nhìn một lần là nhận ra
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai trở đi) đều bằng số hạng ngay trước nó nhân với một số không đổi. Số không đổi đó gọi là công bội, ký hiệu là q. Nói ngắn gọn: trong cấp số nhân, tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng nhau và bằng q.
Ví dụ, dãy số 2, 6, 18, 54, 162, ... là một cấp số nhân vì 6 : 2 = 3, 18 : 6 = 3, 54 : 18 = 3, 162 : 54 = 3. Công bội q = 3. Dãy số 100, 50, 25, 12,5, ... cũng là cấp số nhân, với q = 0,5 vì mỗi số hạng sau bằng một nửa số hạng trước. Dãy số 3, −6, 12, −24, 48, ... là cấp số nhân với q = −2: dấu của các số hạng đổi liên tục, nhưng tỉ số vẫn không đổi.
Để nhận ra một dãy có phải là cấp số nhân hay không, bạn chỉ cần lấy hai số hạng liên tiếp bất kỳ chia cho nhau, rồi kiểm tra xem tỉ số đó có giống nhau ở mọi vị trí hay không. Chỉ cần một chỗ khác đi là dãy đó không phải cấp số nhân. Ví dụ dãy 2, 4, 8, 15, ... không phải cấp số nhân vì 4 : 2 = 2, 8 : 4 = 2, nhưng 15 : 8 = 1,875, khác 2. Chỉ một số hạng "lạc điệu" thôi là đủ phá vỡ cả dãy.
Cần phân biệt rõ cấp số nhân với cấp số cộng — hai "người anh em" hay xuất hiện cùng nhau trong đề thi. Ở cấp số cộng, số hạng sau bằng số hạng trước cộng một số không đổi (gọi là công sai d). Ở cấp số nhân, số hạng sau bằng số hạng trước nhân một số không đổi (gọi là công bội q). Bạn có thể xem thêm công thức cấp số cộng để so sánh hai loại dãy này cho thật rõ. Một mẹo nhớ nhanh: cộng thì hiệu không đổi, nhân thì tỉ số không đổi.
Số hạng tổng quát trong công thức cấp số nhân: un = u₁ · qn−1
Đây là công thức quan trọng nhất của cấp số nhân. Trong đó u₁ là số hạng đầu tiên của dãy, q là công bội, n là vị trí của số hạng cần tìm (n = 1, 2, 3, ...), còn un là số hạng thứ n. Công thức nói rằng: muốn tìm số hạng thứ n, bạn lấy số hạng đầu nhân với q lũy thừa n − 1.
Vì sao lại là lũy thừa n − 1 mà không phải lũy thừa n? Hãy viết dãy ra và đếm số lần nhân: u₂ = u₁ · q (nhân 1 lần), u₃ = u₂ · q = u₁ · q² (nhân 2 lần), u₄ = u₁ · q³ (nhân 3 lần). Quy luật hiện ra rất rõ: số hạng thứ n đã trải qua đúng n − 1 lần nhân với q. Số hạng đầu u₁ chưa nhân lần nào, nên lũy thừa của nó là 0, và q⁰ = 1, khớp hoàn toàn với công thức.
Một hệ quả rất hay dùng trong bài tập: nếu biết hai số hạng bất kỳ um và un thì tỉ số của chúng bằng q lũy thừa hiệu số vị trí, tức là un = um · qn−m. Ví dụ, biết u₃ = 18 và q = 3 thì u₆ = u₃ · q³ = 18 · 27 = 486. Công thức này giúp bạn không cần quay về u₁ mỗi lần tính toán, tiết kiệm rất nhiều thời gian trong phòng thi.
| Ký hiệu | Ý nghĩa | Lưu ý |
|---|---|---|
| u₁ | Số hạng đầu tiên của dãy | Có thể là số âm, phân số, số thập phân |
| q | Công bội — tỉ số hai số hạng liên tiếp | q ≠ 0; q = 1 thì mọi số hạng bằng nhau |
| n | Vị trí của số hạng cần tìm | n là số nguyên dương: 1, 2, 3, ... |
| un | Số hạng thứ n | un = u₁ · qn−1 |
| Sn | Tổng n số hạng đầu tiên | Xem công thức tổng ở mục dưới |
Ba trường hợp đặc biệt của công bội q rất đáng nhớ. Khi q > 1, dãy tăng rất nhanh (2, 6, 18, 54, ...). Khi 0 < q < 1, dãy giảm dần về 0 (100, 50, 25, 12,5, ...). Khi q < 0, các số hạng đổi dấu liên tiếp, dãy "nhảy" lên xuống quanh số 0 (3, −6, 12, −24, ...). Khi q = 1, dãy là dãy hằng: mọi số hạng đều bằng u₁. Khi q = 0 thì từ số hạng thứ hai trở đi mọi số hạng đều bằng 0 — trường hợp này hiếm khi xuất hiện trong đề thi.
Tổng n số hạng đầu theo công thức cấp số nhân: Sn = u₁ · (qn − 1)/(q − 1)
Khi đề bài hỏi tổng của n số hạng đầu tiên, bạn không cần cộng từng số hạng một (vừa lâu vừa dễ sai). Công thức tổng của cấp số nhân là Sn = u₁ · (qn − 1)/(q − 1), áp dụng khi q ≠ 1. Nếu q = 1 thì mọi số hạng đều bằng u₁ nên tổng đơn giản là Sn = n · u₁.
Công thức này xuất phát từ một mẹo biến đổi rất đẹp. Viết tổng Sn = u₁ + u₁q + u₁q² + ... + u₁qn−1. Nhân cả hai vế với q, ta được q·Sn = u₁q + u₁q² + ... + u₁qn. Trừ hai đẳng thức cho nhau, hầu hết các số hạng ở giữa triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn Sn − q·Sn = u₁ − u₁qn, tức là Sn·(1 − q) = u₁·(1 − qn). Chia hai vế cho (1 − q) ta được công thức tổng quen thuộc, viết lại dưới dạng Sn = u₁ · (qn − 1)/(q − 1). Bạn không cần thuộc lòng phần chứng minh, nhưng hiểu được nó sẽ giúp bạn nhớ công thức lâu hơn rất nhiều, vì bạn biết nó từ đâu mà ra.
Một lưu ý nhỏ mà nhiều bạn hay nhầm: trong công thức tổng, lũy thừa của q là n (số số hạng), còn trong công thức số hạng tổng quát, lũy thừa của q là n − 1. Đừng lẫn hai con số này với nhau. Mẹo nhớ: tính "số hạng thứ n" thì trừ 1, tính "tổng n số hạng" thì giữ nguyên n.
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ tư và tổng bốn số hạng đầu
Đề bài: Cho cấp số nhân có u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính u₄ và S₄.
Lời giải: Áp dụng công thức số hạng tổng quát un = u₁ · qn−1. Với n = 4, ta có u₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54.
Tổng bốn số hạng đầu: S₄ = u₁ · (q⁴ − 1)/(q − 1) = 2 · (81 − 1)/(3 − 1) = 2 · 80/2 = 80.
Kiểm tra lại bằng cách cộng trực tiếp: bốn số hạng đầu của dãy là u₁ = 2, u₂ = 2 · 3 = 6, u₃ = 6 · 3 = 18, u₄ = 54. Cộng lại: 2 + 6 + 18 + 54 = 80. Trùng khớp với kết quả từ công thức, chứng tỏ cả hai công thức đều đúng. Thói quen kiểm tra lại bằng cách liệt kê vài số hạng đầu rất hữu ích, nhất là khi bạn không chắc mình đã thay đúng số mũ hay chưa.
Ví dụ 2: Cấp số nhân tăng nhanh — tìm số hạng thứ năm
Đề bài: Một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 2. Tính u₅ và S₅.
Lời giải: Số hạng thứ năm: u₅ = u₁ · q⁴ = 5 · 2⁴ = 5 · 16 = 80. Tổng năm số hạng đầu: S₅ = 5 · (2⁵ − 1)/(2 − 1) = 5 · (32 − 1)/1 = 5 · 31 = 155.
Kiểm tra: năm số hạng đầu là 5, 10, 20, 40, 80. Cộng lại: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155. Đúng. Bạn thấy không, chỉ sau 5 số hạng mà số hạng cuối đã gấp 16 lần số hạng đầu — đó là lý do người ta nói cấp số nhân với q > 1 "tăng theo cấp số nhân" (tăng bùng nổ). Hiện tượng này xuất hiện khắp nơi trong đời sống: vi khuẩn phân đôi mỗi 20 phút, tiền gửi lãi kép, hay số người chia sẻ một bài viết lan truyền trên mạng.
Ví dụ 3: Công bội là phân số — dãy giảm dần
Đề bài: Cho cấp số nhân có u₁ = 16 và q = 1/2. Tính u₄ và S₄.
Lời giải: Số hạng thứ tư: u₄ = 16 · (1/2)³ = 16 · 1/8 = 2. Tổng bốn số hạng đầu: S₄ = 16 · ((1/2)⁴ − 1)/(1/2 − 1) = 16 · (1/16 − 1)/(−1/2) = 16 · (−15/16)/(−1/2) = 15 : (1/2) = 30.
Kiểm tra: bốn số hạng đầu là 16, 8, 4, 2. Cộng lại: 16 + 8 + 4 + 2 = 30. Đúng. Ví dụ này cho thấy một tính chất thú vị: khi 0 < q < 1, tổng của dãy tăng chậm dần và tiến tới một giới hạn. Tổng của vô hạn số hạng trong trường hợp này là S = u₁/(1 − q) = 16/(1 − 1/2) = 32 — nghĩa là dù cộng mãi, tổng cũng không bao giờ vượt quá 32. Bạn sẽ học kỹ công thức tổng vô hạn này ở phần sau của chương dãy số.
Ví dụ 4: Công bội âm — dãy đổi dấu liên tiếp
Đề bài: Cho cấp số nhân có u₁ = 3 và q = −2. Tính u₄ và S₄.
Lời giải: Số hạng thứ tư: u₄ = 3 · (−2)³ = 3 · (−8) = −24. Tổng bốn số hạng đầu: S₄ = 3 · ((−2)⁴ − 1)/(−2 − 1) = 3 · (16 − 1)/(−3) = 3 · 15/(−3) = −15.
Kiểm tra: bốn số hạng đầu là 3, −6, 12, −24. Cộng lại: 3 − 6 + 12 − 24 = −15. Đúng. Bài này nhắc bạn một điều quan trọng: khi q âm, lũy thừa chẵn của q cho kết quả dương, lũy thừa lẻ cho kết quả âm. Vì vậy khi tính q³, q⁴, q⁵, bạn phải hết sức cẩn thận với dấu. Nhiều bạn tính đúng độ lớn nhưng sai dấu chỉ vì quên mất q đang âm. Mẹo nhỏ: viết dấu ngoặc đầy đủ, (−2)³ = −8, (−2)⁴ = 16, rồi mới nhân với u₁.
Lỗi sai thường gặp khi làm bài cấp số nhân
Lỗi 1: Nhầm số mũ n − 1 thành n. Đây là lỗi phổ biến nhất. Tìm u₄ mà dùng q⁴ thay vì q³ thì kết quả sai gấp q lần. Cách tránh: luôn viết công thức ra giấy nháp trước khi thay số, un = u₁ · qn−1, rồi mới thay n = 4 vào để thấy rõ số mũ là 3.
Lỗi 2: Nhầm lẫn công bội với công sai. Thấy dãy 2, 6, 18, 54 mà tính hiệu 6 − 2 = 4 rồi cộng tiếp thì hoàn toàn sai hướng. Trước khi làm bài, hãy hỏi: dãy này cộng đều hay nhân đều? Lấy hai số hạng liên tiếp chia cho nhau, nếu tỉ số không đổi thì đó là cấp số nhân.
Lỗi 3: Quên điều kiện q ≠ 1 khi dùng công thức tổng. Với q = 1, mẫu số q − 1 bằng 0 nên công thức tổng không dùng được. Khi đó dãy là dãy hằng và Sn = n · u₁. Đề thi đôi khi cố tình cho q = 1 để "bẫy" những bạn áp dụng công thức một cách máy móc.
Lỗi 4: Sai dấu khi công bội âm. Như ví dụ 4 đã chỉ ra, (−2)³ = −8 nhưng (−2)⁴ = 16. Hãy viết lũy thừa ra từng bước, đừng tính nhẩm khi q âm và số mũ lớn.
Lỗi 5: Tính tổng bằng cách cộng từng số hạng khi n lớn. Với n = 20 hay n = 50, cộng tay vừa lâu vừa dễ sai. Công thức tổng sinh ra chính là để giải quyết việc đó. Hãy tập dùng công thức tổng ngay cả khi n nhỏ, để thành thạo rồi áp dụng cho n lớn.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho cấp số nhân có u₁ = 4, q = 3. Tính u₅.
Đáp án: u₅ = 4 · 3⁴ = 4 · 81 = 324. Giải thích: số hạng thứ năm ứng với lũy thừa 5 − 1 = 4, 3⁴ = 81, nhân với 4 được 324.
Câu 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 4, q = 3. Tính S₅.
Đáp án: S₅ = 4 · (3⁵ − 1)/(3 − 1) = 4 · (243 − 1)/2 = 4 · 121 = 484. Giải thích: 3⁵ = 243, trừ 1 được 242, chia cho 2 được 121, nhân với 4 được 484. Kiểm tra nhanh: 4 + 12 + 36 + 108 + 324 = 484, đúng.
Câu 3: Dãy số 7, 14, 28, 56, ... có phải là cấp số nhân không? Nếu có, tìm công bội và số hạng thứ sáu.
Đáp án: Có, vì 14 : 7 = 2, 28 : 14 = 2, 56 : 28 = 2, công bội q = 2. Số hạng thứ sáu: u₆ = 7 · 2⁵ = 7 · 32 = 224. Giải thích: tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng 2 nên đây là cấp số nhân.
Câu 4: Một cấp số nhân có u₂ = 12 và u₃ = 36. Tìm u₁, q và u₅.
Đáp án: q = u₃ : u₂ = 36 : 12 = 3; u₁ = u₂ : q = 12 : 3 = 4; u₅ = u₃ · q² = 36 · 9 = 324. Giải thích: từ hai số hạng liên tiếp ta tìm được q, rồi lùi một bước để tìm u₁, rồi tiến hai bước từ u₃ để tìm u₅.
Câu 5: Một người gửi tiết kiệm với số tiền lãi mỗi năm gấp 1,06 lần năm trước. Năm đầu tiên tiền lãi là 6 triệu đồng. Hỏi tiền lãi năm thứ tư là bao nhiêu, và tổng tiền lãi 4 năm đầu là bao nhiêu?
Đáp án: Tiền lãi các năm lập thành cấp số nhân với u₁ = 6, q = 1,06. Năm thứ tư: u₄ = 6 · 1,06³ = 6 · 1,191016 = 7,146096 ≈ 7,15 triệu đồng. Tổng 4 năm: S₄ = 6 · (1,06⁴ − 1)/(1,06 − 1) = 6 · (1,262477 − 1)/0,06 = 6 · 4,374617 ≈ 26,25 triệu đồng. Giải thích: đây chính là bài toán lãi kép trong thực tế — bạn có thể đọc thêm về công thức tính lãi kép để thấy cấp số nhân "sống" ngoài đời như thế nào.
Câu hỏi thường gặp về công thức cấp số nhân
Cấp số nhân khác cấp số cộng ở điểm nào?
Cấp số cộng cộng thêm một số không đổi (công sai d) sau mỗi bước, còn cấp số nhân nhân thêm một số không đổi (công bội q). Hệ quả là cấp số cộng tăng đều, còn cấp số nhân tăng ngày càng nhanh (khi q > 1) hoặc giảm dần về 0 (khi 0 < q < 1). Nhận biết bằng cách kiểm tra: hiệu không đổi thì là cấp số cộng, tỉ số không đổi thì là cấp số nhân.
Công bội q có thể bằng 0 hoặc bằng 1 không?
Có thể, nhưng hai trường hợp này không thú vị lắm. Với q = 1, mọi số hạng đều bằng u₁, dãy là dãy hằng. Với q = 0, từ số hạng thứ hai trở đi mọi số hạng đều bằng 0. Trong đề thi, q thường là một số khác 0 và khác 1 để bài toán có ý nghĩa.
Vì sao công thức số hạng tổng quát dùng lũy thừa n − 1?
Vì số hạng đầu u₁ chưa nhân với q lần nào, số hạng thứ hai nhân 1 lần, số hạng thứ ba nhân 2 lần... Số hạng thứ n đã nhân đúng n − 1 lần. Nếu dùng lũy thừa n thì ngay cả u₁ cũng bị nhân thêm một lần q, là sai.
Khi nào dùng công thức tổng, khi nào cộng trực tiếp?
Khi n nhỏ (3–5 số hạng), cộng trực tiếp vừa nhanh vừa là cách kiểm tra lại kết quả. Khi n lớn (từ 6–7 trở lên), bắt buộc dùng công thức tổng Sn = u₁ · (qn − 1)/(q − 1) để tránh sai sót và tiết kiệm thời gian.
Cấp số nhân xuất hiện ở đâu ngoài sách giáo khoa?
Rất nhiều nơi: vi khuẩn phân đôi, lãi kép ngân hàng, sự lan truyền của một tin tức trên mạng xã hội, độ dày tờ giấy gấp đôi, hay lượng thuốc còn lại trong cơ thể sau mỗi chu kỳ bán hủy. Hễ có một đại lượng "mỗi bước nhân với cùng một hệ số" thì đó là cấp số nhân. Khi gặp bài toán thực tế mà các số liệu tăng (hoặc giảm) theo tỉ lệ cố định, hãy nghĩ ngay đến cấp số nhân.
Kết luận
Công thức cấp số nhân gói gọn trong hai công thức: số hạng tổng quát un = u₁ · qn−1 và tổng n số hạng đầu Sn = u₁ · (qn − 1)/(q − 1) (với q ≠ 1). Chỉ cần nhớ được ý nghĩa của từng ký hiệu — u₁ là số hạng đầu, q là công bội, n là vị trí — và phân biệt được số mũ n − 1 với số mũ n, bạn đã nắm được phần lớn chương dãy số lớp 11.
Muốn giỏi cấp số nhân, không có cách nào khác ngoài luyện tập: mỗi ngày làm thêm vài bài, thử kiểm tra kết quả bằng cách liệt kê số hạng, và tập nhận ra cấp số nhân trong các bài toán thực tế quanh mình. Nếu cần máy tính hỗ trợ tính lũy thừa hay kiểm tra đáp án nhanh, bạn có thể dùng máy tính Casio online miễn phí của ClassOn. Và khi đã vững cấp số nhân, hãy thử sức với các đề tổng hợp trong ngân hàng đề thi để xem mình làm được bao nhiêu câu trong thời gian quy định. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới.