Toán · Lớp 12

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

\[x = \frac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}\]

Dùng khi hệ số b là số chẵn, đặt b = 2b' để giảm phép tính.

Xem chi tiết →

Định lý Viète cho phương trình bậc hai

\[\begin{cases} S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}\]

Liên hệ giữa tổng và tích các nghiệm với hệ số, dùng để nhẩm nghiệm và xét dấu.

Xem chi tiết →

Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

\[\Delta = b^2 - 4ac \ge 0\]

Biệt thức Δ xác định số nghiệm của phương trình bậc hai.

Xem chi tiết →

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Công thức tổng quát tìm nghiệm khi Δ ≥ 0.

Xem chi tiết →

Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]

Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2, tam thức được phân tích thành tích.

Xem chi tiết →

Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

\[a \cdot c < 0\]

Nếu tích hệ số a và c âm thì phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu.

Xem chi tiết →

Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu

\[\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \end{cases}\]

Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi có nghiệm và tích của chúng dương.

Xem chi tiết →

Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt cùng dương

\[\begin{cases} \Delta > 0 \\ S = -\frac{b}{a} > 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \end{cases}\]

Điều kiện đủ để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Xem chi tiết →

Tọa độ đỉnh của parabol

\[x = -\frac{b}{2a}, \; y = -\frac{\Delta}{4a}\]

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0).

Xem chi tiết →

Trục đối xứng của parabol

\[x = -\frac{b}{2a}\]

Đường thẳng x = -b/(2a) là trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai.

Xem chi tiết →

Điều kiện để hàm số bậc hai đồng biến, nghịch biến

\[y' = 2ax + b\]

Đạo hàm của hàm số bậc hai dùng để xét tính đơn điệu trên các khoảng.

Xem chi tiết →

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai trên R

\[\max f(x) = -\frac{\Delta}{4a} \; (a<0), \; \min f(x) = -\frac{\Delta}{4a} \; (a>0)\]

Giá trị cực trị của hàm bậc hai đạt tại đỉnh parabol.

Xem chi tiết →

Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và parabol

\[\Delta = 0\]

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol có nghiệm kép khi chúng tiếp xúc nhau.

Xem chi tiết →

Tọa độ giao điểm của hai parabol

\[\begin{cases} y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \\ y = a_2x^2 + b_2x + c_2 \end{cases}\]

Giải hệ phương trình hai parabol để tìm giao điểm.

Xem chi tiết →

Phương trình trục đối xứng của parabol khi biết hai điểm đối xứng

\[x = \frac{x_1 + x_2}{2}\]

Trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai điểm có cùng tung độ trên parabol.

Xem chi tiết →

Điều kiện để parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

\[\Delta > 0\]

Phương trình ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0, tức parabol cắt trục hoành tại hai điểm.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối chóp

\[V = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h\]

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

\[V = S_{đáy} \cdot h\]

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Xem chi tiết →

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

\[S_{xq} = \pi r l\]

Diện tích xung quanh hình nón bằng tích của bán kính đáy, đường sinh và số pi.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối nón

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Thể tích khối nón bằng một phần ba diện tích đáy nhân chiều cao, với đáy là hình tròn.

Xem chi tiết →

Công thức tính diện tích mặt cầu

\[S = 4 \pi R^2\]

Diện tích mặt cầu bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn có cùng bán kính.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối cầu

\[V = \frac{4}{3} \pi R^3\]

Thể tích khối cầu bằng bốn phần ba nhân pi với lập phương bán kính.

Xem chi tiết →

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

\[d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính bằng giá trị tuyệt đối của biểu thức tuyến tính chia cho chuẩn của vector pháp tuyến.

Xem chi tiết →

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

\[\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]

Góc giữa hai mặt phẳng được tính thông qua cosin của góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng.

Xem chi tiết →

Công thức biến đổi tích thành tổng

\[\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]\]

Biến đổi tích của hai cosin thành tổng của hai cosin.

Xem chi tiết →

Công thức biến đổi tổng thành tích

\[\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\]

Biến đổi tổng hai cosin thành tích của hai cosin.

Xem chi tiết →

Công thức hạ bậc cosin bình phương

\[\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\]

Hạ bậc cosin bình phương về bậc nhất theo cosin góc đôi.

Xem chi tiết →

Công thức hạ bậc sin bình phương

\[\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}\]

Hạ bậc sin bình phương về bậc nhất theo cosin góc đôi.

Xem chi tiết →

Công thức cộng cho sin

\[\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b\]

Công thức cộng đối với sin của tổng hoặc hiệu hai góc.

Xem chi tiết →

Công thức cộng cho cos

\[\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b\]

Công thức cộng đối với cos của tổng hoặc hiệu hai góc.

Xem chi tiết →

Công thức nhân đôi cho tan

\[\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}\]

Tính tan của góc gấp đôi theo tan của góc ban đầu.

Xem chi tiết →

Công thức biến đổi tích thành tổng cho sin và cos

\[\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]\]

Biến đổi tích của sin và cos thành tổng của hai sin.

Xem chi tiết →

Công thức đổi cơ số logarit

\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Đổi logarit cơ số a sang cơ số c bất kỳ (c>0, c≠1).

Xem chi tiết →

Công thức logarit của một tích

\[\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\]

Logarit của một tích bằng tổng các logarit (với điều kiện x,y>0).

Xem chi tiết →

Công thức logarit của một thương

\[\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\]

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit (với x>0, y>0).

Xem chi tiết →

Công thức logarit của lũy thừa

\[\log_a(x^k) = k \log_a x\]

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

Xem chi tiết →

Công thức đạo hàm của hàm số mũ

\[(a^x)' = a^x \ln a\]

Đạo hàm của hàm số mũ cơ số a bằng chính nó nhân với ln(a).

Xem chi tiết →

Công thức đạo hàm của hàm số logarit

\[(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\]

Đạo hàm của hàm logarit cơ số a bằng 1 chia cho (x ln a).

Xem chi tiết →

Công thức biến đổi logarit của căn bậc n

\[\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x\]

Logarit của căn bậc n của x bằng 1/n nhân logarit của x.

Xem chi tiết →

Công thức mũ của logarit

\[a^{\log_a x} = x\]

Lũy thừa với cơ số a và số mũ là logarit cơ số a của x sẽ bằng chính x.

Xem chi tiết →

Công thức đạo hàm của tích hai hàm số

\[(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\]

Đạo hàm của tích hai hàm số bằng đạo hàm hàm thứ nhất nhân hàm thứ hai cộng hàm thứ nhất nhân đạo hàm hàm thứ hai.

Xem chi tiết →

Công thức đạo hàm của thương hai hàm số

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

Đạo hàm của thương hai hàm số bằng (đạo hàm tử nhân mẫu trừ tử nhân đạo hàm mẫu) chia cho mẫu bình phương.

Xem chi tiết →

Công thức đạo hàm của hàm hợp

\[(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm hàm ngoài tại điểm g(x) nhân với đạo hàm hàm trong.

Xem chi tiết →

Công thức nguyên hàm của hàm số mũ cơ số a

\[\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\]

Nguyên hàm của hàm mũ cơ số a bằng a^x chia cho ln a cộng hằng số tích phân.

Xem chi tiết →

Công thức nguyên hàm của hàm số logarit tự nhiên

\[\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C\]

Nguyên hàm của ln x bằng x ln x trừ x cộng hằng số tích phân.

Xem chi tiết →

Công thức tích phân từng phần

\[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]

Công thức tích phân từng phần giúp tính tích phân của tích hai hàm bằng cách chuyển sang tích phân khác.

Xem chi tiết →

Công thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kỳ

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Xác suất của hợp hai biến cố bằng tổng xác suất của từng biến cố trừ đi xác suất giao của chúng.

Xem chi tiết →

Công thức xác suất có điều kiện

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) với \(P(B) > 0\]

Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, bằng tỉ số xác suất giao và xác suất của B.

Xem chi tiết →

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Nếu hai biến cố độc lập, xác suất để cả hai cùng xảy ra bằng tích xác suất của từng biến cố.

Xem chi tiết →

Công thức xác suất của biến cố đối

\[P(\overline{A}) = 1 - P(A)\]

Xác suất của biến cố đối của A bằng 1 trừ đi xác suất của A.

Xem chi tiết →

Công thức Bernoulli (xác suất của k lần thành công trong n phép thử độc lập)

\[P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\]

Xác suất để có đúng k lần thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập, mỗi lần có xác suất thành công là p.

Xem chi tiết →

Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Nếu hai biến cố xung khắc (không thể cùng xảy ra), xác suất của hợp bằng tổng xác suất của từng biến cố.

Xem chi tiết →

Công thức xác suất toàn phần

\[P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)\]

Nếu các biến cố A_i tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, xác suất của B bằng tổng có trọng số của xác suất B theo từng A_i.

Xem chi tiết →

Công thức Bayes

\[P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B|A_j)}\]

Cho phép tính xác suất hậu nghiệm của biến cố A_i khi biết B đã xảy ra, dựa trên xác suất tiên nghiệm và khả năng.

Xem chi tiết →