Hai người cùng đẩy một chiếc tủ. Người thứ nhất đẩy sang phải với lực 3 đơn vị, người thứ hai đẩy lên trên với lực 4 đơn vị. Chiếc tủ sẽ đi theo hướng nào, và "mạnh" đến mức nào? Nếu bạn cộng hai lực như cộng hai số thường, bạn được 3 + 4 = 7 — nhưng đó là đáp án sai. Chiếc tủ thực ra đi theo đường chéo, với lực tổng hợp bằng 5. Vì sao lại là 5? Vì lực là vectơ: cộng hai vectơ không phải là cộng hai con số, mà là cộng cả hướng lẫn độ lớn. Bài toán nhỏ này chính là toàn bộ nội dung của phép cộng vectơ — một phép toán mà bạn sẽ gặp lại trong vật lí, trong kĩ thuật, và trong bất cứ nơi nào có nhiều tác động cùng xảy ra một lúc.
Trong bài viết này, bạn sẽ học cách cộng và trừ hai vectơ: cộng theo tọa độ, cộng bằng quy tắc hình bình hành, và công thức tính độ dài của tổng |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b. Bạn sẽ hiểu vì sao |a + b| thường khác |a| + |b|, khi nào hai đẳng thức này bằng nhau, và vì sao hiệu a − b lại là "cộng với vectơ đối". Bạn sẽ tính 4 ví dụ từng bước — từ ví dụ mẫu |a| = 3, |b| = 4, a vuông góc với b cho ra |a + b| = 5 đến ví dụ góc 60° — tránh 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự luyện 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Cuối bài là 5 câu hỏi thường gặp, trong đó có câu hỏi nhiều bạn thắc mắc: khi nào thì |a − b| = |a + b|?
Tổng và hiệu hai vectơ là gì? Công thức |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b
Tổng của hai vectơ a và b, kí hiệu là a + b, là một vectơ mới được tạo ra như sau: đặt vectơ b nối tiếp vào cuối vectơ a (điểm đầu của b trùng với điểm cuối của a), thì vectơ nối từ điểm đầu của a đến điểm cuối của b chính là a + b. Cách cộng này gọi là quy tắc ba điểm, và bạn sẽ học kĩ nó trong bài quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành. Nếu bạn đặt hai vectơ a và b chung một điểm đầu, thì tổng a + b là đường chéo của hình bình hành có hai cạnh là a và b — đó là quy tắc hình bình hành. Hai cách nhìn này cho cùng một kết quả, chỉ khác nhau ở hình vẽ.
Hiệu của hai vectơ a và b, kí hiệu là a − b, được định nghĩa là tổng của a với vectơ đối của b: a − b = a + (−b). Vectơ −b là vectơ đối của b: cùng độ dài, ngược hướng. Vì vậy, để trừ hai vectơ, bạn chỉ cần "lật ngược" vectơ b rồi cộng như bình thường. Nếu bạn đặt a và b chung điểm đầu, thì hiệu a − b là vectơ nối từ điểm cuối của b đến điểm cuối của a — một hình ảnh rất đáng nhớ: hiệu luôn "chạy" từ vectơ bị trừ sang vectơ được trừ.
| Phép toán | Kí hiệu | Cách tính theo tọa độ | Ý nghĩa hình học |
|---|---|---|---|
| Tổng | a + b | (x₁ + x₂; y₁ + y₂) | Đường chéo hình bình hành |
| Hiệu | a − b | (x₁ − x₂; y₁ − y₂) | Vectơ nối từ cuối b đến cuối a |
| Vectơ đối | −b | (−x₂; −y₂) | Cùng độ dài, ngược hướng với b |
| Độ dài của tổng | |a + b| | √(|a|² + |b|² + 2a·b) | Phụ thuộc góc giữa a và b |
Theo tọa độ, phép cộng và phép trừ vectơ rất đơn giản: nếu a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thì a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂) và a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂). Bạn cộng hoặc trừ từng thành phần tương ứng — thành phần ngang với thành phần ngang, thành phần đứng với thành phần đứng. Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán (a + b = b + a) và tính chất kết hợp ((a + b) + c = a + (b + c)), giống hệt phép cộng số thường. Nhưng phép trừ thì không giao hoán: a − b = −(b − a).
Điều quan trọng nhất của bài này là công thức tính độ dài của tổng: |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b, trong đó a·b là tích vô hướng của hai vectơ, bằng |a|·|b|·cos θ với θ là góc giữa a và b. Công thức này cho bạn thấy vì sao |a + b| thường khác |a| + |b|: độ dài của tổng còn phụ thuộc vào góc giữa hai vectơ. Khi a và b cùng hướng (θ = 0°), cos θ = 1 nên |a + b| = |a| + |b| — hai vectơ "hợp sức" hoàn toàn. Khi a và b ngược hướng (θ = 180°), cos θ = −1 nên |a + b| = ||a| − |b|| — hai vectơ "triệt tiêu" lẫn nhau một phần. Khi a và b vuông góc (θ = 90°), cos θ = 0 nên |a + b|² = |a|² + |b|² — đúng như định lí Pythagore. Bạn muốn tính độ dài một vectơ đơn lẻ thì dùng công thức ở bài độ dài vectơ, còn mọi phép chia và khai căn trong bài này bạn có thể kiểm tra nhanh bằng máy tính Casio online trên ClassOn.
Một hệ quả đẹp của công thức trên là bất đẳng thức tam giác: |a + b| ≤ |a| + |b|, dấu bằng xảy ra khi a và b cùng hướng. Bạn hãy hình dung ba điểm O, M, N với OM = a và MN = b: độ dài ON = |a + b| là một cạnh của tam giác OMN, mà một cạnh của tam giác thì không bao giờ dài hơn tổng hai cạnh còn lại. Đẳng thức chỉ xảy ra khi ba điểm thẳng hàng và b cùng hướng với a — tức là "đi thẳng" thay vì "đi vòng". Bất đẳng thức này cũng giải thích vì sao hai người đẩy tủ theo hai hướng khác nhau thì lực tổng hợp luôn nhỏ hơn tổng hai lực riêng lẻ.
Bốn ví dụ tính tổng và hiệu hai vectơ từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho |a| = 3, |b| = 4 và a vuông góc với b. Tính |a + b|.
Vì a vuông góc với b nên góc giữa chúng là 90°, cos 90° = 0, do đó a·b = |a|·|b|·cos 90° = 0.
Bạn áp dụng công thức: |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b = 3² + 4² + 0 = 9 + 16 = 25.
Bạn lấy căn bậc hai: |a + b| = √25 = 5.
Vậy độ dài của tổng a + b bằng 5. Bạn hãy để ý: hai vectơ vuông góc với nhau thì tổng của chúng là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4, nên dài 5 — đúng như bộ ba Pythagore (3; 4; 5). Bạn kiểm tra lại bằng tọa độ: đặt a = (3; 0), b = (0; 4) thì a + b = (3; 4) và |a + b| = √(9 + 16) = 5 — khớp.
Ví dụ 2 (cộng, trừ theo tọa độ): Cho a = (2; 1), b = (1; 3). Tính a + b, a − b và độ dài của chúng.
Bạn cộng từng thành phần: a + b = (2 + 1; 1 + 3) = (3; 4), nên |a + b| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Bạn trừ từng thành phần: a − b = (2 − 1; 1 − 3) = (1; −2), nên |a − b| = √(1² + (−2)²) = √5 ≈ 2,24.
Bạn hãy để ý: a + b dài 5 còn a − b chỉ dài khoảng 2,24 — cùng một cặp vectơ mà tổng và hiệu có độ dài rất khác nhau, vì hiệu "triệt tiêu" một phần của hai vectơ. Bạn kiểm tra lại bằng công thức: |a|² = 5, |b|² = 10, a·b = 2×1 + 1×3 = 5, nên |a + b|² = 5 + 10 + 2×5 = 25 — khớp, và |a − b|² = 5 + 10 − 2×5 = 5 — khớp.
Ví dụ 3 (hiệu của hai vectơ vuông góc): Cho |a| = 5, |b| = 12 và a vuông góc với b. Tính |a − b|.
Vì a vuông góc với b nên a·b = 0.
Bạn áp dụng công thức cho hiệu: |a − b|² = |a|² + |b|² − 2a·b = 5² + 12² − 0 = 25 + 144 = 169.
Bạn lấy căn bậc hai: |a − b| = √169 = 13.
Vậy độ dài của hiệu a − b bằng 13. Bạn hãy để ý: với hai vectơ vuông góc, |a + b| = |a − b| — tổng và hiệu có cùng độ dài, vì hình bình hành tạo bởi a và b là hình chữ nhật, mà hai đường chéo của hình chữ nhật thì bằng nhau. Bộ ba (5; 12; 13) lại là một bộ ba Pythagore quen thuộc.
Ví dụ 4 (tổng với góc 60°): Cho |a| = 6, |b| = 8 và góc giữa a và b bằng 60°. Tính |a + b|.
Bạn tính tích vô hướng: a·b = |a|·|b|·cos 60° = 6 × 8 × 1/2 = 24.
Bạn áp dụng công thức: |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b = 36 + 64 + 2×24 = 100 + 48 = 148.
Bạn lấy căn bậc hai: |a + b| = √148 = 2√37 ≈ 12,17.
Vậy độ dài của tổng a + b khoảng 12,17. Bạn hãy để ý: đáp số 12,17 nhỏ hơn tổng 6 + 8 = 14 (vì hai vectơ không cùng hướng nên chưa "hợp sức" hết) nhưng lớn hơn 10 (giá trị khi hai vectơ vuông góc). Góc càng nhỏ thì tổng càng dài: góc 0° cho 14, góc 60° cho 12,17, góc 90° cho 10, góc 180° cho 2 — đúng như biểu đồ trong ảnh nội dung của bài.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cho rằng |a + b| = |a| + |b| luôn đúng.
Nhiều bạn cộng độ dài như cộng số thường: |a| = 3, |b| = 4 thì |a + b| = 7. Cách tránh: bạn hãy nhớ đẳng thức này chỉ đúng khi a và b cùng hướng. Trong ví dụ 1, a vuông góc với b nên |a + b| = 5, không phải 7. Bạn hãy tập thói quen hỏi "góc giữa hai vectơ là bao nhiêu?" trước khi cộng độ dài, và nhớ bất đẳng thức tam giác: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Lỗi 2: Cộng, trừ sai dấu ở thành phần tọa độ.
Nhiều bạn tính a − b với a = (2; 1), b = (1; 3) thành (2 + 1; 1 + 3) = (3; 4) — đó là tổng, không phải hiệu. Cách tránh: bạn hãy nhớ hiệu là "cộng với vectơ đối": a − b = a + (−b), nên a − b = (2 − 1; 1 − 3) = (1; −2). Bạn hãy viết rõ dòng "−b = (−1; −3)" ra giấy rồi mới cộng, đừng trừ nhẩm trong đầu khi mới học.
Lỗi 3: Cho rằng |a − b| = ||a| − |b|| luôn đúng.
Nhiều bạn nghĩ hiệu hai vectơ thì độ dài bằng hiệu hai độ dài. Cách tránh: bạn hãy nhớ đẳng thức này chỉ đúng khi a và b cùng hướng. Trong ví dụ 3, a vuông góc với b nên |a − b| = 13, trong khi ||a| − |b|| = |5 − 12| = 7 — sai hoàn toàn. Bạn hãy dùng đúng công thức |a − b|² = |a|² + |b|² − 2a·b.
Lỗi 4: Quên a·b = 0 khi hai vectơ vuông góc.
Nhiều bạn nhớ công thức |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b nhưng không biết tính a·b, nên bỏ qua số hạng này và trả lời |a + b| = √(9 + 16) = 5 — tình cờ đúng trong trường hợp vuông góc nhưng sai trong mọi trường hợp khác. Cách tránh: bạn hãy nhớ a·b = |a|·|b|·cos θ, và chỉ khi θ = 90° thì cos θ = 0 nên số hạng này triệt tiêu. Với góc 60° ở ví dụ 4, bỏ qua số hạng này sẽ cho đáp số 10 thay vì 12,17.
Lỗi 5: Nhầm quy tắc hình bình hành với quy tắc ba điểm.
Nhiều bạn vẽ a + b bằng cách đặt b nối tiếp vào cuối a rồi lại lấy đường chéo hình bình hành, hoặc ngược lại — vẽ hình bình hành rồi lấy cạnh nối tiếp. Cách tránh: bạn hãy nhớ hai quy tắc cho cùng một kết quả nhưng hình vẽ khác nhau: quy tắc ba điểm đặt b nối tiếp a (điểm đầu của b trùng điểm cuối của a); quy tắc hình bình hành đặt a và b chung điểm đầu, tổng là đường chéo. Bạn hãy chọn một quy tắc và vẽ đúng hình của nó, đừng trộn hai hình vào nhau.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định góc giữa hai vectơ trước khi tính độ dài của tổng hoặc hiệu.
Câu 1: Cho |a| = 3, |b| = 4 và a vuông góc với b. Độ dài của tổng a + b bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 7
C. 1
D. 25
Câu 2: Cho a = (1; 2), b = (3; 1). Vectơ a − b bằng bao nhiêu?
A. (2; −1)
B. (4; 3)
C. (−2; 1)
D. (2; 1)
Câu 3: Cho |a| = 5, |b| = 12 và a vuông góc với b. Độ dài của hiệu a − b bằng bao nhiêu?
A. 17
B. 7
C. 13
D. 60
Câu 4: Cho a = (2; 0), b = (0; 3). Độ dài của tổng a + b bằng bao nhiêu?
A. 5
B. √13
C. 6
D. 13
Câu 5: Cho |a| = 6, |b| = 8 và a cùng hướng với b. Độ dài của tổng a + b bằng bao nhiêu?
A. 10
B. 2
C. 14
D. 100
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | C | B | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Vì a vuông góc với b nên a·b = 0, |a + b|² = 3² + 4² = 25, |a + b| = 5. Đáp án B sai vì 7 = 3 + 4 chỉ đúng khi a và b cùng hướng. Đáp án C sai vì 1 = 4 − 3 là độ dài của tổng khi hai vectơ ngược hướng. Đáp án D sai vì 25 là bình phương của độ dài, chưa lấy căn.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: a − b = (1 − 3; 2 − 1) = (−2; 1). Đáp án A (2; −1) sai vì đó là vectơ b − a, không phải a − b — hiệu hai vectơ không có tính giao hoán. Đáp án B (4; 3) sai vì đó là tổng a + b. Đáp án D (2; 1) sai vì không có phép tính nào cho ra cặp số này.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: Vì a vuông góc với b nên a·b = 0, |a − b|² = 5² + 12² = 169, |a − b| = 13. Đáp án A sai vì 17 = 5 + 12 chỉ đúng khi a và b cùng hướng. Đáp án B sai vì 7 = 12 − 5 là độ dài của hiệu khi hai vectơ cùng hướng. Đáp án D sai vì 60 = 5 × 12 không liên quan đến độ dài của hiệu.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: a + b = (2 + 0; 0 + 3) = (2; 3), |a + b| = √(2² + 3²) = √13 ≈ 3,61. Đáp án A sai vì 5 = 2 + 3 là tổng hai thành phần, không phải độ dài. Đáp án C sai vì 6 = 2 × 3 không có phép tính nào cho ra độ dài. Đáp án D sai vì 13 là bình phương của độ dài, chưa lấy căn.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Vì a cùng hướng với b nên góc giữa chúng bằng 0°, cos 0° = 1, |a + b| = |a| + |b| = 6 + 8 = 14. Đáp án A sai vì 10 là độ dài khi hai vectơ vuông góc (√(36 + 64) = 10). Đáp án B sai vì 2 = 8 − 6 là độ dài khi hai vectơ ngược hướng. Đáp án D sai vì 100 là bình phương của 10, không phải đáp số.
Câu hỏi thường gặp về tổng và hiệu hai vectơ
Hỏi: Tổng của hai vectơ là gì?
Đáp: Tổng của hai vectơ a và b là một vectơ mới, kí hiệu a + b. Theo tọa độ, nếu a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thì a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Theo hình học, bạn đặt b nối tiếp vào cuối a, vectơ nối từ đầu a đến cuối b chính là a + b; hoặc đặt a và b chung điểm đầu thì a + b là đường chéo của hình bình hành.
Hỏi: |a + b| có bằng |a| + |b| không?
Đáp: Không phải lúc nào cũng bằng. Đẳng thức |a + b| = |a| + |b| chỉ đúng khi a và b cùng hướng. Nói chung, |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b, nên độ dài của tổng còn phụ thuộc vào góc giữa hai vectơ: góc càng nhỏ thì tổng càng dài, góc 90° cho |a + b| = √(|a|² + |b|²), góc 180° cho |a + b| = ||a| − |b||.
Hỏi: Khi nào thì |a − b| = |a + b|?
Đáp: Khi a vuông góc với b. Vì |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b và |a − b|² = |a|² + |b|² − 2a·b, hai độ dài này bằng nhau khi a·b = 0, tức là a vuông góc với b. Về hình học, khi đó hình bình hành tạo bởi a và b là hình chữ nhật, mà hai đường chéo của hình chữ nhật thì bằng nhau.
Hỏi: Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán không?
Đáp: Có. Với mọi vectơ a và b, a + b = b + a — cả về tọa độ lẫn hình học. Tính chất kết hợp cũng đúng: (a + b) + c = a + (b + c). Nhờ hai tính chất này mà bạn có thể cộng nhiều vectơ theo bất cứ thứ tự nào. Nhưng phép trừ thì không giao hoán: a − b = −(b − a).
Hỏi: Hiệu a − b vẽ như thế nào?
Đáp: Bạn có hai cách. Cách một: vẽ vectơ đối −b (cùng độ dài, ngược hướng với b) rồi cộng a với −b theo quy tắc ba điểm. Cách hai: đặt a và b chung điểm đầu O, hiệu a − b là vectơ nối từ điểm cuối của b đến điểm cuối của a. Bạn hãy nhớ mẹo: hiệu luôn "chạy" từ vectơ bị trừ (b) sang vectơ được trừ (a).
Kết luận
Tổng và hiệu hai vectơ chỉ gói gọn trong vài công thức: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂), và |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b. Bạn hãy nhớ ba điều: cộng, trừ vectơ là cộng, trừ từng thành phần tọa độ; độ dài của tổng phụ thuộc vào góc giữa hai vectơ, chỉ bằng tổng hai độ dài khi hai vectơ cùng hướng; và hiệu a − b chính là tổng của a với vectơ đối của b. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để cộng, trừ bất cứ hai vectơ nào — bằng tọa độ hay bằng hình vẽ — và bước tiếp sang quy tắc ba điểm, nơi phép cộng vectơ trở thành một công cụ chứng minh hình học.