Buổi sáng bạn rời nhà đi học. Bạn đi thẳng 300 m về phía đông tới ngã tư, rẽ trái đi tiếp 400 m về phía bắc, rồi dừng lại trước cổng trường. Cách thứ nhất là cộng hết đường bạn đã đi: 300 m cộng 400 m bằng 700 m. Cách thứ hai là đo khoảng cách thẳng từ nhà tới trường theo đường chim bay. Trong Vật lí, con số 700 m gọi là quãng đường, còn khoảng cách thẳng từ điểm đầu tới điểm cuối, kèm theo cả hướng đi, gọi là độ dịch chuyển.
Trong đời sống, chúng ta gần như không bao giờ đi theo một đường thẳng duy nhất. Muốn biết cuối cùng vật đã rời khỏi vị trí ban đầu bao xa và theo hướng nào, chúng ta phải gộp nhiều đoạn dịch chuyển nhỏ lại thành một đoạn dịch chuyển duy nhất. Phép gộp đó gọi là tổng hợp độ dịch chuyển. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn công thức, cách tính trong từng trường hợp, những lỗi sai hay gặp nhất, rồi luyện tập bằng bài trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ.
Công thức tính độ dịch chuyển tổng hợp
Độ dịch chuyển là đại lượng vectơ: nó không chỉ cho biết bạn đã rời khỏi chỗ cũ bao xa, mà còn cho biết bạn đã đi theo hướng nào. Người ta biểu diễn độ dịch chuyển bằng một mũi tên: gốc đặt tại vị trí đầu, đầu chỉ tới vị trí cuối, độ dài tỉ lệ với độ lớn của độ dịch chuyển.
Khi một vật chuyển động qua nhiều chặng liên tiếp, độ dịch chuyển tổng hợp là tổng vectơ của tất cả các độ dịch chuyển thành phần:
d → = d1 → + d2 → + ... + dn →
Trong công thức này, mũi tên nhỏ phía trên mỗi chữ d nhắc chúng ta rằng đây là các vectơ, không phải các số thường. Kí hiệu d → là vectơ độ dịch chuyển tổng hợp, tức là mũi tên nối thẳng từ vị trí xuất phát tới vị trí cuối cùng. Các kí hiệu d1 →, d2 →, ..., dn → là các vectơ độ dịch chuyển thành phần của từng chặng, với n là số chặng chuyển động. Đơn vị của độ dịch chuyển là đơn vị độ dài, thường dùng mét (m) hoặc kilômét (km). Có hai quy tắc vẽ để cộng vectơ: quy tắc tam giác nối đuôi các vectơ lại với nhau, còn quy tắc hình bình hành dựng hình bình hành từ hai vectơ chung gốc, đường chéo chính là vectơ tổng hợp.
Điểm mấu chốt khiến nhiều bạn mất điểm là cộng vectơ khác hẳn cộng số thường. Cộng vectơ thì kết quả phụ thuộc vào hướng của từng vectơ. Hai đoạn đường 3 km và 4 km có thể cho độ dịch chuyển tổng hợp là 7 km nếu đi cùng hướng, là 1 km nếu đi ngược hướng nhau, là 5 km nếu đi vuông góc với nhau. Vì vậy, bước đầu tiên khi làm bài không phải là cầm máy tính lên bấm số, mà là xác định hướng của từng chặng. Để tính toán nhanh, bạn có thể dùng máy tính Casio online để bấm căn bậc hai, nhưng hướng của vectơ thì máy tính không thay bạn xác định được.
Với các chặng cùng phương và cùng chiều, độ lớn của vectơ tổng hợp bằng tổng các độ lớn thành phần: d = d1 + d2 + ... + dn, hướng của nó chính là hướng chung của các chặng. Ví dụ đi 5 km về đông rồi đi tiếp 3 km về đông thì độ dịch chuyển tổng hợp là 8 km về đông. Với các chặng cùng phương nhưng ngược chiều nhau, hai mũi tên triệt tiêu lẫn nhau một phần. Bạn chọn một chiều làm chiều dương: chặng nào đi theo chiều dương thì mang dấu cộng, chặng nào đi ngược chiều dương thì mang dấu trừ, rồi cộng đại số. Độ lớn bằng trị tuyệt đối của hiệu các độ lớn, tức là d = |d1 − d2| đối với hai chặng, hướng là hướng của chặng có độ lớn lớn hơn. Ví dụ đi 60 m về phía bắc rồi quay lại 20 m về phía nam thì độ dịch chuyển tổng hợp là 40 m về phía bắc, trong khi quãng đường đi được là 80 m.
Với hai chặng vuông góc với nhau, ba điểm đầu, điểm rẽ và điểm cuối tạo thành một tam giác vuông, vectơ tổng hợp là cạnh huyền của tam giác đó. Độ lớn tính bằng định lí Pythagore:
d = √(d1² + d2²)
Trong đó d1 và d2 là độ lớn của hai độ dịch chuyển thành phần vuông góc với nhau. Hướng của vectơ tổng hợp lệch khỏi hướng của chặng thứ nhất một góc mà tang của góc đó bằng tỉ số của hai cạnh góc vuông. Chẳng hạn đi 3 km về đông rồi 4 km về bắc thì độ lớn bằng căn bậc hai của 9 cộng 16, tức là căn bậc hai của 25, bằng 5 km, và hướng lệch khỏi hướng đông khoảng 53 độ về phía bắc. Trường hợp tổng quát nhất là hai chặng tạo với nhau một góc bất kì α, khi đó độ lớn tính bằng định lí côsin: d = √(d1² + d2² + 2 · d1 · d2 · cos α). Công thức này bao hàm cả ba trường hợp trên: α bằng 0 độ thì cho ra d = d1 + d2, α bằng 180 độ thì cho ra d = |d1 − d2|, α bằng 90 độ thì trở về đúng định lí Pythagore. Lưu ý rằng góc α là góc giữa hai vectơ khi đặt chúng chung gốc, không phải góc rẽ của hành trình.
Ngoài cách vẽ hình, còn một cách tính rất chắc chắn là phương pháp tọa độ. Bạn chọn một hệ trục tọa độ, ví dụ trục Ox chỉ về phía đông và trục Oy chỉ về phía bắc, rồi chiếu từng độ dịch chuyển thành phần lên hai trục. Gọi dx là tổng các hình chiếu lên trục Ox, dy là tổng các hình chiếu lên trục Oy. Độ lớn của vectơ tổng hợp là d = √(dx² + dy²), còn hướng xác định bằng tỉ số dy chia dx. Cách này đặc biệt hữu ích khi bài toán có ba chặng trở lên. Cuối cùng, hãy nhớ rằng độ dịch chuyển tổng hợp chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối, không phụ thuộc vào đường đi cụ thể ở giữa. Bạn có thể đọc thêm về vận tốc trong chuyển động thẳng biến đổi đều để thấy độ dịch chuyển được dùng như thế nào trong các chuyển động phức tạp hơn.
| Tiêu chí | Độ dịch chuyển | Quãng đường |
|---|---|---|
| Bản chất | Đại lượng vectơ, có cả độ lớn và hướng | Đại lượng vô hướng, chỉ có độ lớn |
| Cách xác định | Mũi tên nối vị trí đầu với vị trí cuối | Tổng chiều dài đường đi thực tế |
| Giá trị | Có thể bằng 0 khi vật quay về chỗ cũ | Luôn lớn hơn 0 khi vật có chuyển động |
| Cách tính khi nhiều chặng | Cộng vectơ theo quy tắc tam giác hoặc hình bình hành | Cộng số thường các đoạn đường |
| Quan hệ độ lớn | Luôn nhỏ hơn hoặc bằng quãng đường | Luôn lớn hơn hoặc bằng độ lớn độ dịch chuyển |
Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Đi 3 km về đông rồi 4 km về bắc
Một người đi bộ xuất phát từ điểm A, đi 3 km về phía đông tới điểm B, sau đó rẽ trái đi 4 km về phía bắc tới điểm C. Hãy xác định độ dịch chuyển tổng hợp của người đó và quãng đường người đó đã đi.
Bước 1, chúng ta vẽ hình. Vẽ mũi tên thứ nhất từ A sang phải, tức là về phía đông, dài tương ứng với 3 km, tới điểm B. Từ điểm B, vẽ mũi tên thứ hai thẳng đứng lên trên, tức là về phía bắc, dài tương ứng với 4 km, tới điểm C. Nối điểm A với điểm C bằng một mũi tên màu khác, đó chính là vectơ độ dịch chuyển tổng hợp cần tìm.
Bước 2, chúng ta tính độ lớn. Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC, ta có d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, suy ra d = √25 = 5 km. Con số 5 km này nhỏ hơn quãng đường đi được, vì quãng đường bằng tổng hai chặng, tức là 3 + 4 = 7 km. Bước 3, chúng ta xác định hướng. Vectơ tổng hợp AC lệch khỏi hướng đông một góc mà tang của góc đó bằng 4 chia 3, khoảng 1,33, tức là góc này khoảng 53 độ. Vậy độ dịch chuyển tổng hợp là 5 km, hướng lệch khỏi hướng đông khoảng 53 độ về phía bắc, hay nói ngắn gọn là hướng đông bắc.
Ví dụ 2: Ô tô đi 6 km về tây, 4 km về nam, rồi 3 km về đông
Một người lái ô tô đi thẳng 6 km theo hướng tây, sau đó rẽ trái đi thẳng theo hướng nam 4 km, rồi quay sang hướng đông đi 3 km. Hãy xác định quãng đường đi được và độ dịch chuyển của ô tô.
Bước 1, chúng ta tính quãng đường, vì phần này dễ nhất. Quãng đường là tổng chiều dài ba chặng, không quan tâm tới hướng, nên s = 6 + 4 + 3 = 13 km. Bước 2, chúng ta dùng phương pháp tọa độ. Chọn chiều dương của trục Ox là hướng đông, chiều dương của trục Oy là hướng bắc. Chặng thứ nhất đi 6 km về tây, ngược chiều dương của Ox, nên hình chiếu lên Ox là −6 km. Chặng thứ hai đi 4 km về nam, ngược chiều dương của Oy, nên hình chiếu lên Oy là −4 km. Chặng thứ ba đi 3 km về đông, cùng chiều dương của Ox, nên hình chiếu lên Ox là +3 km. Cộng các hình chiếu trên Ox, ta được dx = −6 + 3 = −3 km. Trên Oy, ta có dy = −4 km.
Bước 3, chúng ta tính độ lớn của vectơ tổng hợp. Hai thành phần dx và dy vuông góc với nhau, nên d = √(dx² + dy²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 km. Vị trí cuối cùng nằm 3 km về phía tây và 4 km về phía nam so với điểm xuất phát, nên vectơ tổng hợp chỉ theo hướng tây nam, lệch khỏi hướng tây khoảng 53 độ về phía nam.
Ví dụ 3: Đi 60 m về bắc rồi quay lại 20 m về nam
Một học sinh đi từ cổng trường 60 m về phía bắc để tới thư viện, nhưng nhớ ra để quên đồ nên quay lại 20 m về phía nam. Hãy xác định độ dịch chuyển tổng hợp và quãng đường học sinh đó đã đi, lấy vị trí cổng trường làm gốc.
Bước 1, chúng ta chọn chiều dương. Chọn hướng bắc làm chiều dương, vì chặng đầu tiên đi về phía bắc và cũng là chặng dài hơn. Chặng thứ nhất có độ dịch chuyển là +60 m. Chặng thứ hai đi ngược chiều dương, về phía nam, nên độ dịch chuyển là −20 m. Bước 2, chúng ta cộng đại số hai độ dịch chuyển thành phần. Độ dịch chuyển tổng hợp là d = 60 + (−20) = 40 m.
Bước 3, chúng ta tính quãng đường. Quãng đường không quan tâm tới hướng, chỉ cộng độ dài các chặng, nên s = 60 + 20 = 80 m.
Ví dụ 4: Ba chặng 2 km về đông, 3 km về bắc, 2 km về tây
Một người đi xe đạp đi 2 km về phía đông, rồi rẽ đi 3 km về phía bắc, rồi lại rẽ đi 2 km về phía tây. Hãy xác định độ dịch chuyển tổng hợp và quãng đường người đó đã đi.
Bước 1, chúng ta tính quãng đường. Cộng độ dài ba chặng, ta được s = 2 + 3 + 2 = 7 km. Bước 2, chúng ta chiếu lên hai trục tọa độ. Chọn hướng đông làm chiều dương của Ox và hướng bắc làm chiều dương của Oy. Chặng thứ nhất cho hình chiếu +2 km lên Ox. Chặng thứ hai cho hình chiếu +3 km lên Oy. Chặng thứ ba đi về phía tây, ngược chiều dương của Ox, nên cho hình chiếu −2 km lên Ox. Cộng lại, dx = 2 + (−2) = 0 km, dy = 3 km.
Bước 3, chúng ta tính vectơ tổng hợp. Vì dx bằng 0, độ lớn của vectơ tổng hợp chính bằng trị tuyệt đối của dy, tức là d = √(0² + 3²) = 3 km, và hướng của nó là thẳng về phía bắc. Vậy độ dịch chuyển tổng hợp là 3 km về phía bắc, trong khi quãng đường đi được là 7 km. Nếu bạn muốn thử sức với chuyển động có gia tốc, hãy đọc thêm về chuyển động rơi tự do, nơi độ dịch chuyển thay đổi theo thời gian một cách thú vị hơn nhiều.
Năm lỗi sai thường gặp và cách tránh
Lỗi 1: Cộng độ lớn như cộng số thường. Thấy hai chặng 3 km và 4 km, nhiều bạn viết ngay độ dịch chuyển tổng hợp bằng 7 km mà không nhìn xem hai chặng có cùng hướng hay không. Cách tránh rất đơn giản: trước khi bấm máy tính, hãy hỏi mình một câu, hai chặng này có cùng hướng không. Nếu không cùng hướng, tuyệt đối không cộng độ lớn.
Lỗi 2: Nhầm lẫn độ dịch chuyển với quãng đường. Nhiều bạn dùng hai khái niệm này thay thế cho nhau, đề hỏi độ dịch chuyển thì trả lời quãng đường và ngược lại. Cách tránh là nhớ câu thần chú: quãng đường là đường đã đi, độ dịch chuyển là đường chim bay. Quãng đường cộng dồn mọi khúc quanh, còn độ dịch chuyển chỉ quan tâm điểm đầu và điểm cuối.
Lỗi 3: Chỉ ghi độ lớn mà quên mất hướng. Độ dịch chuyển là đại lượng vectơ, nên đáp án chỉ có độ lớn mà không có hướng là đáp án chưa đầy đủ. Nhiều bạn tính đúng 5 km rồi dừng lại, quên nói 5 km theo hướng nào, và bị trừ một nửa số điểm. Cách tránh là tập thói quen viết đáp án theo mẫu đầy đủ: độ lớn, đơn vị, rồi hướng.
Lỗi 4: Dùng định lí Pythagore khi hai vectơ không vuông góc. Định lí Pythagore chỉ đúng khi tam giác tạo bởi hai chặng là tam giác vuông, tức là hai chặng vuông góc với nhau. Nếu hai chặng tạo với nhau góc 60 độ hay 120 độ mà bạn vẫn áp dụng công thức d = √(d1² + d2²) thì kết quả sẽ sai. Cách tránh là luôn kiểm tra góc giữa hai chặng trước khi chọn công thức.
Lỗi 5: Chọn chiều dương lung tung và sai dấu. Khi làm bài toán cùng phương ngược chiều hoặc dùng phương pháp tọa độ, nhiều bạn lúc thì lấy đông làm dương, lúc thì lấy tây làm dương, hoặc quên đổi dấu cho chặng đi ngược chiều dương. Cách tránh là ngay từ đầu bài, hãy viết rõ ra giấy: chọn hướng nào làm chiều dương, rồi gắn dấu cộng cho mọi chặng cùng chiều dương và dấu trừ cho mọi chặng ngược chiều dương, và giữ nguyên lựa chọn đó cho tới cuối bài.
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Câu 1: Một người đi 3 km về phía đông rồi đi tiếp 4 km về phía bắc. Độ dịch chuyển tổng hợp của người đó có độ lớn bằng bao nhiêu?
A. 5 km
B. 7 km
C. 1 km
D. 12 km
Câu 2: Một người đi 6 km về phía bắc rồi quay lại 8 km về phía nam. Độ dịch chuyển tổng hợp của người đó là bao nhiêu?
A. 2 km về phía nam
B. 14 km về phía bắc
C. 2 km về phía bắc
D. 8 km về phía nam
Câu 3: Một người đi 5 km về phía đông rồi đi tiếp 5 km về phía đông. Độ dịch chuyển tổng hợp của người đó là bao nhiêu?
A. 0 km
B. 5 km về phía đông
C. 10 km về phía đông
D. 25 km về phía đông
Câu 4: Một người đi 6 km về phía đông rồi đi 8 km về phía bắc. Độ dịch chuyển tổng hợp của người đó có độ lớn bằng bao nhiêu?
A. 14 km
B. 10 km
C. 2 km
D. 48 km
Câu 5: Một vận động viên chạy một vòng quanh sân vận động và quay trở về đúng vị trí xuất phát, tổng quãng đường chạy được là 400 m. Độ dịch chuyển tổng hợp của vận động viên đó bằng bao nhiêu?
A. 400 m
B. 0 m
C. 200 m
D. 800 m
Bảng đáp án và giải thích cặn kẽ
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | C | B | B |
Câu 1 — Đáp án A, 5 km. Hai chặng vuông góc với nhau, vì hướng đông và hướng bắc tạo thành góc 90 độ. Áp dụng định lí Pythagore, độ lớn của độ dịch chuyển tổng hợp là d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 km. Đáp án B là 7 km, đó là quãng đường, bằng 3 + 4, nên sai. Đáp án C là 1 km, đó là hiệu 4 − 3, chỉ đúng khi hai chặng ngược chiều, nên sai. Đáp án D là 12 km, đó là tích của 3 và 4, nên sai.
Câu 2 — Đáp án A, 2 km về phía nam. Hai chặng cùng phương nhưng ngược chiều nhau, nên độ dịch chuyển tổng hợp bằng hiệu các độ lớn. Chặng về nam dài 8 km, chặng về bắc dài 6 km, hiệu là 2 km, hướng theo chặng dài hơn, tức là hướng nam. Đáp án B là 14 km về phía bắc, đó là quãng đường 6 + 8, nên sai. Đáp án C là 2 km về phía bắc, độ lớn thì đúng nhưng hướng thì ngược, nên sai. Đáp án D là 8 km về phía nam, đó là độ dài riêng của chặng thứ hai, nên sai.
Câu 3 — Đáp án C, 10 km về phía đông. Hai chặng cùng phương và cùng chiều, cùng đi về phía đông, nên độ lớn bằng tổng các độ lớn: 5 + 5 = 10 km, hướng vẫn là hướng đông. Đáp án A là 0 km, chỉ đúng khi hai chặng ngược chiều và bằng nhau, nên sai. Đáp án B là 5 km về phía đông, đó là độ dài của một chặng, nên sai. Đáp án D là 25 km về phía đông, đó là 5 nhân 5, nên sai.
Câu 4 — Đáp án B, 10 km. Hai chặng vuông góc với nhau, nên d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 km. Bộ ba 6, 8, 10 gấp đôi bộ 3, 4, 5 quen thuộc, nên bạn có thể tính nhẩm nhanh. Đáp án A là 14 km, đó là quãng đường 6 + 8, nên sai. Đáp án C là 2 km, đó là hiệu 8 − 6, chỉ đúng khi hai chặng ngược chiều, nên sai. Đáp án D là 48 km, đó là tích 6 nhân 8, nên sai.
Câu 5 — Đáp án B, 0 m. Độ dịch chuyển chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối. Vận động viên quay về đúng vị trí xuất phát, nên mũi tên nối vị trí đầu với vị trí cuối có độ dài bằng 0. Đáp án A là 400 m, đó là quãng đường đã chạy, nên sai. Đáp án C là 200 m, bằng một nửa quãng đường, không có căn cứ, nên sai. Đáp án D là 800 m, gấp đôi quãng đường, nên sai.
Câu hỏi thường gặp
Độ dịch chuyển tổng hợp có thể bằng 0 không?
Có, hoàn toàn có thể. Khi vật quay trở về đúng vị trí xuất phát sau một hành trình khép kín, vị trí đầu trùng với vị trí cuối, nên vectơ nối hai điểm này có độ dài bằng 0.
Độ dịch chuyển tổng hợp có thể lớn hơn quãng đường đi được không?
Không, không bao giờ. Độ lớn của độ dịch chuyển tổng hợp luôn nhỏ hơn hoặc bằng quãng đường đi được, và chỉ bằng quãng đường khi vật chuyển động thẳng không đổi chiều. Lí do rất trực quan: đường thẳng nối hai điểm luôn là đường ngắn nhất, mọi đường đi vòng vèo khác đều dài hơn.
Muốn tổng hợp ba vectơ trở lên thì làm thế nào?
Bạn cộng dần từng cặp một theo quy tắc tam giác cho tới hết. Cách khác chắc chắn hơn là phương pháp tọa độ: chiếu tất cả các vectơ lên trục Ox và trục Oy, cộng riêng từng trục để được dx và dy, rồi tính độ lớn bằng d = √(dx² + dy²).
Khi nào thì dùng định lí Pythagore, khi nào thì dùng định lí côsin?
Bạn dùng định lí Pythagore khi hai độ dịch chuyển thành phần vuông góc với nhau, tức là góc giữa chúng bằng 90 độ, thường gặp khi hai chặng đi theo hai hướng kề nhau như đông và bắc. Bạn dùng định lí côsin khi hai chặng tạo với nhau một góc bất kì khác 0 độ, 90 độ và 180 độ.
Độ dịch chuyển mang dấu âm có nghĩa là gì?
Dấu âm không có nghĩa là độ dài âm, vì độ dài không bao giờ âm. Dấu âm chỉ cho biết vectơ độ dịch chuyển chỉ ngược với chiều dương mà bạn đã chọn. Ví dụ bạn chọn hướng đông làm chiều dương, một độ dịch chuyển bằng −200 m nghĩa là vật đã dịch chuyển 200 m về phía tây.
Kết luận
Tổng hợp độ dịch chuyển thực ra chỉ gói gọn trong một ý tưởng duy nhất: độ dịch chuyển là một mũi tên, nên muốn gộp nhiều đoạn dịch chuyển lại, bạn phải gộp cả độ dài lẫn hướng của chúng. Công thức d → = d1 → + d2 → + ... + dn → trông đơn giản, nhưng sức mạnh của nó nằm ở chỗ nó nhắc bạn không bao giờ được cộng độ lớn một cách mù quáng.
Để học chắc dạng toán này, bạn hãy tự vẽ hình cho mỗi bài tập, dù đề bài có cho hình sẵn hay không. Vẽ mũi tên thứ nhất, nối đuôi mũi tên thứ hai, rồi nối điểm đầu với điểm cuối, bạn sẽ thấy đáp án hiện ra ngay trước mắt, và việc chọn công thức nào cũng trở nên rõ ràng. Sau đó, hãy làm lại năm câu trắc nghiệm trong bài mà không nhìn đáp án, rồi tự kiểm tra bằng bảng đáp án và phần giải thích cặn kẽ.