Tam giác cân, đường trung trực của đoạn thẳng: công thức và bài tập lớp 7

Bạn lấy một tờ giấy hình chữ nhật, gấp đôi nó sao cho hai mép giấy trùng khít lên nhau, rồi miết mạnh tạo thành nếp gấp. Mở tờ giấy ra, bạn thấy nếp gấp chia tờ giấy thành hai nửa giống hệt nhau — nếp gấp đó chính là trục đối xứng của tờ giấy. Bây giờ, bạn cắt tờ giấy đã gấp thành một hình tam giác rồi mở ra: bạn được một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau, và nếp gấp cũ chạy đúng qua đỉnh của nó, vuông góc với cạnh đáy tại đúng trung điểm. Tam giác đó gọi là tam giác cân, và nếp gấp đó gọi là đường trung trực của cạnh đáy. Chỉ với một lần gấp giấy, bạn đã gặp cả hai nhân vật chính của bài học hôm nay.

Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", tam giác cân và đường trung trực của đoạn thẳng nằm trong Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng, thuộc Chương IV: Tam giác bằng nhau. Đây là bài học nối hai ý tưởng tưởng như riêng biệt — một hình tam giác đặc biệt và một đường thẳng đặc biệt — thành một câu chuyện duy nhất về tính đối xứng. Bài viết này sẽ giúp bạn gọi đúng tên các yếu tố của tam giác cân, tính được góc ở đáy khi biết góc ở đỉnh, hiểu rõ đường trung trực là gì và vì sao mọi điểm trên nó đều cách đều hai đầu mút, rồi luyện tập với ví dụ, lỗi sai thường gặp và bài tập có đáp án giải thích cặn kẽ.

1. Tam giác cân là gì? Gọi đúng tên từng bộ phận

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Nếu tam giác ABC có AB = AC thì ta nói tam giác ABC cân tại A. Bạn hãy học thuộc các tên gọi: đỉnh A là đỉnh của tam giác cân — nơi hai cạnh bằng nhau gặp nhau, góc A là góc ở đỉnh. Hai cạnh AB và AC là hai cạnh bên, cạnh BC là cạnh đáy, hai góc B và C là hai góc ở đáy. Nghe thì nhiều tên gọi, nhưng bạn chỉ cần nhớ một hình ảnh: tam giác cân giống như một mái nhà — đỉnh ở trên, hai mái dốc bằng nhau là hai cạnh bên, nền nhà là cạnh đáy.

Điều quan trọng nhất khi làm bài về tam giác cân là xác định đúng tam giác cân tại đâu. Tam giác ABC cân tại A khác hẳn tam giác ABC cân tại B: cân tại A thì AB = AC và góc B = góc C; cân tại B thì BA = BC và góc A = góc C. Đề bài luôn nói rõ tam giác cân tại đâu — hoặc cho đủ dữ kiện để bạn tự suy ra — nên bạn đừng bao giờ đoán mò. Một mẹo nhỏ: đỉnh của tam giác cân là đỉnh nằm giữa hai cạnh bằng nhau, còn cạnh đáy là cạnh nằm đối diện với đỉnh đó. Bạn hãy khoanh tròn hai cạnh bằng nhau trên hình vẽ trước, rồi mới gọi tên các góc — làm vậy thì không bao giờ nhầm đỉnh với đáy.

Một trường hợp đặc biệt của tam giác cân là tam giác đều: tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi đó ba góc cũng bằng nhau và mỗi góc bằng 60°. Tam giác đều vừa là tam giác cân tại cả ba đỉnh, vừa có ba trục đối xứng. Bạn sẽ gặp tam giác đều nhiều trong các bài toán về sau, nhưng trong bài này bạn chỉ cần nhớ: tam giác đều là tam giác cân đặc biệt, còn tam giác cân thông thường chỉ có hai cạnh bằng nhau và một trục đối xứng duy nhất.

2. Tính chất của tam giác cân: hai góc ở đáy bằng nhau

Tính chất quan trọng nhất của tam giác cân là: trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Tam giác ABC cân tại A thì góc B = góc C. Ngược lại, nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân: tam giác ABC có góc B = góc C thì tam giác ABC cân tại A. Hai chiều này đều đúng và đều hay dùng — chiều thuận để tính góc, chiều ngược để chứng minh một tam giác là tam giác cân.

Nhờ tính chất này, bạn có ngay công thức tính góc trong tam giác cân. Nếu biết góc ở đỉnh, mỗi góc ở đáy bằng (180° − góc ở đỉnh) : 2. Ví dụ: tam giác cân có góc ở đỉnh 40° thì mỗi góc ở đáy bằng (180° − 40°) : 2 = 70°. Nếu biết một góc ở đáy, góc ở đỉnh bằng 180° − 2 lần góc ở đáy. Ví dụ: tam giác cân có một góc ở đáy bằng 75° thì góc ở đỉnh bằng 180° − 2 × 75° = 30°. Bạn hãy kiểm tra lại: 75° + 75° + 30° = 180° — đúng tổng ba góc trong một tam giác.

Bạn cũng nên biết một tính chất đẹp khác của tam giác cân: trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh, đường cao và đường trung trực của cạnh đáy. Nói cách khác, bốn đường đặc biệt này trùng nhau thành một đường duy nhất — chính là trục đối xứng của tam giác cân, cũng là nếp gấp tờ giấy ở đầu bài. Bạn sẽ dùng tính chất này trong ví dụ 4 ở mục 5, khi chứng minh đường cao của tam giác cân cũng là đường trung trực của cạnh đáy.

3. Đường trung trực của đoạn thẳng: hai điều kiện, một tính chất vàng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Bạn hãy để ý: định nghĩa này gồm đúng hai điều kiện, thiếu một là không được. Điều kiện thứ nhất: đường thẳng phải đi qua trung điểm của đoạn thẳng. Điều kiện thứ hai: đường thẳng phải vuông góc với đoạn thẳng. Một đường thẳng chỉ đi qua trung điểm mà không vuông góc thì không phải là đường trung trực. Một đường thẳng chỉ vuông góc mà cắt đoạn thẳng ở chỗ khác trung điểm thì cũng không phải là đường trung trực.

Ví dụ: đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi d vuông góc với AB tại M và M là trung điểm của AB, tức là MA = MB. Đường trung trực cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng AB: gấp hình theo đường trung trực thì hai nửa đoạn thẳng trùng khít lên nhau. Bạn hãy tưởng tượng đường trung trực như một tấm gương đặt giữa đoạn thẳng: điểm A soi qua gương thành điểm B, và ngược lại.

Tính chất quan trọng nhất của đường trung trực — tính chất mà bạn sẽ dùng trong mọi bài tập — là: điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nếu D nằm trên đường trung trực của AB thì DA = DB. Và ngược lại cũng đúng: điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Nói cách khác, đường trung trực của đoạn thẳng AB chính là tập hợp tất cả các điểm cách đều A và B. Bạn hãy ghi nhớ cả hai chiều này: chiều thuận để tính độ dài, chiều ngược để chứng minh một điểm nằm trên đường trung trực.

Bạn có thể hiểu tính chất này qua hai tam giác vuông bằng nhau: với D nằm trên đường trung trực của AB, gọi M là trung điểm của AB, hai tam giác DMA và DMB có MA = MB, góc DMA = góc DMB = 90° và DM chung nên bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, suy ra DA = DB. Cách chứng minh này cũng cho thấy tam giác cân và đường trung trực gắn bó với nhau như thế nào: điểm D cùng với hai mút A, B tạo thành một tam giác cân tại D — và bạn sẽ gặp lại ý này trong ví dụ 3.

4. Mối liên hệ đẹp: tam giác cân gặp đường trung trực ở đâu?

Tam giác cân và đường trung trực gặp nhau ở một điểm rất đẹp: đường trung trực của cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác cân. Tam giác ABC cân tại A thì đường trung trực của BC đi qua A. Vì sao? Vì A cách đều B và C (AB = AC) nên theo tính chất ngược của đường trung trực, A phải nằm trên đường trung trực của BC. Mà đường trung trực của BC vừa đi qua trung điểm của BC vừa vuông góc với BC — nên đường thẳng đi qua A và trung điểm của BC chính là đường trung trực của BC, đồng thời là đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác của góc A.

Mối liên hệ này cho bạn một cách vẽ tam giác cân rất nhanh bằng thước và compa: vẽ đoạn thẳng AB, dựng đường trung trực của AB, rồi lấy một điểm C bất kì trên đường trung trực đó (khác trung điểm). Vì C nằm trên đường trung trực của AB nên CA = CB, tam giác ABC cân tại C. Bạn muốn tam giác cân cao bao nhiêu thì lấy điểm C xa trung điểm bấy nhiêu — chỉ cần C nằm trên đường trung trực là tam giác vẽ ra chắc chắn cân.

Ngược lại, đường trung trực cũng giúp bạn nhận ra tam giác cân trong hình vẽ: nếu bạn thấy một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy nối điểm đó với hai mút của đoạn thẳng — bạn được ngay một tam giác cân. Cách nhìn này rất hữu ích khi làm bài tập chứng minh: nhiều bài toán cho đường trung trực mà không nói gì về tam giác cân, nhưng chỉ cần nối thêm hai đoạn thẳng là tam giác cân hiện ra, và hai góc ở đáy bằng nhau trở thành chìa khóa của cả bài toán. Bạn hãy xem lại bài độ dài đoạn thẳng khi biết một điểm nằm giữa hai điểm để ôn lại khái niệm trung điểm — trung điểm là một nửa của định nghĩa đường trung trực, và bạn sẽ cần nó trong mọi bài tập của bài này.

5. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Tam giác cân có góc ở đỉnh 40°. Tính mỗi góc ở đáy.
Đây là ví dụ gốc của bài. Gọi tam giác cân là ABC, cân tại A, góc A = 40°.
Vì tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên góc B + góc C = 180° − góc A = 180° − 40° = 140°.
Mà góc B = góc C nên mỗi góc ở đáy bằng 140° : 2 = 70°.
Vậy mỗi góc ở đáy bằng 70°. Bạn hãy kiểm tra lại: 40° + 70° + 70° = 180° — đúng.

Ví dụ 2 (tính chu vi và góc): Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 7 cm, BC = 5 cm. Tính chu vi của tam giác. Nếu góc B = 65° thì góc A bằng bao nhiêu?
Chu vi của tam giác ABC bằng AB + AC + BC = 7 + 7 + 5 = 19 cm.
Vì tam giác ABC cân tại A nên góc C = góc B = 65°.
Góc A = 180° − góc B − góc C = 180° − 65° − 65° = 50°.
Vậy chu vi của tam giác là 19 cm và góc A bằng 50°. Bạn hãy để ý: biết một góc ở đáy là tính được ngay góc ở đỉnh bằng 180° trừ đi hai lần góc ở đáy.

Ví dụ 3 (điểm trên đường trung trực): Cho đoạn thẳng AB = 8 cm, đường thẳng d là đường trung trực của AB, M là trung điểm của AB. Tính MA, MB. Lấy điểm D trên đường thẳng d sao cho DA = 6 cm. Tính DB.
Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = AB : 2 = 8 : 2 = 4 cm.
Vì D nằm trên đường trung trực của AB nên D cách đều hai mút A và B, tức là DA = DB.
Mà DA = 6 cm nên DB = 6 cm.
Vậy MA = MB = 4 cm và DB = 6 cm. Bạn hãy để ý: không cần biết D nằm ở đâu trên đường trung trực, chỉ cần biết D nằm trên đó là kết luận được DA = DB — đó là sức mạnh của tính chất đường trung trực.

Ví dụ 4 (chứng minh đường cao cũng là đường trung trực): Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao (H thuộc BC). Chứng minh H là trung điểm của BC và AH là đường trung trực của BC.
Xét hai tam giác vuông AHB và AHC, ta có AB = AC (tam giác ABC cân tại A), AH là cạnh chung, góc AHB = góc AHC = 90°.
Vì hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau nên tam giác AHB = tam giác AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Vì hai tam giác bằng nhau nên HB = HC, tức là H là trung điểm của BC.
Mà AH vuông góc với BC tại H nên AH là đường thẳng vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
Vậy AH là đường trung trực của BC. Đồng thời, vì hai tam giác bằng nhau nên góc BAH = góc CAH, tức là AH cũng là tia phân giác của góc A — đúng như tính chất đã nói ở mục 2. Khi cần tính toán nhanh các góc trong tam giác cân, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ kiểm tra phép tính.

6. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Nhầm đỉnh với đáy của tam giác cân.
Nhiều bạn thấy tam giác ABC cân mà không để ý đề bài nói cân tại đâu, rồi mặc định góc A là góc ở đỉnh và BC là cạnh đáy. Nhưng tam giác ABC cân tại B thì đỉnh là B, cạnh đáy là AC, hai góc ở đáy là góc A và góc C — hoàn toàn khác. Cách tránh: đọc đề bài xong, hãy gạch chân ngay dòng "cân tại ..." rồi khoanh tròn hai cạnh bằng nhau trên hình vẽ. Chỉ khi nào xác định đúng đỉnh và đáy thì mọi tính toán sau đó mới đúng.

Lỗi 2: Tưởng tam giác cân thì ba góc bằng nhau.
Nhiều bạn nhầm tam giác cân với tam giác đều: thấy tam giác cân là nghĩ ngay ba góc bằng nhau, mỗi góc 60°. Nhưng tam giác cân thông thường chỉ có hai góc ở đáy bằng nhau, còn góc ở đỉnh có thể là bất kì số đo nào nhỏ hơn 180° — ví dụ góc ở đỉnh 40° thì hai góc ở đáy bằng 70°, góc ở đỉnh 100° thì hai góc ở đáy bằng 40°. Chỉ có tam giác đều mới có ba góc bằng nhau. Cách tránh: nhớ rằng tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân, không phải ngược lại.

Lỗi 3: Tính góc ở đáy mà quên chia 2.
Đây là lỗi sai phổ biến nhất của bài này: biết góc ở đỉnh 40°, nhiều bạn tính góc ở đáy bằng 180° − 40° = 140° mà quên chia cho 2. Nhưng 140° là tổng của cả hai góc ở đáy, còn mỗi góc ở đáy chỉ bằng một nửa, tức là 70°. Cách tránh: sau khi tính xong, hãy kiểm tra nhanh — góc ở đáy của tam giác cân luôn nhỏ hơn 90° (vì hai góc ở đáy cộng lại nhỏ hơn 180°). Nếu bạn tính ra góc ở đáy bằng 140° thì chắc chắn đã sai, vì một góc của tam giác không thể lớn hơn tổng hai góc còn lại theo cách đó.

Lỗi 4: Tưởng đường trung trực chỉ cần một trong hai điều kiện.
Nhiều bạn thấy một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng là gọi ngay nó là đường trung trực, mà quên kiểm tra xem nó có vuông góc với đoạn thẳng không. Ngược lại, có bạn thấy một đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng là gọi ngay nó là đường trung trực, mà quên kiểm tra xem nó có đi qua trung điểm không. Cả hai đều sai: đường trung trực phải thỏa mãn cả hai điều kiện cùng lúc — đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng. Cách tránh: mỗi khi gặp đường trung trực, hãy kiểm tra cả hai dấu hiệu: một là dấu vuông góc, hai là hai đoạn thẳng hai bên trung điểm bằng nhau.

Lỗi 5: Nhầm "điểm cách đều hai mút thì nằm trên đường trung trực" với "nằm trên đường thẳng AB".
Nhiều bạn nhớ mang máng tính chất cách đều rồi kết luận điểm cách đều A và B thì nằm trên đường thẳng AB — sai hoàn toàn. Điểm cách đều A và B nằm trên đường trung trực của AB, tức là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm, chứ không phải đường thẳng AB. Ví dụ: đỉnh của tam giác cân cách đều hai mút của cạnh đáy, và nó nằm trên đường trung trực của cạnh đáy — đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với cạnh đáy — chứ không nằm trên đường thẳng chứa cạnh đáy. Cách tránh: vẽ hình ra giấy nháp — điểm cách đều hai mút luôn nằm trên đường thẳng "đứng giữa" đoạn thẳng, không bao giờ nằm trên chính đoạn thẳng đó (trừ trung điểm).

7. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ vẽ hình ra giấy nháp trước khi làm — vẽ hình là một nửa của bài làm.

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 100°. Góc B bằng bao nhiêu?
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 5 cm, BC = 8 cm. Chu vi của tam giác ABC bằng bao nhiêu?
A. 13 cm
B. 16 cm
C. 18 cm
D. 21 cm

Câu 3: Điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, MA = 7 cm. Độ dài MB bằng bao nhiêu?
A. 3,5 cm
B. 7 cm
C. 14 cm
D. Không tính được

Câu 4: Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau
B. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân
C. Đường trung trực của một đoạn thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó
D. Mọi điểm cách đều A và B đều nằm trên đường thẳng AB

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A có góc B = 75°. Góc A bằng bao nhiêu?
A. 25°
B. 30°
C. 75°
D. 105°

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (40°) đúng: Vì tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C. Tổng hai góc ở đáy bằng 180° − góc A = 180° − 100° = 80°, vậy mỗi góc ở đáy bằng 80° : 2 = 40°. Đáp án B (50°) sai vì 50° là kết quả của (180° − 80°) : 2, không phải của bài này. Đáp án C (80°) sai vì 80° là tổng của hai góc ở đáy, chưa chia cho 2. Đáp án D (100°) sai vì 100° là góc ở đỉnh, không phải góc ở đáy.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (18 cm) đúng: Vì tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 5 cm. Chu vi của tam giác bằng AB + AC + BC = 5 + 5 + 8 = 18 cm. Đáp án A (13 cm) sai vì 13 cm là tổng AB + BC, thiếu cạnh AC. Đáp án B (16 cm) sai vì 16 cm là tổng AB + AC + BC với BC tính nhầm thành 6 cm. Đáp án D (21 cm) sai vì 21 cm là tổng 5 + 8 + 8, tức là nhầm tam giác cân tại B.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (7 cm) đúng: Vì M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên M cách đều hai mút A và B, tức là MA = MB = 7 cm. Đáp án A (3,5 cm) sai vì 3,5 cm là một nửa của 7 cm, không liên quan gì tới bài này. Đáp án C (14 cm) sai vì 14 cm là gấp đôi 7 cm, không phải độ dài MB. Đáp án D sai vì tính được MB nhờ tính chất của đường trung trực.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D sai: Điểm cách đều A và B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, chứ không nằm trên đường thẳng AB. Đáp án A đúng vì đó là tính chất của tam giác cân. Đáp án B đúng vì đó là dấu hiệu nhận biết tam giác cân. Đáp án C đúng vì đó chính là định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (30°) đúng: Vì tam giác ABC cân tại A nên góc C = góc B = 75°. Góc A = 180° − góc B − góc C = 180° − 75° − 75° = 30°. Đáp án A (25°) sai vì không có phép tính nào cho ra 25° từ 75°. Đáp án C (75°) sai vì 75° là góc ở đáy, không phải góc ở đỉnh. Đáp án D (105°) sai vì 105° = 180° − 75°, tức là quên trừ đi cả hai góc ở đáy.

8. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Tam giác cân có mấy trục đối xứng?
Đáp: Tam giác cân thông thường có đúng một trục đối xứng — đó là đường trung trực của cạnh đáy, cũng là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đáy. Riêng tam giác đều có ba trục đối xứng, vì nó cân tại cả ba đỉnh.

Hỏi: Tam giác có hai góc bằng nhau thì có phải là tam giác cân không?
Đáp: Có. Đây là dấu hiệu nhận biết tam giác cân: nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân, và hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau đó cũng bằng nhau. Bạn hãy dùng dấu hiệu này khi đề bài cho góc mà không cho cạnh.

Hỏi: Đường trung trực khác đường trung tuyến ở điểm nào?
Đáp: Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Đường trung tuyến chỉ cần đi qua trung điểm, còn đường trung trực phải vừa đi qua trung điểm vừa vuông góc với đoạn thẳng. Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy trùng với đường trung trực của cạnh đáy — nhưng trong tam giác thường thì hai đường này khác nhau.

Hỏi: Mọi điểm trên đường trung trực đều cách đều hai mút — chiều ngược lại có đúng không?
Đáp: Đúng. Nếu một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì điểm đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Hai chiều đều đúng, và bạn được phép dùng cả hai chiều trong bài tập: chiều thuận để tính độ dài, chiều ngược để chứng minh một điểm nằm trên đường trung trực.

Hỏi: Tam giác đều có phải là tam giác cân không?
Đáp: Có. Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân: nó có ba cạnh bằng nhau nên cân tại cả ba đỉnh, ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60°. Mọi tính chất của tam giác cân đều đúng với tam giác đều.

9. Kết luận

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai góc ở đáy bằng nhau, và đường trung trực của cạnh đáy đi qua đỉnh của nó. Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó, và mọi điểm trên đó đều cách đều hai mút của đoạn thẳng. Hai ý tưởng này gặp nhau ở một điểm rất đẹp: đường trung trực của cạnh đáy chính là trục đối xứng của tam giác cân, đồng thời là đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về tam giác cân và đường trung trực trong chương trình lớp 7 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để học bài tiếp theo về trọng tâm của tam giác, vì các đường trung tuyến của tam giác cũng gặp nhau tại một điểm đặc biệt. Nếu muốn ôn lại cách chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau đã dùng trong ví dụ 4, bạn hãy xem lại bài các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông — ở đó, cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau là đủ để kết luận. Và khi học sang bài tính chất tia phân giác của một góc, bạn sẽ thấy tia phân giác của góc ở đỉnh cũng chính là đường trung trực của cạnh đáy trong tam giác cân.