Công thức căn bậc hai: công thức và bài tập lớp 9

Bạn mở hộp đồ nghề của một thợ sửa xe và thấy ba dụng cụ được xếp ngay ngắn: một chiếc cờ lê, một chiếc tua vít và một chiếc kìm. Mỗi dụng cụ làm một việc riêng, nhưng cả ba đều cần thiết — thiếu một cái là công việc tắc ngay. Bộ ba công thức căn bậc hai cũng vậy: (√a)² = a, √(a²) = |a| và √a · √b = √(ab). Mỗi công thức giải quyết một kiểu bài toán riêng, nhưng cả ba đều là những dụng cụ mà bạn sẽ dùng trong gần như mọi bài toán chứa căn của lớp 9. Bài viết này sẽ dạy bạn dùng thành thạo cả ba — và quan trọng hơn, dạy bạn biết khi nào dùng cái nào.

Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", bộ ba công thức căn bậc hai nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia và Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Đây là bài học tổng hợp: thay vì học từng công thức rời rạc ở các bài trước, bài này gom ba công thức tính toán nhanh lại thành một "bộ dụng cụ" duy nhất để bạn tra cứu và luyện tập. Học xong bài này, bạn sẽ tính được (√7)² trong một giây, biết ngay √((−5)²) bằng 5 chứ không phải −5, và nhân hai căn thức với nhau mà không cần bấm máy tính.

1. Công thức thứ nhất: bình phương của căn bậc hai — (√a)² = a

Công thức đầu tiên trong bộ ba là công thức đơn giản nhất, nhưng cũng là công thức bị hiểu sai nhiều nhất: với a ≥ 0, ta có (√a)² = a. Bình phương của căn bậc hai của một số thì trở lại chính số đó. Ví dụ (√7)² = 7, (√11)² = 11, (√2)² = 2. Bạn hãy hiểu bản chất: √a là số không âm mà bình phương lên bằng a, nên khi bạn bình phương nó một lần nữa thì đương nhiên bạn được lại a. Công thức này là "phím tắt" để bạn không phải tính √7 ≈ 2,646 rồi bình phương lại — bạn viết ngay kết quả là 7.

Điều kiện a ≥ 0 ở đây không phải để trang trí. Căn bậc hai √a chỉ xác định khi a ≥ 0, nên công thức (√a)² = a cũng chỉ có nghĩa khi a ≥ 0. Nếu bạn viết (√(−4))² = −4 thì cả hai vế đều vô nghĩa trong tập số thực, vì √(−4) không tồn tại. Trong bài kiểm tra, nhiều bạn quên ghi điều kiện này khi áp dụng công thức vào biểu thức chứa biến — ví dụ tính (√(x − 1))² mà không ghi x ≥ 1. Bạn hãy luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi dùng công thức, giống như kiểm tra xem dụng cụ có vừa tay không trước khi dùng. Nếu muốn ôn lại điều kiện xác định của căn thức bậc hai, bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.

Công thức này còn có một ứng dụng rất hay: nó giúp bạn "khử" dấu căn trong phương trình. Khi bạn gặp phương trình √(x + 1) = 3, bạn bình phương hai vế: (√(x + 1))² = 3², tức là x + 1 = 9, suy ra x = 8. Nhờ công thức (√a)² = a mà vế trái trở thành một biểu thức không còn dấu căn — phương trình trở nên đơn giản ngay lập tức. Bạn sẽ gặp lại kĩ thuật này rất nhiều khi học cách giải phương trình chứa căn ở các bài sau.

2. Công thức thứ hai: căn bậc hai của bình phương — √(a²) = |a|

Công thức thứ hai là công thức "bẫy" nổi tiếng nhất của chương căn bậc hai: với mọi số thực a, ta có √(a²) = |a|. Căn bậc hai của bình phương một số thì bằng giá trị tuyệt đối của số đó — không phải bằng chính số đó. Ví dụ √((−5)²) = |−5| = 5, còn √(5²) = |5| = 5. Cả hai đều bằng 5, vì bình phương đã "xóa" dấu của số ban đầu, nên khi lấy căn lại bạn phải dùng giá trị tuyệt đối để khôi phục độ lớn mà không khôi phục dấu.

Vì sao phải có dấu giá trị tuyệt đối? Bạn hãy nhớ định nghĩa: căn bậc hai số học của một số không âm là số không âm mà bình phương lên bằng số đó. Số (−5)² = 25, và căn bậc hai số học của 25 là 5 — một số không âm. Nếu bạn viết √((−5)²) = −5 thì bạn đã cho ra một số âm, trái với định nghĩa căn bậc hai số học. Dấu giá trị tuyệt đối ở đây không phải là chi tiết nhỏ: nó là điểm phân biệt giữa học sinh nhớ công thức và học sinh hiểu công thức. Trong bài kiểm tra, câu hỏi √((−3)²) = ? xuất hiện gần như chắc chắn, và đáp án −3 là cái bẫy dành cho những ai quên mất dấu trị tuyệt đối. Nếu muốn nắm chắc quy tắc giá trị tuyệt đối, bạn hãy xem lại bài giá trị tuyệt đối của một số thực.

Khi a ≥ 0 thì |a| = a, nên √(a²) = a — công thức trở nên đơn giản. Khi a < 0 thì |a| = −a, nên √(a²) = −a — ví dụ √((3 − 7)²) = |3 − 7| = |−4| = 4. Bạn hãy luyện thói quen: mỗi lần thấy √(biểu thức)² thì viết ngay dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài, rồi mới xét dấu của biểu thức bên trong để bỏ dấu. Viết dấu | | trước, xét dấu sau — đó là trình tự đúng, và nó sẽ cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai đáng tiếc.

3. Công thức thứ ba: nhân hai căn thức — √a · √b = √(ab)

Công thức thứ ba trong bộ ba là công thức nhân hai căn thức: với a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có √a · √b = √(ab). Tích của hai căn bậc hai bằng căn bậc hai của tích. Ví dụ √4 · √9 = √(4 × 9) = √36 = 6 — bạn có thể kiểm tra: √4 = 2, √9 = 3, 2 × 3 = 6, khớp nhau. Ví dụ √2 · √8 = √(2 × 8) = √16 = 4 — nhanh hơn nhiều so với việc tính √2 ≈ 1,414 rồi nhân với √8 ≈ 2,828.

Điều kiện a ≥ 0 và b ≥ 0 ở đây là bắt buộc, và đây cũng là một cái bẫy thường gặp. Bạn không được viết √(−4) · √(−9) = √(36) = 6, vì √(−4) và √(−9) đều không tồn tại trong tập số thực — vế trái vô nghĩa thì không thể bằng 6 được. Nhiều bạn thấy (−4) × (−9) = 36 là số dương thì nghĩ rằng phép nhân vẫn đúng — sai hoàn toàn. Quy tắc nhớ rất đơn giản: muốn nhân hai căn thì cả hai căn đều phải tồn tại trước đã, tức là cả hai số dưới dấu căn đều phải không âm.

Công thức nhân hai căn thức còn có dạng ngược rất hữu ích: √(ab) = √a · √b — bạn có thể tách một căn thức thành tích của hai căn thức nhỏ hơn. Ví dụ √50 = √(25 × 2) = √25 · √2 = 5√2. Đây chính là kĩ thuật đưa thừa số ra ngoài dấu căn mà bạn đã học: tách phần chính phương ra, lấy căn của nó, còn phần còn lại giữ nguyên trong căn. Nhờ công thức này mà bạn rút gọn được hầu hết các căn thức trong bài tập. Nếu muốn ôn lại phép tính lũy thừa khi nhân hai đơn thức, bạn hãy xem lại bài lũy thừa với số mũ tự nhiên — ở đó, quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số cũng là nền tảng của nhiều phép biến đổi căn thức.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Tính (√7)² và (√11)².
Đây là ví dụ gốc của bài. Áp dụng công thức (√a)² = a với a ≥ 0.
(√7)² = 7, vì 7 ≥ 0.
(√11)² = 11, vì 11 ≥ 0.
Bạn không cần tính √7 ≈ 2,646 rồi bình phương lại — công thức cho kết quả ngay lập tức.

Ví dụ 2 (giá trị tuyệt đối): Tính √((−5)²) và √((3 − 7)²).
Áp dụng công thức √(a²) = |a|.
√((−5)²) = |−5| = 5.
√((3 − 7)²) = |3 − 7| = |−4| = 4.
Bạn hãy chú ý: cả hai kết quả đều dương, dù số ban đầu trong ngoặc có âm.

Ví dụ 3 (nhân hai căn): Tính √4 · √9 và √2 · √8.
Áp dụng công thức √a · √b = √(ab) với a, b ≥ 0.
√4 · √9 = √(4 × 9) = √36 = 6.
√2 · √8 = √(2 × 8) = √16 = 4.
Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: √4 = 2, √9 = 3, 2 × 3 = 6 — khớp nhau.

Ví dụ 4 (kết hợp cả ba công thức): Tính (√3)² + √((−2)²) + √5 · √20.
Tính từng phần: (√3)² = 3; √((−2)²) = |−2| = 2; √5 · √20 = √(5 × 20) = √100 = 10.
Cộng lại: 3 + 2 + 10 = 15.
Vậy (√3)² + √((−2)²) + √5 · √20 = 15. Bạn thấy không, một biểu thức trông phức tạp nhưng chỉ cần dùng đúng ba công thức là xong. Khi cần kiểm tra lại các phép nhân số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Viết √((−5)²) = −5.
Nhiều bạn bỏ qua dấu giá trị tuyệt đối và viết thẳng kết quả là −5. Nhưng căn bậc hai số học không bao giờ âm, nên √((−5)²) = 5. Cách tránh: mỗi lần thấy √(…)², bạn hãy viết ngay dấu | | ra ngoài rồi mới tính tiếp.

Lỗi 2: Áp dụng (√a)² = a mà không cần a ≥ 0.
Nhiều bạn viết (√(x − 2))² = x − 2 mà quên ghi điều kiện x ≥ 2. Khi x < 2 thì √(x − 2) không tồn tại, công thức vô nghĩa. Cách tránh: trước khi dùng công thức, bạn hãy ghi điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn.

Lỗi 3: Nhân hai căn khi một trong hai số âm.
Nhiều bạn viết √(−4) · √(−9) = √36 = 6 — sai, vì cả hai căn đều không tồn tại trong tập số thực. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra cả hai số dưới dấu căn đều không âm trước khi nhân. Chỉ một số âm thôi là phép nhân đã vô nghĩa.

Lỗi 4: Tưởng √(a + b) = √a + √b.
Nhiều bạn viết √(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7 — sai, vì √(9 + 16) = √25 = 5. Căn bậc hai không phân phối qua phép cộng. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức nhân chỉ đúng với phép nhân: √(ab) = √a · √b, còn phép cộng thì không có công thức tương tự.

Lỗi 5: Viết (√a)² = a².
Nhiều bạn nhầm (√a)² với (a)² và viết (√7)² = 49 — sai, vì (√7)² = 7. Cách tránh: bạn hãy nhớ √a là số mà bình phương lên bằng a, nên bình phương nó một lần nữa thì trở lại a — không phải a².

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ ghi rõ bạn dùng công thức nào ở mỗi câu — ghi rõ công thức là một nửa của bài làm.

Câu 1: Giá trị của (√13)² bằng bao nhiêu?
A. √13
B. 13
C. 169
D. −13

Câu 2: Giá trị của √((−8)²) bằng bao nhiêu?
A. 8
B. −8
C. 64
D. √8

Câu 3: Giá trị của √3 · √12 bằng bao nhiêu?
A. 36
B. 6
C. 3√3
D. √15

Câu 4: Giá trị của √25 · √4 bằng bao nhiêu?
A. 100
B. 29
C. 10
D. √29

Câu 5: Giá trị của (√5)² + √((−3)²) bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 28
C. 8
D. √5 + 3

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (13) đúng: Áp dụng (√a)² = a với a = 13 ≥ 0: (√13)² = 13. Đáp án A (√13) sai vì chưa bình phương. Đáp án C (169) sai vì nhầm (√13)² với 13² = 169. Đáp án D (−13) sai vì bình phương không thể cho kết quả âm.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A (8) đúng: Áp dụng √(a²) = |a|: √((−8)²) = |−8| = 8. Đáp án B (−8) sai vì quên dấu giá trị tuyệt đối — căn bậc hai số học không bao giờ âm. Đáp án C (64) sai vì 64 = (−8)², chưa lấy căn. Đáp án D (√8) sai vì tính nhầm: √((−8)²) = √64 = 8, không phải √8.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (6) đúng: Áp dụng √a · √b = √(ab): √3 · √12 = √(3 × 12) = √36 = 6. Đáp án A (36) sai vì quên lấy căn bậc hai của 36. Đáp án C (3√3) sai vì 3√3 = √27, không phải √36. Đáp án D (√15) sai vì cộng 3 + 12 = 15 thay vì nhân 3 × 12 = 36.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C (10) đúng: √25 · √4 = 5 × 2 = 10, hoặc dùng công thức: √(25 × 4) = √100 = 10. Đáp án A (100) sai vì quên lấy căn bậc hai của 100. Đáp án B (29) sai vì cộng 25 + 4 = 29 thay vì nhân. Đáp án D (√29) sai vì cũng cộng thay vì nhân, rồi giữ nguyên dấu căn.

Giải thích Câu 5 — Đáp án C (8) đúng: (√5)² = 5 và √((−3)²) = |−3| = 3, cộng lại: 5 + 3 = 8. Đáp án A (2) sai vì lấy 5 − 3 = 2 — trừ thay vì cộng. Đáp án B (28) sai vì tính (√5)² = 25 (nhầm với 5²). Đáp án D (√5 + 3) sai vì chưa tính (√5)² = 5.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao √(a²) = |a| mà (√a)² = a? Hai công thức có mâu thuẫn không?
Đáp: Không mâu thuẫn, vì thứ tự phép toán khác nhau. Trong (√a)², bạn lấy căn trước rồi bình phương sau — căn bậc hai số học đã là số không âm nên bình phương lên trở lại a. Trong √(a²), bạn bình phương trước rồi lấy căn sau — bình phương xóa mất dấu của a nên khi lấy căn lại bạn cần giá trị tuyệt đối để khôi phục độ lớn. Hai công thức nhìn giống nhau nhưng làm hai việc ngược nhau.

Hỏi: √a · √b = √(ab) có dùng được khi a hoặc b bằng 0 không?
Đáp: Được. Ví dụ √0 · √5 = √(0 × 5) = √0 = 0. Điều kiện chỉ là a, b không âm — số 0 vẫn thỏa mãn điều kiện này.

Hỏi: Có công thức √(a + b) = √a + √b không?
Đáp: Không. Căn bậc hai không phân phối qua phép cộng: √(9 + 16) = √25 = 5, còn √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Đây là một trong những lỗi sai phổ biến nhất, bạn hãy ghi nhớ thật kĩ.

Hỏi: Ba công thức này dùng ở đâu trong chương trình lớp 9?
Đáp: Ở khắp nơi: rút gọn biểu thức chứa căn, giải phương trình chứa căn, chứng minh đẳng thức, và tính giá trị biểu thức. Bạn càng thành thạo ba công thức này thì các bài toán căn thức càng trở nên dễ dàng.

Hỏi: Làm sao để nhớ lâu ba công thức?
Đáp: Bạn hãy nhớ theo cặp đối lập: bình phương của căn thì "trả lại" số ban đầu, căn của bình phương thì "đòi" giá trị tuyệt đối, còn nhân hai căn thì "gộp" thành một căn. Mỗi ngày làm 5 bài tập nhỏ với ba công thức này, một tuần là bạn thuộc lòng.

8. Kết luận

Bộ ba công thức căn bậc hai chỉ gói gọn trong ba dòng: (√a)² = a (a ≥ 0), √(a²) = |a| (mọi a) và √a · √b = √(ab) (a, b ≥ 0). Ba điều bạn phải nhớ là kiểm tra điều kiện xác định trước khi dùng công thức, viết dấu giá trị tuyệt đối mỗi khi gặp √(…)², và không bao giờ nhân hai căn khi một trong hai số dưới dấu căn là số âm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính nhanh mọi biểu thức chứa căn bậc hai trong chương trình lớp 9 — và bạn cũng đã có trong tay một bộ dụng cụ để học tiếp các phép biến đổi căn thức phức tạp hơn, vì mọi phép biến đổi đó đều được xây dựng từ ba công thức này. Nếu muốn ôn lại cách tính lũy thừa — nền tảng của công thức bình phương căn bậc hai — bạn hãy xem lại bài nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số.