Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành: AB + BC = AC — Toán 10

Bạn đang đứng ở góc A của một khu vườn hình tam giác, muốn sang góc C. Bạn có thể đi thẳng từ A đến C, hoặc đi từ A sang góc B rồi từ B sang C. Hai cách đi khác nhau, nhưng điểm đến thì giống nhau — và trong ngôn ngữ vectơ, điều đó có nghĩa là vectơ AB cộng vectơ BC bằng vectơ AC. Đây chính là quy tắc ba điểm: một quy tắc đơn giản đến mức ai cũng thấy hiển nhiên, nhưng lại là chìa khóa để chứng minh hàng loạt bài toán hình học — từ việc tìm vectơ tổng đến việc chứng minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm tạo thành hình bình hành.

Trong bài viết này, bạn sẽ học quy tắc ba điểm AB + BC = AC, quy tắc trừ AB − AC = CB, và quy tắc hình bình hành AB + AD = AC. Bạn sẽ hiểu vì sao hai quy tắc này thực ra là một, khi nào dùng quy tắc nào, và vì sao thứ tự các điểm lại quan trọng đến vậy. Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước — từ ví dụ mẫu với ba điểm bất kì đến ví dụ tìm đỉnh còn lại của hình bình hành — tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp, trong đó có câu hỏi nhiều bạn thắc mắc: chèn thêm điểm trung gian vào một tổng vectơ thì được gì?

Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành là gì?

Quy tắc ba điểm phát biểu như sau: với ba điểm A, B, C bất kì, vectơ AB cộng vectơ BC bằng vectơ AC. Bạn hãy đọc kĩ: điểm cuối của vectơ thứ nhất (B) trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai (B), thì tổng của chúng là vectơ nối từ điểm đầu của vectơ thứ nhất (A) đến điểm cuối của vectơ thứ hai (C). Quy tắc này đúng với mọi vị trí của ba điểm — chúng có thể tạo thành một tam giác, cũng có thể thẳng hàng, cũng có thể trùng nhau. Khi B trùng với A thì AB là vectơ 0 và đẳng thức trở thành 0 + AC = AC — vẫn đúng. Khi ba điểm thẳng hàng thì "tam giác" xẹp thành một đoạn thẳng, nhưng đẳng thức vẫn đúng.

Từ quy tắc ba điểm, bạn suy ra ngay quy tắc trừ: AB − AC = CB. Bạn hãy chứng minh nhanh: theo quy tắc ba điểm, AC + CB = AB, nên chuyển vế bạn được AB − AC = CB. Bạn hãy nhớ hình ảnh: hiệu AB − AC là vectơ nối từ điểm cuối của vectơ bị trừ (C) đến điểm cuối của vectơ được trừ (B). Mẹo nhớ: "hiệu chạy từ trừ sang bị trừ" — từ C sang B. Quy tắc trừ này rất hay dùng khi bạn cần tính một vectơ nối hai điểm từ hai vectơ có chung điểm đầu, ví dụ tính vectơ BC khi đã biết AB và AC.

Quy tắc hình bình hành phát biểu như sau: nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC. Bạn hãy nhìn hình: hai vectơ AB và AD xuất phát chung từ A, tổng của chúng là vectơ đường chéo AC. Vì sao quy tắc này đúng? Vì trong hình bình hành, vectơ AD bằng vectơ BC (cùng hướng, cùng độ dài), nên AB + AD = AB + BC = AC theo quy tắc ba điểm. Như vậy, quy tắc hình bình hành thực ra là quy tắc ba điểm "đội lốt" hình bình hành — bạn thay AD bằng BC rồi áp dụng quy tắc ba điểm là xong. Hiểu được mối liên hệ này, bạn sẽ không bao giờ phải học vẹt hai quy tắc riêng rẽ nữa.

Ngược lại, quy tắc ba điểm cũng cho bạn một kĩ thuật rất mạnh: chèn điểm trung gian. Bất cứ vectơ AB nào cũng có thể viết thành AB = AM + MB với M là một điểm bất kì mà bạn chọn. Bạn chèn M vào giữa A và B, và tổng hai vectơ AM, MB đúng bằng AB. Kĩ thuật này là chìa khóa để chứng minh nhiều đẳng thức vectơ: khi bạn gặp một tổng vectơ phức tạp, bạn chèn điểm để "nối" các vectơ lại thành một đường đi liên tục, rồi rút gọn bằng quy tắc ba điểm. Bạn sẽ dùng kĩ thuật này rất nhiều khi học công thức trung điểm và trọng tâm bằng vectơ, và mọi phép tính tọa độ trong bài này bạn có thể kiểm tra nhanh bằng máy tính Casio online trên ClassOn. Còn nếu bạn muốn ôn lại cách cộng hai vectơ theo tọa độ, hãy đọc bài tổng và hiệu hai vectơ.

Một ứng dụng quan trọng của hai quy tắc này là nhận biết hình bình hành bằng vectơ. Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC, hay tương đương AB + AD = AC, hay tương đương hai đường chéo có chung trung điểm. Trong bài tập, người ta thường cho tọa độ ba đỉnh và hỏi đỉnh thứ tư: bạn chỉ cần dùng AB + AD = AC để tìm C, hoặc dùng quy tắc ba điểm để viết AC theo AB và AD. Bạn hãy nhớ: trong hình bình hành, thứ tự các đỉnh rất quan trọng — ABCD là hình bình hành khác với ABDC là hình bình hành, và dùng sai thứ tự là lỗi phổ biến nhất khi giải dạng bài này.

Bốn ví dụ áp dụng quy tắc ba điểm và hình bình hành từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho A(0; 0), B(3; 0), C(3; 4). Tính AB + BC và so sánh với AC.
Bước 1, bạn tìm tọa độ từng vectơ: AB = (3 − 0; 0 − 0) = (3; 0); BC = (3 − 3; 4 − 0) = (0; 4).
Bước 2, bạn cộng hai vectơ: AB + BC = (3 + 0; 0 + 4) = (3; 4).
Bước 3, bạn tính vectơ AC: AC = (3 − 0; 4 − 0) = (3; 4).
Vậy AB + BC = (3; 4) = AC — đúng như quy tắc ba điểm. Bạn hãy để ý: tam giác ABC vuông tại B, AB dài 3, BC dài 4, AC dài 5 — lại là bộ ba Pythagore (3; 4; 5). Bạn kiểm tra lại bằng hình vẽ: đi từ A sang B rồi từ B lên C thì bạn đến đúng điểm C, giống hệt như đi thẳng từ A đến C.

Ví dụ 2 (tìm đỉnh hình bình hành): Cho A(0; 0), B(4; 0), D(1; 3). Tìm tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình bình hành.
Bạn áp dụng quy tắc hình bình hành: ABCD là hình bình hành thì AC = AB + AD.
Bạn tính AB = (4 − 0; 0 − 0) = (4; 0) và AD = (1 − 0; 3 − 0) = (1; 3).
Bạn cộng hai vectơ: AC = (4 + 1; 0 + 3) = (5; 3).
Vì A trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của điểm C chính là tọa độ của vectơ AC: C(5; 3). Bạn kiểm tra lại bằng tính chất hình bình hành: DC = C − D = (5 − 1; 3 − 3) = (4; 0) = AB — đúng, hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. Bạn hãy để ý: nếu bạn nhầm thứ tự đỉnh, ví dụ lấy ABDC là hình bình hành, bạn sẽ tìm ra một điểm C khác hoàn toàn — vì vậy hãy luôn vẽ phác hình trước khi tính.

Ví dụ 3 (quy tắc trừ): Cho A(1; 1), B(5; 2), C(2; 6). Tính AB − AC và so sánh với CB.
Bước 1, bạn tìm tọa độ: AB = (5 − 1; 2 − 1) = (4; 1); AC = (2 − 1; 6 − 1) = (1; 5).
Bước 2, bạn trừ hai vectơ: AB − AC = (4 − 1; 1 − 5) = (3; −4).
Bước 3, bạn tính vectơ CB: CB = B − C = (5 − 2; 2 − 6) = (3; −4).
Vậy AB − AC = (3; −4) = CB — đúng như quy tắc trừ. Bạn hãy để ý: |CB| = √(9 + 16) = 5, lại là bộ ba (3; 4; 5). Bạn kiểm tra lại bằng hình học: đặt AB và AC chung điểm đầu A, hiệu của chúng là vectơ nối từ C đến B — đúng là vectơ CB, không phải BC.

Ví dụ 4 (chèn nhiều điểm): Cho M(0; 0), N(2; 1), P(5; 1), Q(5; 5). Tính MN + NP + PQ và so sánh với MQ.
Bạn tìm tọa độ từng vectơ: MN = (2; 1), NP = (3; 0), PQ = (0; 4).
Bạn cộng ba vectơ: MN + NP + PQ = (2 + 3 + 0; 1 + 0 + 4) = (5; 5).
Bạn tính vectơ MQ: MQ = (5 − 0; 5 − 0) = (5; 5).
Vậy MN + NP + PQ = (5; 5) = MQ. Đây chính là quy tắc ba điểm mở rộng: tổng của một dãy vectơ nối tiếp nhau bằng vectơ nối từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ cuối cùng. Bạn hãy hình dung một đường gấp khúc M → N → P → Q: tổng các vectơ trên đường gấp khúc bằng vectơ đi thẳng từ M đến Q. Kĩ thuật này giúp bạn rút gọn những tổng vectơ dài trong bài toán chứng minh chỉ trong một dòng.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Viết AB + BC = CA thay vì AC.
Nhiều bạn cộng xong lại lấy vectơ ngược chiều. Cách tránh: bạn hãy nhớ tổng luôn "chạy" từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ thứ hai: AB + BC bắt đầu ở A và kết thúc ở C, nên tổng là AC, không phải CA. Bạn hãy tập thói quen đọc tổng theo thứ tự điểm: A → B → C, điểm đầu là A, điểm cuối là C.

Lỗi 2: Dùng quy tắc hình bình hành khi tứ giác không phải hình bình hành.
Nhiều bạn thấy bốn điểm A, B, C, D thì áp dụng ngay AB + AD = AC. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc hình bình hành chỉ đúng khi ABCD thực sự là hình bình hành. Nếu đề bài chưa cho tứ giác là hình bình hành, bạn phải kiểm tra trước (ví dụ AB = DC) hoặc dùng quy tắc ba điểm thay thế. Bạn hãy vẽ phác hình và kiểm tra hai cạnh đối có song song và bằng nhau không rồi mới áp dụng.

Lỗi 3: Viết AB − AC = BC thay vì CB.
Nhiều bạn trừ hai vectơ chung điểm đầu A thì lấy vectơ nối từ B đến C. Cách tránh: bạn hãy nhớ hiệu "chạy" từ vectơ bị trừ sang vectơ được trừ: AB − AC bắt đầu ở C (cuối của AC) và kết thúc ở B (cuối của AB), nên bằng CB. Bạn hãy tập thói quen viết dòng "AB − AC = CB" và đọc to: "C đến B", đừng đọc "B đến C".

Lỗi 4: Quên vectơ AB là vectơ đối của vectơ BA.
Nhiều bạn dùng AB và BA như nhau trong một tổng, ví dụ viết AB + BA = 2AB thay vì vectơ 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ AB = −BA: hai vectơ này cùng độ dài nhưng ngược hướng, nên tổng của chúng bằng vectơ 0. Bạn hãy kiểm tra dấu của từng vectơ trước khi cộng: AB đi từ A đến B, BA đi từ B đến A — ngược nhau hoàn toàn.

Lỗi 5: Cộng độ dài thay vì cộng vectơ.
Nhiều bạn thấy |AB| = 3, |BC| = 4 thì kết luận |AC| = 7. Cách tránh: bạn hãy nhớ |AB + BC| = |AC| chỉ bằng |AB| + |BC| khi B nằm trên đoạn thẳng AC, tức là ba điểm thẳng hàng và B ở giữa A, C. Trong ví dụ 1, AB = 3, BC = 4 nhưng AC = 5, không phải 7 — vì tam giác ABC vuông tại B. Bạn hãy dùng quy tắc ba điểm cho vectơ, rồi mới tính độ dài của vectơ tổng bằng công thức độ dài.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ đọc kĩ thứ tự các điểm trong mỗi vectơ trước khi áp dụng quy tắc.

Câu 1: Với ba điểm A, B, C bất kì, vectơ AB + BC bằng vectơ nào?
A. CA
B. AC
C. CB
D. Vectơ 0

Câu 2: Cho ABCD là hình bình hành. Vectơ AB + AD bằng vectơ nào?
A. AC
B. BD
C. CA
D. DB

Câu 3: Với ba điểm A, B, C bất kì, vectơ AB − AC bằng vectơ nào?
A. BC
B. CB
C. BA
D. Vectơ 0

Câu 4: Cho A(0; 0), B(2; 3), C(5; 3). Vectơ AB + BC bằng bao nhiêu?
A. (7; 6)
B. (3; 0)
C. (5; 3)
D. (2; 3)

Câu 5: Cho AB = (1; 2), AC = (4; 6). Độ dài của vectơ CB bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 1
C. √7
D. 5

Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Theo quy tắc ba điểm, AB + BC = AC. Đáp án A sai vì CA là vectơ ngược hướng với AC. Đáp án C sai vì CB là vectơ nối từ C đến B, không phải tổng cần tìm. Đáp án D sai vì tổng hai vectơ chỉ bằng vectơ 0 khi chúng đối nhau.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Theo quy tắc hình bình hành, AB + AD = AC. Đáp án B sai vì BD là đường chéo còn lại, bằng AD − AB chứ không phải tổng. Đáp án C sai vì CA là vectơ ngược hướng với AC. Đáp án D sai vì DB là vectơ đối của BD.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Theo quy tắc trừ, AB − AC = CB. Đáp án A sai vì BC là vectơ ngược hướng với CB — hiệu "chạy" từ C sang B. Đáp án C sai vì BA là vectơ đối của AB, không liên quan đến phép trừ này. Đáp án D sai vì hiệu chỉ bằng vectơ 0 khi AB = AC, tức là B trùng C.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: AB = (2; 3), BC = (3; 0), AB + BC = (5; 3) — cũng chính là vectơ AC vì C(5; 3) và A trùng gốc tọa độ. Đáp án A sai vì (7; 6) là tổng tọa độ của B và C, không phải tổng vectơ. Đáp án B sai vì (3; 0) chỉ là vectơ BC. Đáp án D sai vì (2; 3) chỉ là vectơ AB.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: CB = AB − AC = (1 − 4; 2 − 6) = (−3; −4), |CB| = √(9 + 16) = 5. Đáp án A sai vì 7 = 3 + 4 là tổng hai trị tuyệt đối, không phải độ dài. Đáp án B sai vì 1 không có phép tính nào cho ra. Đáp án C sai vì √7 là kết quả khi lấy hiệu hai bình phương √(16 − 9), trong khi công thức đúng là tổng hai bình phương.

Câu hỏi thường gặp về quy tắc ba điểm và hình bình hành

Hỏi: Quy tắc ba điểm là gì?
Đáp: Quy tắc ba điểm nói rằng với ba điểm A, B, C bất kì, AB + BC = AC. Điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai thì tổng là vectơ nối từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ thứ hai. Quy tắc này đúng với mọi vị trí của ba điểm, kể cả khi chúng thẳng hàng hoặc trùng nhau.

Hỏi: Quy tắc hình bình hành dùng khi nào?
Đáp: Bạn dùng quy tắc hình bình hành khi hai vectơ có chung điểm đầu và bạn muốn tính tổng của chúng: nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC. Tổng là vectơ đường chéo xuất phát từ điểm chung A. Bạn chỉ được dùng quy tắc này khi tứ giác thực sự là hình bình hành — nếu chưa chắc, hãy kiểm tra AB = DC trước.

Hỏi: AB + BC khác gì AB − BC?
Đáp: AB + BC = AC theo quy tắc ba điểm, còn AB − BC = AB + CB — bạn lật ngược vectơ BC thành CB rồi cộng. Hai kết quả này khác nhau hoàn toàn: AB + BC nối từ A đến C, còn AB − BC nối từ... bạn hãy tự vẽ: đặt CB nối tiếp vào cuối AB thì điểm cuối là một điểm khác hẳn C. Bạn hãy nhớ: dấu cộng nối tiếp, dấu trừ lật ngược.

Hỏi: Chèn điểm trung gian vào một tổng vectơ thì được gì?
Đáp: Bạn được một đường đi mới để tính cùng một vectơ: AB = AM + MB với M bất kì. Kĩ thuật này giúp bạn biến một vectơ "khó" thành tổng của hai vectơ "dễ" hơn, hoặc nối nhiều vectơ rời rạc thành một đường đi liên tục rồi rút gọn bằng quy tắc ba điểm. Đây là kĩ thuật chứng minh quan trọng nhất trong chương vectơ.

Hỏi: Vectơ đối là gì?
Đáp: Vectơ đối của vectơ AB là vectơ BA: cùng độ dài, ngược hướng. Tổng của một vectơ với vectơ đối của nó bằng vectơ 0: AB + BA = vectơ 0. Vectơ đối dùng để định nghĩa phép trừ vectơ: a − b = a + (−b), tức là trừ đi b cũng là cộng với vectơ đối của b.

Kết luận

Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành chỉ gói gọn trong hai đẳng thức: AB + BC = AC và AB + AD = AC (khi ABCD là hình bình hành), cùng với quy tắc trừ AB − AC = CB. Bạn hãy nhớ ba điều: tổng luôn chạy từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ thứ hai; hiệu luôn chạy từ vectơ bị trừ sang vectơ được trừ; và chèn điểm trung gian là cách mạnh nhất để rút gọn một tổng vectơ dài. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để cộng, trừ bất cứ vectơ nào bằng hình vẽ — và bước tiếp sang trung điểm, trọng tâm, nơi hai quy tắc này biến thành những công thức vectơ đẹp nhất của chương.