Chiều nay, bạn và em cùng làm bánh. Công thức ghi cần 3/4 cốc bột mì, nhưng trong hộp chỉ còn 1/2 cốc. Hỏi còn thiếu bao nhiêu bột? Mẹ đi chợ mua thêm 2/3 cốc nữa, vậy là trong hộp có tất cả bao nhiêu cốc? Rồi công thức lại dặn: lấy 2/3 lượng bột trong hộp để làm phần đế bánh — hỏi cần lấy ra bao nhiêu? Chỉ trong một buổi làm bánh, bạn đã chạm tới cả bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số hữu tỉ. Tin vui là: bốn phép tính này không hề mới. Chúng chính là bốn phép tính với phân số mà bạn đã học ở lớp 6, chỉ khác là giờ đây các con số có thể mang dấu âm, và chúng có một cái tên mới: số hữu tỉ.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", Bài 2 của Chương I dạy đúng bốn phép tính này. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng a/b, với a và b là số nguyên, b khác 0 — nghĩa là mọi phân số, mọi số nguyên, mọi số thập phân hữu hạn đều là số hữu tỉ. Vì vậy, muốn cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, bạn chỉ cần viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng đúng quy tắc đã học về phép toán với phân số, cộng thêm một chút cẩn thận với dấu. Học xong bài này, bạn sẽ tính được tiền lãi, tiền giảm giá, nhiệt độ tăng giảm, và cả những bài toán chia phần trong đời sống — tất cả đều là số hữu tỉ.
1. Cộng và trừ số hữu tỉ: đưa về cùng mẫu số rồi cộng trừ tử số
Muốn cộng hay trừ hai số hữu tỉ, bạn viết chúng dưới dạng phân số rồi làm đúng như cộng, trừ phân số ở lớp 6. Với hai số hữu tỉ x = a/m và y = b/m có cùng mẫu số dương m, công thức rất gọn: x + y = a/m + b/m = (a + b)/m và x − y = a/m − b/m = (a − b)/m. Nghĩa là: giữ nguyên mẫu số, cộng hoặc trừ hai tử số với nhau. Ví dụ trong brief của bài: (−1/2) + 3/4 = (−2/4) + 3/4 = (−2 + 3)/4 = 1/4. Bạn thấy không, chỉ cần đổi −1/2 thành −2/4 cho cùng mẫu 4, rồi cộng hai tử số −2 + 3 = 1 là xong.
Nếu hai số khác mẫu số, bạn quy đồng mẫu số trước — mẫu chung tốt nhất là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu. Ví dụ 2/3 − 5/6: mẫu chung là 6, đổi 2/3 thành 4/6, rồi 4/6 − 5/6 = (4 − 5)/6 = −1/6. Kết quả âm là chuyện bình thường: khi số trừ lớn hơn số bị trừ thì hiệu mang dấu âm. Một mẹo quan trọng: phép trừ chính là phép cộng với số đối, tức a − b = a + (−b). Nhờ mẹo này, mọi phép trừ đều biến thành phép cộng, và bạn có thể dùng thoải mái các tính chất của phép cộng để tính nhanh. Ví dụ 1/2 − (−3/4) = 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. Nhiều bạn quên đổi dấu khi gặp "trừ một số âm" — hãy nhớ: hai dấu trừ gặp nhau thành dấu cộng, giống như "kẻ thù của kẻ thù là bạn".
Còn số thập phân thì sao? Mọi số thập phân hữu hạn đều viết được thành phân số: 0,5 = 1/2; −0,25 = −1/4; 1,2 = 6/5. Vì vậy 0,5 + (−0,25) = 1/2 − 1/4 = 1/4 = 0,25. Trong thực hành, nếu cả hai số đều là số thập phân "đẹp" thì bạn cứ cộng trừ như số thập phân bình thường; nhưng khi gặp phân số lẫn số thập phân, đổi hết về phân số sẽ an toàn hơn. Và đừng quên rút gọn kết quả cuối cùng: 4/6 phải viết thành 2/3, −18/12 phải viết thành −3/2. Một đáp số chưa rút gọn trong bài kiểm tra vẫn bị coi là chưa hoàn chỉnh.
2. Nhân hai số hữu tỉ: tử nhân tử, mẫu nhân mẫu, rút gọn trước cho nhẹ
Phép nhân số hữu tỉ còn dễ hơn phép cộng, vì bạn không cần quy đồng mẫu số. Công thức: với x = a/b và y = c/d thì x · y = a/b · c/d = (a × c)/(b × d). Tử nhân với tử, mẫu nhân với mẫu, thế thôi. Ví dụ trong brief: 2/3 · (−9/4) = −(2 × 9)/(3 × 4) = −18/12 = −3/2. Nhưng người tính nhanh không bao giờ nhân thẳng rồi mới rút gọn. Họ rút gọn chéo TRƯỚC khi nhân: 2 với 4 rút gọn còn 1 và 2, 9 với 3 rút gọn còn 3 và 1, phép tính trở thành 1/1 · (−3/2) = −3/2. Bạn thấy đấy, rút gọn chéo biến phép nhân hai phân số "xấu" thành một phép nhân nhẩm trong đầu.
Quy tắc dấu của phép nhân rất dễ nhớ: hai số cùng dấu thì tích dương, hai số khác dấu thì tích âm. (−2/3) · (−5/7) = 10/21 vì âm nhân âm ra dương; (2/3) · (−5/7) = −10/21 vì dương nhân âm ra âm. Khi nhân nhiều thừa số, bạn chỉ cần đếm số thừa số âm: số lượng âm là chẵn thì tích dương, là lẻ thì tích âm. Ví dụ (−1/2) · (−2/3) · (−3/4) có ba thừa số âm (lẻ) nên tích âm, bằng −(1 × 2 × 3)/(2 × 3 × 4) = −6/24 = −1/4. Mẹo này giúp bạn viết dấu ngay từ đầu, khỏi phải lần mò dấu ở từng bước.
Một lưu ý nhỏ nhưng nhiều bạn hay vấp: nhân một số hữu tỉ với số nguyên thì viết số nguyên dưới dạng phân số có mẫu 1. Ví dụ 3 · (−2/5) = 3/1 · (−2/5) = −6/5. Và nhân với số thập phân thì đổi số thập phân thành phân số: 0,5 · (−0,2) = 1/2 · (−1/5) = −1/10. Nếu bạn đã học về phép nhân hai số nguyên thì sẽ thấy quy tắc dấu ở đây giống hệt — vì số nguyên cũng là số hữu tỉ, nên mọi quy tắc đều nối tiếp nhau, không có gì phải học lại từ đầu.
3. Chia hai số hữu tỉ: lật ngược số chia rồi nhân
Phép chia số hữu tỉ có một "chiêu" duy nhất mà bạn phải thuộc lòng: muốn chia cho một số, bạn nhân với số nghịch đảo của nó. Công thức: với x = a/b và y = c/d (y khác 0) thì x : y = a/b : c/d = a/b · d/c = (a × d)/(b × c). Số nghịch đảo của c/d là d/c — tức là lật ngược tử và mẫu cho nhau. Ví dụ (−3/4) : (5/6) = (−3/4) · (6/5) = −18/20 = −9/10. Rút gọn chéo trước khi nhân sẽ nhẹ hơn nhiều: rút gọn 6 (tử) với 4 (mẫu) thành 3 và 2, phép tính còn (−3 × 3)/(2 × 5) = −9/10. Chú ý: chỉ được rút gọn một thừa số ở tử với một thừa số ở mẫu — không bao giờ rút gọn tử với tử hay mẫu với mẫu.
Quy tắc dấu của phép chia giống hệt phép nhân: cùng dấu ra dương, khác dấu ra âm. Ví dụ 2/5 : (−4/15) = 2/5 · (−15/4) = −30/20 = −3/2. Và có hai điều cấm kỵ bạn phải nhớ: thứ nhất, không bao giờ chia cho 0 — phép chia cho 0 không xác định; thứ hai, khi chia, chỉ lật ngược SỐ CHIA, không lật số bị chia. Đây là lỗi kinh điển: nhiều bạn thấy phép chia là lật luôn cả hai số. Hãy ghi nhớ bằng câu thần chú: "chia thì lật số sau, số trước đứng yên".
4. Quy tắc dấu và bí kíp tính nhanh: gom số đối, gom mẫu chung
Bốn phép tính trên đã đủ để bạn tính mọi bài toán, nhưng muốn tính NHANH thì cần thêm hai bí kíp. Bí kíp thứ nhất là gom số đối: hai số đối nhau cộng lại bằng 0, nên khi thấy một cặp số đối nhau trong một tổng dài, bạn gom chúng lại trước. Ví dụ (−2/3) + 5/7 + 2/3 = (−2/3 + 2/3) + 5/7 = 0 + 5/7 = 5/7. Chỉ một cái nhìn là bạn đã "xóa" được hai số. Bí kíp thứ hai là gom các số có cùng mẫu: ví dụ 1/4 + 2/5 + 3/4 = (1/4 + 3/4) + 2/5 = 1 + 2/5 = 7/5. Nhờ tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng — mà bạn đã gặp ở bài về tính chất phép cộng số tự nhiên — bạn được đổi chỗ và đổi nhóm thoải mái trong phép cộng và phép nhân.
Với phép nhân, bí kíp tính nhanh là tìm cặp nghịch đảo: hai số nghịch đảo nhân nhau bằng 1. Ví dụ 4/7 · (−5/9) · (−7/4): nhìn thấy 4/7 và −7/4 là hai số đối nhau của một cặp nghịch đảo, gom chúng trước: 4/7 · (−7/4) = −1, rồi −1 · (−5/9) = 5/9. Chỉ hai bước là xong, trong khi nhân thẳng bạn phải tính 140/252 rồi rút gọn. Một bí kíp nữa: khi gặp biểu thức vừa cộng vừa nhân, hãy xem có thừa số chung để đặt ra ngoài không — đó là tính chất phân phối: 7/12 · 3/5 + 7/12 · 2/5 = 7/12 · (3/5 + 2/5) = 7/12 · 1 = 7/12. Bạn nào nắm được ba bí kíp này thì các bài tính nhanh trong đề kiểm tra sẽ trở thành "món quà điểm số".
Cuối cùng, hãy nhớ thứ tự thực hiện phép tính — giống hệt như với số nguyên và phân số: trong ngoặc trước, rồi đến lũy thừa, rồi nhân và chia, cuối cùng mới cộng và trừ. Ví dụ (3/4 − 1/2) : (−5/8) thì tính trong ngoặc trước được 1/4, rồi mới chia: 1/4 : (−5/8) = −2/5. Bạn nào tính chia trước, ngoặc sau sẽ ra đáp số sai ngay. Và khi gặp biểu thức dài, hãy viết từng bước xuống giấy thay vì nhẩm trong đầu — đa số lỗi sai trong bài kiểm tra không phải vì không biết công thức, mà vì nhẩm tắt rồi lệch dấu.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính (−3/5) + 2/3 − 1/2.
Lời giải: Mẫu chung của 5, 3, 2 là 30. Đổi các phân số: −3/5 = −18/30; 2/3 = 20/30; 1/2 = 15/30. Cộng trừ tử số: (−18 + 20 − 15)/30 = −13/30. Vậy kết quả là −13/30. Bạn có thể kiểm tra nhanh: −3/5 ≈ −0,6; 2/3 ≈ 0,67; 1/2 = 0,5; −0,6 + 0,67 − 0,5 ≈ −0,43, mà −13/30 ≈ −0,43 — khớp nhau, yên tâm.
Ví dụ 2. Tính nhanh 4/7 · (−5/9) · (−7/4).
Lời giải: Gom 4/7 với (−7/4) trước vì chúng là cặp nghịch đảo đối dấu: 4/7 · (−7/4) = −28/28 = −1. Còn lại −1 · (−5/9) = 5/9. Vậy kết quả là 5/9. Nếu nhân thẳng: (4 · (−5) · (−7))/(7 · 9 · 4) = 140/252 = 5/9 — cùng đáp số nhưng dài hơn nhiều.
Ví dụ 3. Một cửa hàng buổi sáng bán được 2/5 số gạo, buổi chiều bán được 1/3 số gạo. Hỏi cuối ngày cửa hàng còn lại bao nhiêu phần số gạo?
Lời giải: Số gạo đã bán là 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15. Số gạo còn lại là 1 − 11/15 = 15/15 − 11/15 = 4/15. Vậy cửa hàng còn lại 4/15 số gạo. Dạng bài "còn lại bao nhiêu phần" này rất hay gặp trong đề kiểm tra: nhớ lấy 1 (toàn bộ) trừ đi phần đã dùng.
Ví dụ 4. Tính (3/4 − 1/2) : (−5/8).
Lời giải: Tính trong ngoặc trước: 3/4 − 1/2 = 3/4 − 2/4 = 1/4. Rồi chia: 1/4 : (−5/8) = 1/4 · (−8/5) = −8/20 = −2/5. Vậy kết quả là −2/5. Kiểm tra dấu: 1/4 dương chia cho −5/8 âm nên kết quả âm — đúng.
6. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: cộng tử với tử, mẫu với mẫu. Ví dụ 1/2 + 1/3 = 2/5 là sai hoàn toàn; đáp án đúng là 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Cộng phân số không bao giờ cộng mẫu số — mẫu số chỉ đổi khi quy đồng.
Lỗi thứ hai: quên đổi dấu khi trừ một số âm. Ví dụ 1/2 − (−1/4) mà tính thành 1/2 − 1/4 = 1/4 là sai; đáp án đúng là 1/2 + 1/4 = 3/4. Gặp "trừ số âm" thì đổi ngay thành "cộng số dương".
Lỗi thứ ba: chia thì lật nhầm số bị chia thay vì số chia. Ví dụ (2/3) : (4/5) mà tính thành (3/2) · (5/4) = 15/8 là sai; đáp án đúng là (2/3) · (5/4) = 10/12 = 5/6. Nhớ thần chú: "chia thì lật số sau, số trước đứng yên".
Lỗi thứ tư: rút gọn sai — rút gọn tử với tử hoặc mẫu với mẫu. Ví dụ (−3/4) · (6/5) mà rút gọn 3 với 6 (cả hai đều ở tử) rồi ra −1/10 là sai; đáp án đúng là −9/10. Chỉ được rút gọn một thừa số ở tử với một thừa số ở mẫu.
Lỗi thứ năm: quên rút gọn kết quả cuối cùng. Ví dụ tính ra −18/12 rồi dừng lại là chưa xong; đáp án đầy đủ phải là −3/2. Trong bài kiểm tra, đáp số chưa tối giản có thể bị trừ điểm trình bày.
7. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính (−2/3) + 5/6.
A. −1/6
B. 1/6
C. 3/2
D. −3/2
Câu 2. Tính 3/4 · (−8/9).
A. 2/3
B. −6/9
C. −2/3
D. −3/4
Câu 3. Tính (−5/6) : (10/9).
A. −4/3
B. 3/4
C. 4/3
D. −3/4
Câu 4. Tính nhanh 7/12 · 3/5 + 7/12 · 2/5.
A. 1
B. 7/5
C. 7/12
D. 12/7
Câu 5. Một vòi nước chảy được 1/4 bể trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được 1/6 bể trong 1 giờ. Hỏi sau 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được bao nhiêu phần bể?
A. 1/10
B. 5/12
C. 1/2
D. 7/12
8. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | D | C | B |
Câu 1 — Đáp án B. Quy đồng mẫu 6: −2/3 = −4/6, rồi −4/6 + 5/6 = (−4 + 5)/6 = 1/6. Đáp án A sai vì lấy −5/6 + 4/6 (đổi dấu nhầm cả hai số). Đáp án C sai vì cộng tử với tử, mẫu với mẫu: (−2 + 5)/(3 + 6) = 3/9 rồi rút gọn nhầm thành 3/2. Đáp án D sai vì quên đổi −2/3 về mẫu 6 mà cộng thẳng −2 + 5 = 3 rồi chia cho 2.
Câu 2 — Đáp án C. 3/4 · (−8/9) = −(3 × 8)/(4 × 9) = −24/36 = −2/3. Rút gọn chéo: 3 với 9 còn 1 và 3, 8 với 4 còn 2 và 1, thành −(1 × 2)/(1 × 3) = −2/3. Đáp án A sai vì quên dấu âm (dương nhân âm phải ra âm). Đáp án B sai vì nhân tử với mẫu lộn xộn: 3 × (−8) = −24 rồi viết nhầm thành −6/9. Đáp án D sai vì lấy −3/4 — đó là một thừa số trong bài, không phải kết quả.
Câu 3 — Đáp án D. (−5/6) : (10/9) = (−5/6) · (9/10) = −45/60 = −3/4. Rút gọn chéo: 5 với 10 còn 1 và 2, 9 với 6 còn 3 và 2, thành −(1 × 3)/(2 × 2) = −3/4. Đáp án A sai vì lật nhầm số bị chia: (−6/5) · (9/10). Đáp án B sai vì quên dấu âm. Đáp án C sai vì lấy nghịch đảo của đáp án đúng.
Câu 4 — Đáp án C. Hai tích có thừa số chung 7/12, đặt ra ngoài: 7/12 · (3/5 + 2/5) = 7/12 · 5/5 = 7/12 · 1 = 7/12. Đáp án A sai vì tưởng 3/5 + 2/5 = 1 thì cả bài bằng 1 — quên mất thừa số 7/12 đứng ngoài. Đáp án B sai vì cộng 7/12 với 1 rồi viết nhầm thành 7/5. Đáp án D sai vì lấy nghịch đảo của 7/12.
Câu 5 — Đáp án B. Sau 1 giờ cả hai vòi chảy được 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 bể. Đáp án A sai vì cộng mẫu số: 1/(4 + 6) = 1/10. Đáp án C sai vì đoán "mỗi vòi một nửa bể" mà không tính. Đáp án D sai vì cộng tử với tử, mẫu với mẫu: (1 + 1)/(4 + 6)... thực ra 1/4 + 1/6 mà cộng nhầm tử và mẫu riêng sẽ ra 2/10 = 1/5, còn 7/12 là kết quả của việc cộng nhầm 1/4 + 1/3 — tức là đọc nhầm đề.
9. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Cộng hai số hữu tỉ khác dấu thì dấu của kết quả tính thế nào?
Đáp: Lấy giá trị tuyệt đối của hai số trừ cho nhau, kết quả mang dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn. Ví dụ (−2/3) + 5/6: |−2/3| = 2/3 = 4/6, |5/6| = 5/6, 5/6 lớn hơn nên kết quả dương: 5/6 − 4/6 = 1/6.
Hỏi: Có được cộng tử với tử, mẫu với mẫu không?
Đáp: Không bao giờ. Cộng phân số là cộng phần của cùng một "chiếc bánh" đã chia đều — mẫu số phải giống nhau thì mới cộng được tử số. Muốn cộng hai phân số khác mẫu, bạn bắt buộc phải quy đồng mẫu số trước.
Hỏi: Chia cho một số hữu tỉ khác 0 thì làm thế nào?
Đáp: Nhân với số nghịch đảo của số chia: a/b : c/d = a/b · d/c. Nhớ chỉ lật ngược số chia, số bị chia giữ nguyên, và không bao giờ chia cho 0.
Hỏi: Số 0 có phải là số hữu tỉ không? 0 chia cho một số khác 0 bằng mấy?
Đáp: Có, 0 = 0/1 nên 0 là số hữu tỉ. 0 chia cho bất kì số nào khác 0 cũng bằng 0. Ngược lại, một số khác 0 chia cho 0 thì không xác định — bạn không được viết phép chia đó.
Hỏi: Khi nào nên dùng tính chất giao hoán, kết hợp để tính nhanh?
Đáp: Khi bạn nhìn thấy trong biểu thức có cặp số đối nhau (cộng lại bằng 0), cặp số nghịch đảo (nhân lại bằng 1), hoặc các số có cùng mẫu số. Gom chúng lại trước, biểu thức sẽ ngắn lại ngay. Luyện nhiều bài tập, bạn sẽ nhìn ra các cặp này chỉ trong vài giây.
10. Kết luận
Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ thực chất là bốn phép tính với phân số mà bạn đã quen từ lớp 6, cộng thêm sự cẩn thận với dấu âm. Cộng trừ thì quy đồng mẫu số rồi cộng trừ tử số; nhân thì tử nhân tử, mẫu nhân mẫu; chia thì lật ngược số chia rồi nhân. Nắm thêm ba bí kíp tính nhanh — gom số đối, gom cặp nghịch đảo, đặt thừa số chung ra ngoài — bạn sẽ xử lý gọn mọi biểu thức dài trong đề kiểm tra. Hãy làm lại 5 bài tập ở trên mà không nhìn đáp án, rồi đối chiếu với bảng lời giải chi tiết để xem mình còn vấp ở bước nào. Và khi cần kiểm tra nhanh một phép tính dài, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn. Ở bài tiếp theo, chúng ta sẽ gặp một phép tính mới toanh: lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ — nơi mà phép nhân lặp lại nhiều lần được viết gọn chỉ trong một dòng.