Gảy một sợi dây đàn ghi-ta, bạn sẽ thấy dây rung lên với hình dạng cong cong rất đẹp — và nếu nhìn thật kĩ, bạn sẽ thấy có những điểm trên dây gần như không chuyển động, trong khi những điểm khác lại rung mạnh nhất. Những điểm đứng yên ấy gọi là nút sóng, những điểm rung mạnh nhất gọi là bụng sóng, và cả sợi dây đang mang một "sóng dừng": sóng có hình dạng không di chuyển mà chỉ phập phồng tại chỗ. Điều thú vị là không phải sợi dây dài bao nhiêu cũng tạo được sóng dừng — chỉ những độ dài thỏa mãn một điều kiện đặc biệt thì sóng dừng mới xuất hiện, và điều kiện ấy chính là nội dung của bài viết này.
Bài viết này sẽ giúp bạn làm chủ công thức điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây hai đầu cố định một cách chắc chắn: từ cách sóng tới và sóng phản xạ giao thoa tạo thành sóng dừng, công thức ℓ = kλ/2, cách đếm số nút và số bụng sóng, mối liên hệ giữa sóng dừng với tần số của dây đàn, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án giải thích cặn kẽ. Bạn sẽ tính được một sợi dây đàn dài bao nhiêu thì rung được ở họa âm nào, và vì sao dây đàn càng ngắn thì tiếng đàn càng cao.
Sóng dừng hai đầu cố định là gì? Công thức ℓ = kλ/2
Sóng dừng là sóng được tạo thành do sự giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ truyền ngược chiều nhau trên cùng một sợi dây hoặc trong cùng một môi trường. Khi sóng truyền tới một đầu cố định, nó phản xạ trở lại với pha ngược lại, gặp sóng tới và giao thoa với nhau. Kết quả là trên dây xuất hiện những điểm luôn đứng yên gọi là nút sóng và những điểm dao động với biên độ lớn nhất gọi là bụng sóng, xen kẽ nhau đều đặn. Hình ảnh sóng dừng không di chuyển dọc theo dây mà chỉ dao động lên xuống tại chỗ — vì vậy người ta gọi nó là "sóng dừng", dù năng lượng vẫn đang truyền đi truyền lại giữa sóng tới và sóng phản xạ.
Trên sợi dây có hai đầu cố định, cả hai đầu dây đều là nút sóng vì đầu dây bị giữ chặt không thể dao động. Điều kiện để có sóng dừng là chiều dài dây phải bằng một số nguyên lần nửa bước sóng, tức là ℓ = kλ/2, trong đó ℓ là chiều dài sợi dây, λ là bước sóng và k = 1, 2, 3... là số bó sóng trên dây. Khi k = 1, trên dây có một bó sóng duy nhất với hai nút ở hai đầu và một bụng ở giữa — đây là họa âm cơ bản, cho ra âm trầm nhất của dây đàn. Khi k = 2, trên dây có hai bó sóng với ba nút và hai bụng — đây là họa âm bậc 2, có tần số gấp đôi họa âm cơ bản. Số nút sóng luôn bằng k + 1 và số bụng sóng luôn bằng k, một quy luật rất hay được hỏi trong bài tập. Khi cần kiểm tra lại phép tính số bó sóng, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Tần số của các họa âm trên dây đàn cũng tuân theo một quy luật đẹp: tần số họa âm bậc k bằng k lần tần số cơ bản, tức là f_k = k nhân f₁, với f₁ = v/(2ℓ) là tần số của họa âm cơ bản và v là tốc độ truyền sóng trên dây. Vì vậy dây đàn càng ngắn thì tần số cơ bản càng cao, tiếng đàn càng cao — đó là lí do người chơi ghi-ta bấm phím để rút ngắn chiều dài dây khi muốn chơi nốt cao. Sóng dừng không chỉ có trên dây đàn mà còn xuất hiện trong ống sáo, trong cột không khí và trong nhiều nhạc cụ khác; trường hợp một đầu cố định, một đầu tự do có điều kiện khác hẳn và sẽ được trình bày trong bài công thức điều kiện để có sóng dừng một đầu cố định, một đầu tự do. Còn để hiểu vì sao sóng tới và sóng phản xạ lại giao thoa được với nhau, bạn hãy xem bài công thức phương trình giao thoa sóng cơ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Một sợi dây dài ℓ = 60 cm, hai đầu cố định, có sóng dừng với bước sóng λ = 20 cm. Hỏi trên dây có bao nhiêu bó sóng, bao nhiêu nút sóng và bao nhiêu bụng sóng?
Bạn áp dụng công thức ℓ = kλ/2, suy ra k = 2ℓ/λ. Thay số: 2ℓ = 120 cm; chia cho λ = 20 cm ta được k = 6 bó sóng. Số bụng sóng bằng k = 6 bụng, số nút sóng bằng k + 1 = 7 nút, nằm tại các vị trí 0, 10, 20, 30, 40, 50 và 60 cm tính từ một đầu dây — các nút cách nhau đúng nửa bước sóng là 10 cm. Bạn hãy để ý: hai đầu dây luôn là nút sóng, vì vậy số nút bao giờ cũng nhiều hơn số bụng đúng một nút.
Ví dụ 2 (tìm bước sóng và tốc độ truyền sóng): Một sợi dây dài 1 m, hai đầu cố định, có sóng dừng với 4 bó sóng. Sóng có tần số f = 100 Hz. Tính bước sóng λ và tốc độ truyền sóng v trên dây.
Bạn tính bước sóng trước từ công thức ℓ = kλ/2, suy ra λ = 2ℓ/k = 2 nhân 1 chia 4 = 0,5 m. Sau đó tính tốc độ truyền sóng bằng công thức v = λf = 0,5 nhân 100 = 50 m/s. Bạn kiểm tra lại: trên dây có 4 bó sóng, mỗi bó dài λ/2 = 0,25 m, 4 bó dài đúng 1 m — khớp với chiều dài dây. Dạng bài này rất hay gặp: đề bài cho số bó sóng và tần số, yêu cầu tìm tốc độ truyền sóng, bạn chỉ cần đi qua bước trung gian là bước sóng.
Ví dụ 3 (tìm số bó sóng từ tần số): Một sợi dây dài ℓ = 90 cm, hai đầu cố định, sóng truyền trên dây có tốc độ v = 60 m/s và tần số f = 100 Hz. Hỏi trên dây có bao nhiêu bó sóng?
Bạn tính bước sóng trước: λ = v/f = 60 chia 100 = 0,6 m = 60 cm. Sau đó áp dụng công thức k = 2ℓ/λ = 2 nhân 90 chia 60 = 3 bó sóng. Bạn hãy để ý thứ tự làm bài: khi đề bài cho tốc độ và tần số thì luôn tính bước sóng trước, rồi mới tính số bó sóng. Nếu bạn tính ra k không phải số nguyên thì có nghĩa là với tần số đó, trên dây không tạo được sóng dừng ổn định — sóng dừng chỉ xuất hiện ở những tần số riêng thỏa mãn điều kiện ℓ = kλ/2.
Ví dụ 4 (họa âm của dây đàn): Một dây đàn ghi-ta dài 80 cm, hai đầu cố định, tốc độ truyền sóng trên dây là v = 320 m/s. Tính tần số cơ bản f₁ và tần số họa âm bậc 2 f₂ của dây đàn.
Bạn tính tần số cơ bản bằng công thức f₁ = v/(2ℓ) = 320 chia (2 nhân 0,8) = 320 chia 1,6 = 200 Hz. Họa âm bậc 2 có k = 2 nên tần số f₂ = 2 nhân f₁ = 400 Hz. Bạn kiểm tra lại bằng bước sóng: họa âm bậc 2 có λ₂ = 2ℓ/k = 160 chia 2 = 80 cm = 0,8 m; f₂ = v/λ₂ = 320 chia 0,8 = 400 Hz — khớp hoàn toàn. Đây chính là lí do khi gảy dây đàn, tai bạn nghe được đồng thời nhiều họa âm: âm cơ bản 200 Hz cho nốt nhạc chính, các họa âm 400 Hz, 600 Hz... tạo nên âm sắc riêng của cây đàn.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm số bó sóng với số nút sóng.
Nhiều bạn tính ra k = 6 rồi trả lời có 6 nút sóng. Cách tránh: bạn hãy nhớ số nút sóng bằng k + 1, số bụng sóng mới bằng k. Vẽ nhanh sợi dây ra giấy, đánh dấu hai đầu dây là nút, rồi đếm — hai đầu dây luôn là nút nên số nút bao giờ cũng hơn số bụng một nút.
Lỗi 2: Quên đổi đơn vị cm sang m khi tính tốc độ và tần số.
Nhiều bạn để ℓ = 60 cm, λ = 20 cm rồi tính v = λf ra kết quả sai đơn vị. Cách tránh: bạn hãy đổi tất cả độ dài về mét trước khi tính tốc độ (m/s) và tần số (Hz). Riêng khi chỉ tính số bó sóng k = 2ℓ/λ thì cm hay m đều được vì tỉ số không có đơn vị — nhưng cứ đổi về mét cho chắc chắn.
Lỗi 3: Dùng công thức sóng dừng một đầu tự do cho dây hai đầu cố định.
Nhiều bạn áp dụng ℓ = (2k + 1)λ/4 cho dây đàn hai đầu cố định. Cách tránh: bạn hãy nhớ hai đầu cố định thì cả hai đầu đều là nút, điều kiện là ℓ = kλ/2; còn công thức (2k + 1)λ/4 chỉ dùng khi một đầu là nút và một đầu là bụng, tức là một đầu cố định, một đầu tự do. Đọc kĩ đề bài xem dây được giữ như thế nào trước khi chọn công thức.
Lỗi 4: Nghĩ rằng mọi tần số đều tạo được sóng dừng trên dây.
Nhiều bạn cho tần số nào cũng có sóng dừng. Cách tránh: bạn hãy nhớ sóng dừng chỉ xuất hiện ở những tần số riêng thỏa mãn ℓ = kλ/2 — đó chính là các tần số họa âm f = k nhân v/(2ℓ). Tần số không thỏa mãn điều kiện này thì sóng tới và sóng phản xạ không giao thoa ổn định, trên dây không hình thành nút và bụng rõ rệt.
Lỗi 5: Nhầm họa âm bậc 2 với họa âm bậc 1.
Nhiều bạn gọi họa âm có k = 2 là "họa âm bậc 1" vì nghĩ bậc đếm từ 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ họa âm cơ bản ứng với k = 1 là họa âm bậc 1, họa âm có k = 2 là họa âm bậc 2 với tần số gấp đôi tần số cơ bản. Quy tắc chung: họa âm bậc k có tần số bằng k lần tần số cơ bản.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ đổi độ dài về mét trước khi tính tốc độ và tần số.
Câu 1: Điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây hai đầu cố định là gì?
A. ℓ = kλ/2
B. ℓ = (2k + 1)λ/4
C. ℓ = kλ
D. ℓ = λ/2
Câu 2: Một sợi dây dài ℓ = 60 cm, hai đầu cố định, có sóng dừng với bước sóng λ = 20 cm. Trên dây có bao nhiêu bó sóng?
A. 3 bó
B. 12 bó
C. 6 bó
D. 2 bó
Câu 3: Sóng dừng trên dây hai đầu cố định có k = 4 bó sóng. Trên dây có bao nhiêu nút sóng?
A. 4 nút
B. 5 nút
C. 6 nút
D. 8 nút
Câu 4: Một sợi dây dài 1 m, hai đầu cố định, có sóng dừng với 4 bó sóng, tần số f = 100 Hz. Tốc độ truyền sóng trên dây bằng bao nhiêu?
A. 25 m/s
B. 100 m/s
C. 200 m/s
D. 50 m/s
Câu 5: Họa âm bậc 2 của dây đàn có tần số bằng mấy lần tần số cơ bản?
A. 1 lần
B. 2 lần
C. 4 lần
D. 1/2 lần
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Với dây hai đầu cố định, cả hai đầu đều là nút sóng nên chiều dài dây phải bằng số nguyên lần nửa bước sóng: ℓ = kλ/2. Đáp án B sai vì đó là điều kiện sóng dừng một đầu cố định, một đầu tự do. Đáp án C sai vì ℓ = kλ chỉ đúng khi một đầu dây là bụng sóng. Đáp án D sai vì λ/2 chỉ là trường hợp riêng khi k = 1.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: k = 2ℓ/λ = 2 nhân 60 chia 20 = 6 bó sóng. Đáp án A sai vì 3 là kết quả khi tính ℓ/λ mà quên nhân 2. Đáp án B sai vì 12 là kết quả khi tính 2ℓ nhân λ chia 10 do nhầm phép tính. Đáp án D sai vì 2 là số nút sóng ở hai đầu dây, không phải số bó sóng.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Số nút sóng bằng k + 1 = 4 + 1 = 5 nút. Đáp án A sai vì 4 là số bụng sóng, không phải số nút. Đáp án C sai vì 6 là số nút khi k = 5. Đáp án D sai vì 8 là số nút khi k = 7.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Bước sóng λ = 2ℓ/k = 2 nhân 1 chia 4 = 0,5 m; tốc độ v = λf = 0,5 nhân 100 = 50 m/s. Đáp án A sai vì 25 m/s là kết quả khi lấy λ = 0,25 m. Đáp án B sai vì 100 m/s là kết quả khi quên chia cho k. Đáp án C sai vì 200 m/s là kết quả khi tính v = 2λf do nhân nhầm hệ số 2.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Họa âm bậc k có tần số bằng k lần tần số cơ bản, nên họa âm bậc 2 có tần số gấp 2 lần tần số cơ bản. Đáp án A sai vì 1 lần là tần số của họa âm cơ bản (bậc 1). Đáp án C sai vì 4 lần là tần số của họa âm bậc 4. Đáp án D sai vì tần số họa âm luôn lớn hơn tần số cơ bản, không thể bằng một nửa.
Câu hỏi thường gặp về sóng dừng hai đầu cố định
Hỏi: Vì sao hai đầu dây cố định luôn là nút sóng?
Đáp: Vì đầu dây bị giữ chặt nên không thể dao động — biên độ dao động tại đó luôn bằng 0, đúng định nghĩa của nút sóng. Sóng tới gặp đầu cố định sẽ phản xạ ngược pha, giao thoa với sóng tới tạo thành nút ngay tại đầu dây. Đây chính là lí do điều kiện sóng dừng hai đầu cố định là ℓ = kλ/2.
Hỏi: Bụng sóng và nút sóng cách nhau bao xa?
Đáp: Hai nút liên tiếp cách nhau λ/2, hai bụng liên tiếp cũng cách nhau λ/2, còn một nút và một bụng kề nhau cách nhau λ/4. Trên dây dài 60 cm với λ = 20 cm, các nút nằm tại 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 cm và các bụng nằm ở giữa, tại 5, 15, 25, 35, 45, 55 cm.
Hỏi: Sóng dừng có truyền năng lượng không?
Đáp: Sóng dừng không truyền năng lượng dọc theo dây như sóng chạy — năng lượng chỉ dao động qua lại giữa động năng và thế năng đàn hồi tại mỗi vị trí trên dây. Đó là lí do sóng dừng không lan truyền mà đứng yên tại chỗ, khác hẳn với sóng chạy trên mặt nước hay sóng âm trong không khí.
Hỏi: Vì sao dây đàn càng ngắn thì tiếng càng cao?
Đáp: Vì tần số cơ bản f₁ = v/(2ℓ) tỉ lệ nghịch với chiều dài dây — dây càng ngắn thì tần số càng cao, âm nghe càng cao. Người chơi ghi-ta bấm phím để rút ngắn phần dây rung, nhờ đó chơi được các nốt cao hơn mà không cần đổi dây đàn.
Hỏi: Sóng dừng trên dây đàn và sóng dừng trong ống sáo có gì khác nhau?
Đáp: Về bản chất thì giống nhau, chỉ khác điều kiện biên: dây đàn hai đầu cố định thì hai đầu đều là nút, còn ống sáo hai đầu hở thì hai đầu đều là bụng, điều kiện sóng dừng là ℓ = kλ/2 giống hệt nhau. Ống sáo một đầu kín, một đầu hở thì một đầu là nút, một đầu là bụng, điều kiện đổi thành ℓ = (2k + 1)λ/4.
Kết luận
Điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây hai đầu cố định chỉ gói gọn trong một công thức: ℓ = kλ/2, với k = 1, 2, 3... là số bó sóng. Bạn hãy nhớ ba điều: số nút sóng luôn bằng k + 1, số bụng sóng luôn bằng k, và tần số họa âm bậc k bằng k lần tần số cơ bản f₁ = v/(2ℓ). Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính số bó sóng, số nút, số bụng và tần số họa âm của bất kì sợi dây nào — và cũng hiểu vì sao cây đàn ghi-ta chỉ với sáu sợi dây lại chơi được cả một bản nhạc với đủ nốt cao thấp.