Hình học không gian
Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Toán · Lớp 12 · /cong-thuc-toan-lop-12/cong-thuc-tinh-goc-giua-hai-mat-phang
Công thức
\[\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]
Góc giữa hai mặt phẳng được tính thông qua cosin của góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng.
Diễn giải ký hiệu
-
\(\theta\)
Góc giữa hai mặt phẳng (0 ≤ θ ≤ 90°)
-
\((P): a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\)
Mặt phẳng thứ nhất
-
\((Q): a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0\)
Mặt phẳng thứ hai
-
\(\vec{n}_1 = (a_1, b_1, c_1)\)
Vector pháp tuyến của (P)
-
\(\vec{n}_2 = (a_2, b_2, c_2)\)
Vector pháp tuyến của (Q)
Cách dùng
Xác định vector pháp tuyến của hai mặt phẳng. Tính cosin góc giữa chúng bằng công thức. Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn, nên lấy giá trị tuyệt đối.
Vận dụng
Xác định góc giữa hai mặt phẳng trong các bài toán hình học không gian, ví dụ góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp. Thường gặp trong đề thi.
Ví dụ cơ bản
Cho (P): x + y + z - 1 = 0 và (Q): x - y + 2z = 0. Vector pháp tuyến n1=(1,1,1), n2=(1,-1,2). cosθ = |1-1+2|/(√3*√6) = 2/(3√2) = √2/3. Vậy θ ≈ 61.9°.
