Chương trình Toán lớp 9 mở rộng hình học phẳng sang các hình liên quan tới đường tròn và mở rộng sang hình học không gian với hình trụ, hình nón và hình cầu. Các công thức diện tích và thể tích của những hình này xuất hiện trong hầu hết các đề thi vào lớp 10. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức, cách ghi nhớ, cách đổi đơn vị và các dạng bài thường gặp kèm ví dụ và bài tập vận dụng.
Bạn có thể luyện thêm với các đề thi công khai trên ClassOn, xem hướng dẫn sử dụng hoặc đăng ký tài khoản miễn phí để làm bài và lưu kết quả. Nếu đang ôn Toán 9, bạn cũng có thể xem thêm đề thi giữa kì 1 Toán 9 có đáp án và quay lại trang chủ ClassOn để tìm thêm tài liệu.
1. Hình tròn, hình quạt tròn, hình vành khăn
Với đường tròn bán kính r, chu vi hay độ dài đường tròn là \(C = 2 \pi r\), diện tích hình tròn là \(S = \pi r^2\). Số pi thường lấy xấp xỉ 3,14 trong các bài tính số, hoặc giữ nguyên dạng có pi khi đề yêu cầu kết quả chính xác.
Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi hai bán kính và cung tròn chắn giữa chúng. Nếu góc ở tâm của hình quạt là n độ thì độ dài cung là \(l = \frac{\pi r n}{180}\) và diện tích hình quạt là \(S = \frac{\pi r^2 n}{360}\). Một cách nhớ nhanh là diện tích hình quạt bằng một nửa tích của bán kính với độ dài cung, tức \(S = \frac{l r}{2}\), tương tự công thức diện tích tam giác.
Hình vành khăn là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính R và r. Diện tích hình vành khăn bằng hiệu diện tích hai hình tròn: \(S = \pi (R^2 - r^2)\). Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một dây cung và cung chắn nó, diện tích bằng diện tích hình quạt trừ đi diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung.
Ví dụ: Một hình quạt tròn bán kính 10 cm, góc ở tâm 72 độ có diện tích là \(\frac{\pi \times 10^2 \times 72}{360} = 20 \pi\) cm², khoảng 62,8 cm². Độ dài cung tương ứng là \(\frac{\pi \times 10 \times 72}{180} = 4 \pi\) cm, khoảng 12,56 cm.
2. Hình trụ
Hình trụ được tạo thành khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh của nó. Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau bán kính r và chiều cao h là khoảng cách giữa hai đáy. Khi khai triển mặt xung quanh của hình trụ, ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng chiều cao h và cạnh còn lại bằng chu vi đáy \(2 \pi r\).
Diện tích xung quanh của hình trụ là \(S_{xq} = 2 \pi r h\). Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy: \(S_{tp} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)\). Thể tích hình trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: \(V = \pi r^2 h\).
Ví dụ: Một lon sữa hình trụ có bán kính đáy 5 cm và chiều cao 12 cm. Diện tích xung quanh là \(2 \pi \times 5 \times 12 = 120 \pi\) cm², khoảng 376,8 cm². Thể tích là \(\pi \times 5^2 \times 12 = 300 \pi\) cm³, khoảng 942 cm³, tức khoảng 0,942 lít.
3. Hình nón
Hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông của nó. Hình nón có đáy là hình tròn bán kính r, chiều cao h là khoảng cách từ đỉnh tới mặt đáy, và đường sinh l là đoạn nối đỉnh với một điểm trên đường tròn đáy, thỏa mãn \(l^2 = r^2 + h^2\) theo định lí Pythagore.
Diện tích xung quanh của hình nón là \(S_{xq} = \pi r l\). Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy: \(S_{tp} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)\). Thể tích hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ có cùng đáy và cùng chiều cao: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
Ví dụ: Một hình nón có bán kính đáy 6 cm và chiều cao 8 cm thì đường sinh là \(l = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\) cm. Diện tích xung quanh là \(\pi \times 6 \times 10 = 60 \pi\) cm², khoảng 188,4 cm². Thể tích là \(\frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 8 = 96 \pi\) cm³, khoảng 301,44 cm³.
4. Hình cầu
Hình cầu là tập hợp các điểm trong không gian cách tâm một khoảng không vượt quá bán kính r. Mặt cầu là mặt bao quanh hình cầu. Diện tích mặt cầu là \(S = 4 \pi r^2\), tức bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn có cùng bán kính. Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).
Ví dụ: Một quả bóng có bán kính 11 cm thì diện tích mặt ngoài là \(4 \pi \times 11^2 = 484 \pi\) cm², khoảng 1520 cm². Thể tích là \(\frac{4}{3} \pi \times 11^3 = \frac{5324}{3} \pi\) cm³, khoảng 5575 cm³, tức khoảng 5,575 lít. Khi bán kính tăng gấp đôi thì diện tích tăng gấp bốn lần còn thể tích tăng gấp tám lần, vì diện tích tỉ lệ với bình phương bán kính còn thể tích tỉ lệ với lập phương bán kính.
5. Đơn vị diện tích, thể tích và cách đổi
Diện tích đo bằng đơn vị vuông: 1 m² bằng 100 dm² và bằng 10000 cm². Thể tích đo bằng đơn vị khối: 1 m³ bằng 1000 dm³ và bằng 1000000 cm³. Ngoài ra 1 dm³ bằng 1 lít, 1 cm³ bằng 1 mililit. Vì vậy thể tích 942 cm³ ở ví dụ lon sữa tương đương 0,942 lít.
Lỗi thường gặp nhất là quên đổi đơn vị trước khi tính, ví dụ bán kính cho bằng cm mà chiều cao cho bằng dm, hoặc kết quả diện tích ghi nhầm thành đơn vị dài. Một lỗi khác là nhầm công thức thể tích hình nón với hình trụ, quên chia cho 3, hoặc nhầm đường sinh với chiều cao khi tính diện tích xung quanh hình nón. Vẽ hình và ghi rõ r, h, l trước khi chọn công thức sẽ hạn chế được các lỗi này.
6. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 12 cm, góc ở tâm 90 độ.
Bài 2. Một hình trụ có bán kính đáy 7 cm, chiều cao 10 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ, lấy pi bằng 3,14.
Bài 3. Một hình nón có bán kính đáy 5 cm, chiều cao 12 cm. Tính đường sinh, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
Bài 4. Một hình cầu có đường kính 20 cm. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, lấy pi bằng 3,14.
Đáp án: Bài 1: \(36 \pi\) cm², khoảng 113,04 cm². Bài 2: \(S_{xq} = 439,6\) cm²; \(V = 1538,6\) cm³. Bài 3: \(l = 13\) cm; \(S_{xq} = 204,1\) cm²; \(V = 314\) cm³. Bài 4: \(S = 1256\) cm²; \(V \approx 4186,67\) cm³.
7. Câu hỏi thường gặp
Vì sao thể tích hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ cùng đáy và chiều cao? Vì khi đổ đầy nước từ hình nón sang hình trụ cùng đáy và chiều cao thì cần đúng ba lần đổ mới đầy. Đây là kết quả đã được chứng minh trong hình học và cũng là cách nhớ nhanh nhất cho công thức này.
Đường sinh và chiều cao của hình nón khác nhau như thế nào? Chiều cao là đoạn vuông góc từ đỉnh xuống mặt đáy, còn đường sinh là đoạn xiên từ đỉnh tới một điểm trên đường tròn đáy. Đường sinh luôn dài hơn chiều cao, và hai đại lượng liên hệ với bán kính đáy bằng định lí Pythagore.
Khi nào giữ nguyên pi, khi nào lấy pi bằng 3,14? Nếu đề yêu cầu kết quả chính xác hoặc không cho giá trị xấp xỉ của pi thì giữ nguyên pi trong đáp án. Nếu đề cho pi bằng 3,14 hoặc yêu cầu tính gần đúng thì thay pi bằng 3,14 và làm tròn theo yêu cầu.
Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần khác nhau ở điểm nào? Diện tích xung quanh chỉ tính phần mặt bên, không tính các đáy. Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích các đáy. Với hình trụ có hai đáy, với hình nón có một đáy, với hình cầu thì diện tích mặt cầu chính là diện tích toàn phần.
Đổi từ cm³ sang lít như thế nào? 1 lít bằng 1000 cm³ nên muốn đổi từ cm³ sang lít thì chia cho 1000. Ví dụ 2500 cm³ bằng 2,5 lít. Ngược lại, muốn đổi từ lít sang cm³ thì nhân với 1000.