Thổi một cây sáo trúc, bạn nghe thấy tiếng sáo vang lên trong trẻo. Nhưng có bao giờ bạn tự hỏi vì sao cây sáo dài chừng ba gang tay lại chỉ phát ra được một số nốt nhất định, mà không phải bất kì tần số nào cũng được? Bí mật nằm ở hai đầu của cây sáo: một đầu bị bịt kín bởi đốt trúc, đầu còn lại để hở cho hơi thoát ra. Chính cặp đầu "một kín, một hở" này đã quyết định những sóng âm nào được phép tồn tại bên trong ống sáo, và những sóng nào bị loại bỏ. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc công thức điều kiện để có sóng dừng khi một đầu cố định, một đầu tự do — một công thức xuất hiện rất nhiều trong các bài tập sóng dừng và sóng âm của Vật lí 11.
Bạn sẽ học được vì sao đầu cố định luôn là nút sóng còn đầu tự do luôn là bụng sóng, vì sao chiều dài dây phải bằng một số lẻ lần một phần tư bước sóng, và cách đếm nút, đếm bụng nhanh như chớp trong phòng thi. Bài viết có 4 ví dụ tính từng bước, 5 lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, 5 bài tập trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ và 5 câu hỏi thường gặp. Chỉ cần đọc kĩ một lần, bạn sẽ không bao giờ nhầm công thức này với công thức sóng dừng hai đầu cố định nữa.
Sóng dừng một đầu cố định, một đầu tự do: công thức ℓ = (2k + 1)λ/4
Sóng dừng là sóng được tạo thành do sự giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ truyền ngược chiều nhau trên cùng một sợi dây hoặc trong cùng một cột không khí. Trên hình ảnh sóng dừng, có những điểm luôn đứng yên gọi là nút sóng, xen kẽ với những điểm dao động với biên độ lớn nhất gọi là bụng sóng. Khoảng cách giữa hai nút liên tiếp, hay giữa hai bụng liên tiếp, đều bằng một nửa bước sóng λ/2. Muốn có sóng dừng ổn định, chiều dài của dây hoặc của cột không khí phải "vừa khít" với hình dạng sóng — và cái gọi là vừa khít ấy phụ thuộc vào hai đầu là cố định hay tự do.
Khi một đầu dây cố định và đầu còn lại tự do, đầu cố định không thể dao động nên tại đó luôn là một nút sóng, còn đầu tự do dao động tự do nhất nên tại đó luôn là một bụng sóng. Từ nút đầu tiên tới bụng cuối cùng, chiều dài dây phải chứa một số lẻ lần một phần tư bước sóng. Công thức điều kiện để có sóng dừng trong trường hợp này là ℓ = (2k + 1)λ/4, trong đó ℓ là chiều dài dây hoặc chiều dài cột không khí, λ là bước sóng, còn k = 0, 1, 2, 3, … là số nguyên không âm. Khi k = 0, dây dài bằng λ/4, tức là chỉ có đúng một phần tư bước sóng "vừa" trong dây; khi k = 1, dây dài bằng 3λ/4; khi k = 2, dây dài bằng 5λ/4, cứ thế tăng dần theo các số lẻ 1, 3, 5, …
Bạn hãy để ý điểm khác biệt quan trọng nhất so với trường hợp hai đầu cố định: ở đây k bắt đầu từ 0, không phải từ 1, và số bụng sóng bằng số nút sóng, đều bằng k + 1. Chẳng hạn với k = 2, trên dây có 3 nút và 3 bụng, còn số bó sóng nguyên thì bằng k, tức là 2 bó nguyên cộng thêm một phần tư bó sóng ở đầu tự do. Nhiều bạn học thuộc lòng mà không hiểu ý nghĩa hình học này nên khi đề hỏi "có bao nhiêu nút" lại đếm sai. Cách nhớ chắc nhất là vẽ nhanh hình sóng: đặt một nút ở đầu cố định bên trái, rồi cứ mỗi λ/4 lại đổi trạng thái nút — bụng — nút — bụng… cho tới khi chạm tới đầu tự do, nơi bắt buộc phải là bụng. Nếu điểm cuối rơi đúng vào bụng thì sóng dừng tồn tại, nếu rơi vào nút thì không.
Công thức còn có thể viết dưới dạng liên hệ với tốc độ truyền sóng v và tần số f. Vì λ = v/f nên điều kiện sóng dừng trở thành ℓ = (2k + 1)v/(4f), hay suy ra tần số của nguồn dao động phải thỏa mãn f = (2k + 1)v/(4ℓ). Tần số nhỏ nhất ứng với k = 0 là f₁ = v/(4ℓ), gọi là tần số cơ bản hay họa âm bậc 1. Các tần số tiếp theo là f₃ = 3f₁, f₅ = 5f₁, … tức là chỉ có các họa âm lẻ mới xuất hiện. Đây chính là lí do tiếng sáo, tiếng kèn clarinet — những nhạc cụ có một đầu kín — nghe trầm ấm và khác hẳn tiếng đàn ghi-ta, vì phổ họa âm của chúng thiếu hẳn các họa âm chẵn. Khi cần kiểm tra lại phép tính chia, nhân với các số lẻ này, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Trường hợp ống khí một đầu kín, một đầu hở cũng tuân theo đúng công thức này, chỉ khác là "dây" được thay bằng "cột không khí". Đầu kín của ống tương đương với đầu cố định vì không khí ở đó không thể dao động tự do, còn đầu hở tương đương với đầu tự do vì không khí ở miệng ống dao động mạnh nhất. Nếu bạn đã học bài công thức sóng dừng hai đầu cố định thì hãy đặt hai công thức cạnh nhau mà so sánh: hai đầu cố định cho ℓ = kλ/2 với k = 1, 2, 3, …, còn một đầu cố định, một đầu tự do cho ℓ = (2k + 1)λ/4 với k = 0, 1, 2, …. Nhớ được cặp đối lập này là bạn đã nắm được một nửa chương sóng. Muốn hiểu sâu hơn vì sao sóng dừng hình thành, bạn có thể xem lại bài công thức phương trình giao thoa sóng cơ, vì sóng dừng thực chất là một trường hợp đặc biệt của giao thoa hai sóng ngược chiều.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Một sợi dây dài ℓ = 75 cm, sóng truyền trên dây có bước sóng λ = 60 cm. Hỏi trên dây có sóng dừng với k bằng bao nhiêu? Có bao nhiêu nút và bao nhiêu bụng sóng?
Bạn áp dụng công thức ℓ = (2k + 1)λ/4 rồi biến đổi để tìm k: 2k + 1 = 4ℓ/λ = 4 × 75/60 = 300/60 = 5, suy ra 2k = 4, tức là k = 2. Vì 2k + 1 = 5 là số lẻ nên điều kiện sóng dừng thỏa mãn, trên dây có sóng dừng. Số nút sóng bằng số bụng sóng và đều bằng k + 1 = 3. Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách hình dung: dây dài 75 cm chứa đúng 5 phần tư bước sóng, tức là 1,25 bước sóng, vừa đủ để đầu trái là nút và đầu phải là bụng. Nếu đề chỉ hỏi k thì đáp số là k = 2, còn nếu đề hỏi số nút, số bụng thì đáp số là 3 nút và 3 bụng.
Ví dụ 2 (trường hợp không có sóng dừng): Một ống khí một đầu kín dài ℓ = 1 m, nguồn âm phát ra âm có tần số f = 170 Hz, tốc độ truyền âm trong không khí là v = 340 m/s. Hỏi trong ống có sóng dừng hay không? Nếu không, tần số nào gần nhất sẽ cho sóng dừng?
Bạn tính bước sóng trước: λ = v/f = 340/170 = 2 m. Sau đó kiểm tra điều kiện: 2k + 1 = 4ℓ/λ = 4 × 1/2 = 2, suy ra k = 0,5, không phải số nguyên. Vì k không nguyên nên trong ống không có sóng dừng với tần số 170 Hz. Bạn đừng vội kết luận là ống "hỏng" — chỉ cần đổi tần số một chút là có sóng dừng ngay. Tần số cơ bản của ống là f₁ = v/(4ℓ) = 340/4 = 85 Hz, họa âm tiếp theo là f₃ = 3f₁ = 255 Hz. Như vậy tần số 170 Hz nằm đúng giữa hai tần số cho phép, nên sóng tới và sóng phản xạ không tạo thành hình sóng ổn định. Bạn hãy để ý dạng bài "hỏi có hay không" này: chỉ cần tính ra k không nguyên là đủ kết luận, không cần tính thêm gì nữa.
Ví dụ 3 (tính chiều dài từ bước sóng và k): Sóng dừng trên một sợi dây một đầu cố định, một đầu tự do có bước sóng λ = 0,8 m, ứng với k = 1. Tính chiều dài của sợi dây.
Bạn thay trực tiếp vào công thức: ℓ = (2k + 1)λ/4 = (2 × 1 + 1) × 0,8/4 = 3 × 0,8/4 = 2,4/4 = 0,6 m. Dây dài 0,6 m, chứa đúng ba phần tư bước sóng. Trên dây lúc này có k + 1 = 2 nút và 2 bụng. Bạn hãy so sánh với ví dụ 1: cùng một công thức, chỉ khác số liệu, cách làm hoàn toàn giống nhau — xác định k, thay số, tính ℓ. Dạng bài này rất hay xuất hiện ở mức nhận biết và thông hiểu, bạn chỉ cần nhớ đúng công thức là làm được trong chưa đầy một phút.
Ví dụ 4 (tính bước sóng từ chiều dài và k): Một sợi dây dài ℓ = 0,9 m, một đầu cố định, một đầu tự do, trên dây có sóng dừng ứng với k = 2. Tính bước sóng λ và cho biết trên dây có bao nhiêu nút, bao nhiêu bụng.
Bạn biến đổi công thức để tìm λ: λ = 4ℓ/(2k + 1) = 4 × 0,9/(2 × 2 + 1) = 3,6/5 = 0,72 m. Số nút sóng bằng số bụng sóng và bằng k + 1 = 3. Bạn kiểm tra lại: dây dài 0,9 m chứa 0,9/0,72 = 1,25 bước sóng, tức là đúng 5 phần tư bước sóng, khớp với (2k + 1)/4 = 5/4. Bạn hãy để ý phép biến đổi λ = 4ℓ/(2k + 1) rất hay dùng khi đề cho ℓ và k mà hỏi λ; ngược lại, khi đề cho λ và k mà hỏi ℓ thì dùng ℓ = (2k + 1)λ/4. Hai chiều biến đổi này bạn nên thuộc cả hai để không mất thời gian suy nghĩ trong phòng thi.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng nhầm công thức hai đầu cố định ℓ = kλ/2 cho trường hợp một đầu tự do.
Đây là lỗi phổ biến nhất. Nhiều bạn học thuộc cả hai công thức nhưng khi làm bài lại lấy nhầm cái này thay cho cái kia. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ đề bài xem hai đầu dây như thế nào trước khi chọn công thức — thấy chữ "một đầu cố định, một đầu tự do" hoặc "một đầu kín, một đầu hở" thì dùng ngay ℓ = (2k + 1)λ/4, còn thấy "hai đầu cố định" thì mới dùng ℓ = kλ/2. Gạch chân cụm từ chỉ hai đầu dây trong đề bài trước khi tính.
Lỗi 2: Cho k bắt đầu từ 1 thay vì từ 0.
Trong công thức ℓ = (2k + 1)λ/4, k = 0, 1, 2, … và k = 0 ứng với trường hợp dây dài λ/4, chỉ có một nút ở đầu cố định và một bụng ở đầu tự do. Nhiều bạn quen với công thức hai đầu cố định có k = 1, 2, 3, … nên vô thức bỏ qua k = 0, dẫn tới đếm thiếu một trường hợp. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú "một đầu tự do thì k bắt đầu từ không, dây ngắn nhất bằng một phần tư bước sóng".
Lỗi 3: Đếm số nút và số bụng không bằng nhau.
Nhiều bạn áp dụng kinh nghiệm từ trường hợp hai đầu cố định, nơi số nút bằng k + 1 còn số bụng bằng k, rồi mang sang trường hợp này. Nhưng với một đầu cố định, một đầu tự do, số nút bằng số bụng và đều bằng k + 1. Cách tránh: bạn hãy vẽ nhanh hình sóng trên giấy nháp — bắt đầu bằng một nút ở đầu trái, kết thúc bằng một bụng ở đầu phải — rồi đếm trực tiếp trên hình vẽ, đừng đếm bằng trí nhớ.
Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa số bó sóng và số bụng sóng.
Một bó sóng là đoạn dây dài λ/2 nằm giữa hai nút liên tiếp, còn bụng sóng là điểm dao động mạnh nhất nằm giữa mỗi bó. Với một đầu cố định, một đầu tự do, số bó sóng nguyên bằng k, nhưng số bụng sóng lại bằng k + 1 vì còn một "nửa bó" ở đầu tự do. Cách tránh: bạn hãy phân biệt rõ ba khái niệm — bó sóng, nút sóng, bụng sóng — và nhớ rằng ở đầu tự do có thêm một bụng sóng mà không có thêm một bó sóng nguyên nào.
Lỗi 5: Quên rằng chỉ có họa âm lẻ mới xuất hiện.
Nhiều bạn tính tần số các họa âm của ống một đầu kín theo dãy f₁, 2f₁, 3f₁, … như ống hai đầu hở, rồi kết luận sai. Thực ra ống một đầu kín chỉ có các tần số f₁, 3f₁, 5f₁, … vì chỉ các tần số này mới làm cho chiều dài ống bằng một số lẻ lần λ/4. Cách tránh: bạn hãy nhớ rằng "lẻ" là từ khóa của cả bài này — số lẻ lần λ/4, họa âm lẻ, k chạy theo các số lẻ 1, 3, 5, … khi viết dưới dạng (2k + 1).
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ đọc kĩ hai đầu dây là cố định hay tự do trước khi chọn công thức.
Câu 1: Công thức điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây một đầu cố định, một đầu tự do là công thức nào?
A. ℓ = (2k + 1)λ/4
B. ℓ = kλ/2
C. ℓ = kλ
D. ℓ = (2k + 1)λ/2
Câu 2: Một sợi dây dài ℓ = 75 cm, bước sóng λ = 60 cm. Trên dây có sóng dừng ứng với k bằng bao nhiêu?
A. k = 1
B. k = 2
C. k = 3
D. k = 4
Câu 3: Trên sợi dây một đầu cố định, một đầu tự do đang có sóng dừng, đầu cố định là gì và đầu tự do là gì?
A. Đầu cố định là nút sóng, đầu tự do là bụng sóng
B. Đầu cố định là bụng sóng, đầu tự do là nút sóng
C. Cả hai đầu đều là nút sóng
D. Cả hai đầu đều là bụng sóng
Câu 4: Một sợi dây dài ℓ = 1,2 m, một đầu cố định, một đầu tự do, trên dây có sóng dừng với 4 bụng sóng. Bước sóng λ bằng bao nhiêu?
A. 0,69 m
B. 0,60 m
C. 0,80 m
D. 0,40 m
Câu 5: Một ống sáo một đầu kín dài 34 cm, tốc độ truyền âm trong không khí là 340 m/s. Tần số âm cơ bản mà ống sáo phát ra bằng bao nhiêu?
A. 125 Hz
B. 250 Hz
C. 500 Hz
D. 1000 Hz
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Sóng dừng trên dây một đầu cố định, một đầu tự do thỏa mãn ℓ = (2k + 1)λ/4 với k = 0, 1, 2, …. Đáp án B sai vì đó là công thức của dây hai đầu cố định. Đáp án C sai vì ℓ = kλ không phải điều kiện sóng dừng trong trường hợp nào. Đáp án D sai vì mẫu số phải là 4, không phải 2 — dây phải chứa một số lẻ lần một phần tư bước sóng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Từ ℓ = (2k + 1)λ/4 suy ra 2k + 1 = 4ℓ/λ = 4 × 75/60 = 5, nên k = 2. Đáp án A sai vì k = 1 cho 2k + 1 = 3, ứng với ℓ = 45 cm, không phải 75 cm. Đáp án C sai vì k = 3 cho 2k + 1 = 7, ứng với ℓ = 105 cm. Đáp án D sai vì k = 4 cho 2k + 1 = 9, ứng với ℓ = 135 cm.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Đầu cố định không dao động được nên luôn là nút sóng, đầu tự do dao động với biên độ lớn nhất nên luôn là bụng sóng. Đáp án B sai vì đảo ngược hai đầu. Đáp án C sai vì đó là trường hợp hai đầu cố định. Đáp án D sai vì đó là trường hợp hai đầu tự do.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Có 4 bụng sóng nghĩa là k + 1 = 4, suy ra k = 3. Thay vào công thức: λ = 4ℓ/(2k + 1) = 4 × 1,2/7 = 4,8/7 ≈ 0,69 m. Đáp án B sai vì 0,60 m là kết quả khi lấy ℓ chia 2. Đáp án C sai vì 0,80 m là kết quả khi nhầm k = 2. Đáp án D sai vì 0,40 m là kết quả khi lấy λ = ℓ/3.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Tần số âm cơ bản của ống một đầu kín là f₁ = v/(4ℓ) = 340/(4 × 0,34) = 340/1,36 = 250 Hz. Đáp án A sai vì 125 Hz là kết quả khi dùng nhầm f = v/(8ℓ). Đáp án C sai vì 500 Hz là tần số cơ bản của ống hai đầu hở cùng chiều dài. Đáp án D sai vì 1000 Hz là kết quả khi quên đổi 34 cm sang 0,34 m.
Câu hỏi thường gặp về sóng dừng một đầu cố định, một đầu tự do
Hỏi: Vì sao ống sáo một đầu kín chỉ có họa âm lẻ?
Đáp: Vì đầu kín là nút sóng và đầu hở là bụng sóng, nên chiều dài ống phải bằng một số lẻ lần λ/4. Tần số tỉ lệ nghịch với bước sóng, do đó chỉ các tần số bằng số lẻ lần tần số cơ bản — f₁, 3f₁, 5f₁, … — mới thỏa mãn điều kiện này. Các họa âm chẵn như 2f₁, 4f₁ sẽ làm cho đầu hở rơi vào nút sóng, điều không thể xảy ra, nên chúng không xuất hiện.
Hỏi: Sóng dừng một đầu cố định, một đầu tự do khác gì sóng dừng hai đầu cố định?
Đáp: Khác ở ba điểm: công thức chiều dài (một đầu tự do dùng (2k + 1)λ/4, hai đầu cố định dùng kλ/2), giá trị k bắt đầu (k = 0 so với k = 1), và số nút, số bụng (một đầu tự do có số nút bằng số bụng bằng k + 1, hai đầu cố định có số nút bằng k + 1 nhưng số bụng chỉ bằng k). Tần số cơ bản cũng khác: ống một đầu kín có f₁ = v/(4ℓ), còn dây hai đầu cố định có f₁ = v/(2ℓ).
Hỏi: k = 0 có nghĩa là gì, có phải là không có sóng dừng không?
Đáp: Không phải. k = 0 là trường hợp sóng dừng đơn giản nhất: dây dài đúng λ/4, có 1 nút ở đầu cố định và 1 bụng ở đầu tự do, tương ứng với tần số cơ bản f₁ = v/(4ℓ). Đây là trường hợp quan trọng nhất vì nó cho tần số thấp nhất mà dây hoặc ống có thể phát ra, và mọi họa âm khác đều là bội số lẻ của nó.
Hỏi: Đầu tự do có phải lúc nào cũng là bụng sóng không?
Đáp: Đúng, trong điều kiện có sóng dừng. Đầu tự do là nơi dao động không bị cản trở nên biên độ tại đó luôn lớn nhất, tức là bụng sóng. Ngược lại, nếu bạn thấy một điểm nào đó trên dây luôn đứng yên thì đó là nút sóng. Quy tắc "cố định là nút, tự do là bụng" là chìa khóa để vẽ hình sóng dừng đúng trong mọi bài tập.
Hỏi: Làm sao biết một sợi dây có sóng dừng hay không khi biết ℓ và λ?
Đáp: Bạn tính 4ℓ/λ rồi xem kết quả có phải là số lẻ hay không. Nếu 4ℓ/λ = 1, 3, 5, … thì có sóng dừng, và k = (4ℓ/λ − 1)/2. Nếu 4ℓ/λ là số chẵn hoặc không phải số nguyên thì không có sóng dừng với bước sóng đó. Cách kiểm tra này nhanh hơn nhiều so với việc thử từng giá trị k, và nó cũng là cách làm của ví dụ 2 trong bài viết này.
Kết luận
Điều kiện để có sóng dừng trên dây một đầu cố định, một đầu tự do chỉ gói gọn trong một công thức: ℓ = (2k + 1)λ/4 với k = 0, 1, 2, …. Bạn hãy nhớ ba điều: đầu cố định là nút, đầu tự do là bụng; số nút bằng số bụng và bằng k + 1; chỉ các họa âm lẻ f₁, 3f₁, 5f₁, … mới xuất hiện. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để phân biệt công thức này với công thức hai đầu cố định và áp dụng nó cho cả dây đàn lẫn ống sáo, ống tiêu trong các bài tập sóng dừng và sóng âm của Vật lí 11.