Toán · Lớp 11

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

\[x = \frac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}\]

Dùng khi hệ số b chẵn, đặt b = 2b' để giảm phép tính.

Xem chi tiết →

Định lý Viète cho phương trình bậc hai

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}\]

Liên hệ giữa tổng và tích các nghiệm với các hệ số.

Xem chi tiết →

Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

\[\Delta = b^2 - 4ac \ge 0\]

Phương trình bậc hai có nghiệm thực khi biệt thức không âm.

Xem chi tiết →

Phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ

\[x = \frac{p}{q} \text{ với } p | c, q | a\]

Nghiệm hữu tỉ của phương trình ax^2+bx+c=0 có dạng p/q, trong đó p là ước của c, q là ước của a.

Xem chi tiết →

Phương trình trùng phương

\[ax^4 + bx^2 + c = 0 \; (a \neq 0)\]

Phương trình bậc bốn chỉ chứa x^4 và x^2, đặt t = x^2 để quy về bậc hai.

Xem chi tiết →

Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

ac < 0

Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi tích hệ số a và c âm.

Xem chi tiết →

Công thức tính nhanh nghiệm khi a+b+c=0

\[x_1 = 1, \; x_2 = \frac{c}{a}\]

Nếu tổng các hệ số a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là 1, nghiệm kia là c/a.

Xem chi tiết →

Công thức tính nhanh nghiệm khi a-b+c=0

\[x_1 = -1, \; x_2 = -\frac{c}{a}\]

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là -1, nghiệm kia là -c/a.

Xem chi tiết →

Tọa độ đỉnh của parabol

\[x = -\frac{b}{2a}, \; y = -\frac{\Delta}{4a}\]

Tọa độ đỉnh của parabol y = ax^2 + bx + c, với a ≠ 0.

Xem chi tiết →

Trục đối xứng của parabol

\[x = -\frac{b}{2a}\]

Đường thẳng x = -b/(2a) là trục đối xứng của parabol y = ax^2 + bx + c.

Xem chi tiết →

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc hai

\[y_{\text{max/min}} = -\frac{\Delta}{4a}\]

Giá trị cực trị của hàm số y = ax^2 + bx + c đạt được tại x = -b/(2a).

Xem chi tiết →

Điều kiện để parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

\[\Delta > 0\]

Phương trình ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ > 0.

Xem chi tiết →

Điều kiện tiếp xúc với trục hoành

\[\Delta = 0\]

Parabol y = ax^2 + bx + c tiếp xúc với trục hoành khi phương trình có nghiệm kép, tức Δ = 0.

Xem chi tiết →

Công thức chuyển đổi giữa dạng tổng quát và dạng đỉnh

\[y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}\]

Biến đổi hàm bậc hai về dạng đỉnh giúp dễ dàng xác định đỉnh và vẽ đồ thị.

Xem chi tiết →

Tọa độ giao điểm của hai parabol

\[a_1x^2 + b_1x + c_1 = a_2x^2 + b_2x + c_2\]

Hoành độ giao điểm của hai parabol y = a1x^2+b1x+c1 và y = a2x^2+b2x+c2 là nghiệm của phương trình trên.

Xem chi tiết →

Điều kiện để parabol nằm phía trên trục hoành

\[a > 0 \; \text{và} \; \Delta < 0\]

Parabol y = ax^2 + bx + c luôn dương với mọi x khi a > 0 và Δ < 0.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối chóp

\[V = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h\]

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

\[V = S_{đáy} \cdot h\]

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Xem chi tiết →

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

\[S_{xq} = \pi r l\]

Diện tích xung quanh hình nón bằng tích của pi, bán kính đáy và đường sinh.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối nón

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Thể tích khối nón bằng một phần ba tích của pi, bình phương bán kính đáy và chiều cao.

Xem chi tiết →

Công thức tính diện tích mặt cầu

\[S = 4 \pi R^2\]

Diện tích mặt cầu bằng bốn lần tích của pi và bình phương bán kính.

Xem chi tiết →

Công thức tính thể tích khối cầu

\[V = \frac{4}{3} \pi R^3\]

Thể tích khối cầu bằng bốn phần ba tích của pi và lập phương bán kính.

Xem chi tiết →

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

\[d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Khoảng cách từ điểm M(x0,y0,z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thức trên.

Xem chi tiết →

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

\[\sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}\]

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) thỏa mãn sin của góc bằng trị tuyệt đối của tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của (P) chia cho tích độ dài của chúng.

Xem chi tiết →

Công thức cộng sin

\[\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]

Công thức biểu diễn sin của tổng hai góc theo sin và cos của từng góc.

Xem chi tiết →

Công thức cộng cos

\[\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]

Công thức biểu diễn cos của tổng hai góc theo cos và sin của từng góc.

Xem chi tiết →

Công thức nhân đôi sin

\[\sin 2a = 2\sin a \cos a\]

Công thức biểu diễn sin của góc gấp đôi theo tích của sin và cos của góc ban đầu.

Xem chi tiết →

Công thức nhân đôi cos

\[\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\]

Công thức biểu diễn cos của góc gấp đôi theo cos bình phương và sin bình phương.

Xem chi tiết →

Công thức hạ bậc sin bình phương

\[\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}\]

Công thức biểu diễn sin bình phương theo cos của góc gấp đôi, giúp hạ bậc.

Xem chi tiết →

Công thức hạ bậc cos bình phương

\[\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\]

Công thức biểu diễn cos bình phương theo cos của góc gấp đôi, giúp hạ bậc.

Xem chi tiết →

Công thức biến đổi tích thành tổng (sin sin)

\[\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]\]

Công thức biến đổi tích của hai sin thành hiệu của hai cos.

Xem chi tiết →

Công thức biến đổi tổng thành tích (sin + sin)

\[\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\]

Công thức biến đổi tổng của hai sin thành tích của sin và cos của nửa tổng và nửa hiệu.

Xem chi tiết →

Công thức đổi cơ số logarit

\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Chuyển logarit từ cơ số a sang cơ số c bất kỳ.

Xem chi tiết →

Công thức logarit của một tích

\[\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\]

Logarit của tích bằng tổng các logarit.

Xem chi tiết →

Công thức logarit của một thương

\[\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\]

Logarit của thương bằng hiệu các logarit.

Xem chi tiết →

Công thức logarit của lũy thừa

\[\log_a x^n = n \log_a x\]

Logarit của lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit cơ số.

Xem chi tiết →

Công thức đạo hàm của hàm số mũ

\[(a^x)' = a^x \ln a\]

Đạo hàm của hàm mũ cơ số a bằng chính nó nhân với ln a.

Xem chi tiết →

Công thức đạo hàm của hàm số logarit

\[(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}\]

Đạo hàm của hàm logarit cơ số a bằng 1 chia cho x nhân ln a.

Xem chi tiết →

Công thức biến đổi lũy thừa với số mũ hữu tỉ

\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ bằng căn bậc n của a mũ m.

Xem chi tiết →

Công thức tính lãi kép liên tục

\[A = P e^{rt}\]

Số tiền cuối kỳ khi lãi được cộng liên tục theo thời gian.

Xem chi tiết →

Đạo hàm của thương hai hàm số

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

Công thức tính đạo hàm của một thương hai hàm số khả vi.

Xem chi tiết →

Đạo hàm của hàm hợp (quy tắc chuỗi)

\[(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

Đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm hàm ngoài tại g(x) nhân với đạo hàm hàm trong.

Xem chi tiết →

Đạo hàm của tích hai hàm số

(uv)' = u'v + uv'

Đạo hàm của tích hai hàm số bằng đạo hàm thứ nhất nhân hàm thứ hai cộng hàm thứ nhất nhân đạo hàm thứ hai.

Xem chi tiết →

Đạo hàm của hàm logarit tự nhiên

\[(\ln x)' = \frac{1}{x}\]

Đạo hàm của logarit tự nhiên của x bằng nghịch đảo của x (x>0).

Xem chi tiết →

Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e

\[(e^x)' = e^x\]

Đạo hàm của hàm mũ cơ số e bằng chính nó.

Xem chi tiết →

Công thức nguyên hàm của hàm số mũ

\[\int e^x \, dx = e^x + C\]

Nguyên hàm của e^x là e^x cộng hằng số tích phân.

Xem chi tiết →

Công thức nguyên hàm của hàm số mũ tổng quát

\[\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\]

Nguyên hàm của hàm mũ cơ số a bằng a^x chia cho ln a, cộng hằng số.

Xem chi tiết →

Số hoán vị của n phần tử

\[P_n = n!\]

Số cách sắp xếp n phần tử phân biệt thành một dãy có thứ tự.

Xem chi tiết →

Số chỉnh hợp chập k của n

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]

Số cách chọn và sắp xếp k phần tử từ n phần tử phân biệt (có thứ tự).

Xem chi tiết →

Số tổ hợp chập k của n

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Số cách chọn k phần tử từ n phần tử phân biệt không kể thứ tự.

Xem chi tiết →

Quy tắc cộng xác suất

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Xác suất của hợp hai biến cố bất kỳ bằng tổng xác suất trừ đi xác suất giao.

Xem chi tiết →

Xác suất có điều kiện

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra.

Xem chi tiết →

Quy tắc nhân xác suất

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\]

Xác suất giao của hai biến cố bằng tích xác suất của A và xác suất có điều kiện của B khi A xảy ra.

Xem chi tiết →

Công thức xác suất đầy đủ

\[P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)\]

Xác suất của biến cố B được tính bằng tổng có trọng số theo các biến cố A_i tạo thành một phân hoạch.

Xem chi tiết →

Công thức Bayes

\[P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B|A_j)}\]

Cho phép tính xác suất hậu nghiệm của biến cố A_i khi biết B đã xảy ra.

Xem chi tiết →