Công thức tính sai số tỉ đối

Bạn đã bao giờ đo cùng một cây bút bằng hai chiếc thước khác nhau rồi tự hỏi: lần đo nào đáng tin hơn chưa? Hay bạn từng làm thí nghiệm đo chiều dài của bàn học, đo thời gian hòn bi rơi, rồi lúng túng không biết con số mình ghi ra chính xác tới mức nào? Trong phòng thí nghiệm Vật lí, không có phép đo nào cho kết quả chính xác tuyệt đối, lần nào đo chúng ta cũng mắc một chút sai số. Làm sao biết chút sai số đó là lớn hay nhỏ, có chấp nhận được hay không? Câu trả lời nằm ở đại lượng mà sách giáo khoa Vật lí 10 gọi là sai số tỉ đối.

Sai số tỉ đối giống như một chiếc thước chung để so sánh độ chính xác của mọi phép đo, dù bạn đo chiều dài, khối lượng hay thời gian. Chỉ cần biết sai số tuyệt đối và giá trị trung bình của đại lượng cần đo, bạn sẽ tính được ngay sai số tỉ đối bằng một công thức duy nhất. Bài viết này sẽ dẫn bạn đi từng bước: hiểu công thức, hiểu từng kí hiệu, luyện bốn ví dụ tính từng bước, tránh năm lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, rồi tự kiểm tra mình bằng năm câu trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ. Cuối bài, bạn sẽ biết cách dùng sai số tỉ đối để đánh giá một phép đo là tốt hay chưa tốt, và biết cách ghi kết quả đo cho đúng chuẩn sách giáo khoa.

Công thức tính sai số tỉ đối

Công thức tính sai số tỉ đối rất ngắn gọn, bạn chỉ cần nhớ một dòng duy nhất:

δA = ΔA / Ā × 100%

Trong đó, δA là sai số tỉ đối của phép đo đại lượng A. ΔA là sai số tuyệt đối của phép đo, tính bằng cùng đơn vị với đại lượng A. Ā là giá trị trung bình của đại lượng A sau nhiều lần đo, cũng tính bằng cùng đơn vị với A. Dấu × 100% cho biết kết quả cuối cùng được biểu diễn bằng phần trăm, nhờ đó sai số tỉ đối không còn mang đơn vị nữa mà trở thành một con số thuần túy dùng để so sánh.

Để hiểu vì sao công thức lại có dạng này, bạn hãy nghĩ về ý nghĩa của từng phần. Sai số tuyệt đối ΔA cho biết kết quả đo lệch bao nhiêu đơn vị, ví dụ lệch 0,1 cm. Nhưng 0,1 cm đó lớn hay nhỏ còn tùy thứ bạn đo: đo cây bút dài 10 cm thì lệch một phần trăm, đo tấm bảng dài 100 cm thì chỉ lệch một phần nghìn. Vì vậy, người ta lấy sai số tuyệt đối chia cho giá trị trung bình để xem sai số chiếm bao nhiêu phần của giá trị đo. Tỉ số này càng nhỏ thì phép đo càng chính xác, còn nhân với 100% chỉ là cách đổi tỉ số đó sang phần trăm cho dễ đọc.

Trong sách giáo khoa Vật lí 10, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 3 Thực hành tính sai số trong phép đo, Ghi kết quả đo, sai số tỉ đối được định nghĩa là tỉ lệ phần trăm giữa sai số tuyệt đối và giá trị trung bình của đại lượng đo, cho biết mức độ chính xác của phép đo. Sách cũng nhấn mạnh: sai số tỉ đối càng nhỏ thì phép đo càng chính xác.

Giải thích từng kí hiệu trong công thức

Kí hiệu ΔA là sai số tuyệt đối của phép đo, bằng tổng của hai phần: sai số ngẫu nhiên tuyệt đối trung bình và sai số dụng cụ. Sai số ngẫu nhiên tuyệt đối trung bình được tính từ nhiều lần đo, bằng trung bình cộng của các trị tuyệt đối của hiệu số giữa giá trị trung bình và giá trị mỗi lần đo. Sai số dụng cụ thường được lấy bằng một nửa độ chia nhỏ nhất trên dụng cụ đo, ví dụ thước có độ chia nhỏ nhất 1 mm thì sai số dụng cụ là 0,5 mm. Vì vậy, trước khi tính sai số tỉ đối, bạn phải tính xong sai số tuyệt đối ΔA. Nếu muốn ôn lại cách tính này, hãy đọc thêm bài về sai số tuyệt đối.

Kí hiệu Ā là giá trị trung bình của đại lượng A, có dấu gạch ngang ở trên đầu chữ A, tính bằng cách cộng tất cả các kết quả đo rồi chia cho số lần đo. Ví dụ, bạn đo chiều dài một thanh kim loại bốn lần, được 20,01 cm, 19,98 cm, 20,02 cm và 19,99 cm, cộng lại rồi chia cho 4 thì được Ā bằng 20,00 cm. Giá trị trung bình đại diện tốt nhất cho giá trị thật, vì các sai số ngẫu nhiên có xu hướng triệt tiêu lẫn nhau khi lấy trung bình. Trong công thức sai số tỉ đối, mẫu số luôn là giá trị trung bình Ā, không phải giá trị của một lần đo riêng lẻ nào.

Điều kiện áp dụng công thức

Công thức δA = ΔA / Ā × 100% áp dụng cho mọi phép đo trực tiếp đã có giá trị trung bình và sai số tuyệt đối, từ đo chiều dài, đo khối lượng đến đo thời gian. Điều kiện duy nhất là giá trị trung bình Ā phải khác không, mà trong thực tế điều này luôn thỏa mãn. Công thức này cũng là cầu nối để tính sai số của phép đo gián tiếp: sai số tuyệt đối của một tổng hay một hiệu bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng, còn sai số tỉ đối của một tích hay một thương bằng tổng các sai số tỉ đối của các thừa số. Nhờ đó, bạn có thể tính sai số tỉ đối của vận tốc hay gia tốc rơi tự do mà không cần đo trực tiếp (xem thêm bài về chuyển động rơi tự do).

Vì sao sai số tỉ đối đánh giá độ chính xác tốt hơn sai số tuyệt đối

Sai số tuyệt đối chỉ cho biết bạn lệch bao nhiêu đơn vị, nhưng không cho biết mức lệch đó có đáng kể hay không. Lệch 1 mm khi đo tờ giấy dày 0,1 mm là lệch rất lớn, nhưng khi đo sân trường dài 100 m lại không đáng kể. Cùng một con số 1 mm, nhưng ý nghĩa hoàn toàn khác nhau, vì sai số tỉ đối đặt sai số vào tương quan với độ lớn của thứ được đo.

Nhờ vậy, sai số tỉ đối trở thành thước đo chung cho mọi phép đo, dù bạn đo cái gì, bằng đơn vị nào. Một phép đo chiều dài có sai số tỉ đối 0,5% và một phép đo khối lượng có sai số tỉ đối 2% có thể so sánh trực tiếp với nhau: phép đo chiều dài chính xác hơn. Nếu chỉ dùng sai số tuyệt đối, bạn không thể so sánh 0,6 cm với 2,5 gam, vì hai đơn vị khác nhau hoàn toàn. Đây chính là lí do sách giáo khoa khẳng định sai số tỉ đối cho biết mức độ chính xác của phép đo. Trong thực hành, sai số tỉ đối dưới 1% được coi là tốt, dưới 5% được coi là chấp nhận được. Kết quả đo được ghi theo sách giáo khoa là A = Ā ± ΔA, ví dụ l = 20,00 ± 0,07 cm.

Bốn ví dụ tính sai số tỉ đối từng bước

Bốn ví dụ dưới đây đi từ dễ đến khó, từ áp dụng trực tiếp công thức đến so sánh hai phép đo với nhau. Bạn hãy đọc kĩ từng bước, rồi tự che đáp án lại và tính lại một lần nữa. Khi cần kiểm tra phép tính, bạn có thể dùng máy tính Casio online để bấm lại cho chắc chắn.

Ví dụ 1: Đo chiều dài thanh kim loại

Một bạn học sinh đo chiều dài một thanh kim loại nhiều lần, thu được giá trị trung bình Ā = 20,00 cm và sai số tuyệt đối ΔA = 0,07 cm. Hãy tính sai số tỉ đối của phép đo này.

Bước 1: Xác định các số liệu đã cho.
Giá trị trung bình Ā = 20,00 cm.
Sai số tuyệt đối ΔA = 0,07 cm.

Bước 2: Viết công thức.
δA = ΔA / Ā × 100%

Bước 3: Thay số vào công thức.
δA = 0,07 / 20,00 × 100%
δA = 0,0035 × 100%
δA = 0,35%

Bước 4: Kết luận và ghi kết quả đo.
Sai số tỉ đối của phép đo là 0,35%, một phép đo khá chính xác, vì sai số chỉ chiếm 0,35 phần trăm của giá trị đo. Kết quả đo được ghi đầy đủ là A = 20,00 ± 0,07 cm, nghĩa là giá trị thật nằm trong khoảng từ 19,93 cm đến 20,07 cm.

Ví dụ 2: Đo chiều dài mặt bàn học

Một nhóm học sinh đo chiều dài mặt bàn học, thu được giá trị trung bình Ā = 120,0 cm và sai số tuyệt đối ΔA = 0,6 cm. Hãy tính sai số tỉ đối và nhận xét độ chính xác.

Bước 1: Xác định các số liệu đã cho.
Giá trị trung bình Ā = 120,0 cm.
Sai số tuyệt đối ΔA = 0,6 cm.

Bước 2: Viết công thức và thay số.
δA = ΔA / Ā × 100%
δA = 0,6 / 120,0 × 100%
δA = 0,005 × 100%
δA = 0,5%

Bước 3: Kết luận và nhận xét.
Sai số tỉ đối của phép đo là 0,5%, kết quả đo được ghi là A = 120,0 ± 0,6 cm. So với Ví dụ 1, sai số tuyệt đối ở đây lớn gấp gần chín lần, nhưng sai số tỉ đối chỉ là 0,5%, vì mặt bàn dài gấp sáu lần thanh kim loại. Đây chính là minh chứng rõ ràng nhất cho việc sai số tỉ đối mới là thước đo độ chính xác.

Ví dụ 3: Đo khối lượng quả cân và tính ngược sai số tuyệt đối

Một quả cân được cân nhiều lần trên cân điện tử, thu được giá trị trung bình m = 250,0 g và sai số tuyệt đối Δm = 2,5 g. Hãy tính sai số tỉ đối, rồi kiểm tra lại bằng cách tính ngược sai số tuyệt đối từ sai số tỉ đối vừa tìm được.

Bước 1: Xác định các số liệu đã cho.
Giá trị trung bình m = 250,0 g.
Sai số tuyệt đối Δm = 2,5 g.

Bước 2: Viết công thức và thay số.
δm = Δm / m × 100%
δm = 2,5 / 250,0 × 100%
δm = 0,01 × 100%
δm = 1%

Bước 3: Tính ngược để kiểm tra.
Từ công thức gốc, ta biến đổi được Δm = δm × m / 100% = 1 × 250,0 / 100 = 2,5 g, khớp đúng với sai số tuyệt đối đã cho, chứng tỏ phép tính xuôi là đúng.

Bước 4: Kết luận.
Sai số tỉ đối của phép đo khối lượng là 1%, kết quả đo được ghi là m = 250,0 ± 2,5 g. Phép đo này chấp nhận được, nhưng kém chính xác hơn hai ví dụ trước, vì 1% lớn hơn 0,35% và 0,5%.

Ví dụ 4: So sánh độ chính xác của hai phép đo

Hai bạn cùng đo chiều dài bằng một chiếc thước có độ chia nhỏ nhất 1 mm. Bạn An đo sợi dây dài, thu được Ā = 200,0 cm và ΔA = 0,4 cm. Bạn Bình đo quyển vở, thu được Ā = 20,0 cm và ΔA = 0,4 cm. Phép đo nào chính xác hơn? Vì sao?

Bước 1: Tính sai số tỉ đối của phép đo của bạn An.
δA = 0,4 / 200,0 × 100%
δA = 0,002 × 100%
δA = 0,2%

Bước 2: Tính sai số tỉ đối của phép đo của bạn Bình.
δA = 0,4 / 20,0 × 100%
δA = 0,02 × 100%
δA = 2%

Bước 3: So sánh và kết luận.
Sai số tỉ đối của bạn An là 0,2%, nhỏ hơn sai số tỉ đối 2% của bạn Bình gấp mười lần, nên phép đo của bạn An chính xác hơn gấp mười lần, mặc dù sai số tuyệt đối của hai phép đo bằng nhau, đều là 0,4 cm. Đây chính là tình huống trong hình minh họa ở đầu bài: cùng sai số tuyệt đối 0,1 cm, phép đo tấm bảng dài 100,0 cm có sai số tỉ đối 0,1%, chính xác hơn gấp mười lần phép đo cây bút dài 10,0 cm có sai số tỉ đối 1%.

Năm lỗi sai thường gặp và cách tránh

Dưới đây là năm lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất khi làm bài tập về sai số tỉ đối. Mỗi lỗi đều kèm theo cách tránh cụ thể, bạn hãy đọc kĩ và tự kiểm tra xem mình có từng mắc lỗi nào trong số này không.

Lỗi 1: Quên nhân với 100%.
Nhiều bạn tính 0,07 chia cho 20,00 được 0,0035 rồi ghi luôn đáp án là 0,0035%, sai đi một trăm lần. Cách tránh: sau khi chia xong, bạn hãy tự hỏi mình một câu: con số này đã là phần trăm chưa. Bạn nên viết rõ cả hai dòng trong bài làm: dòng chia ra 0,0035, dòng nhân với 100% ra 0,35%.

Lỗi 2: Lấy giá trị của một lần đo thay cho giá trị trung bình.
Có bạn lấy luôn kết quả của lần đo đầu tiên, ví dụ 20,01 cm, làm mẫu số thay vì giá trị trung bình 20,00 cm, đủ để bạn mất điểm trong bài trắc nghiệm. Cách tránh: trước khi thay số, bạn hãy kiểm tra xem mình đã tính trung bình cộng của tất cả các lần đo hay chưa. Nếu đề bài cho sẵn giá trị trung bình thì dùng ngay con số đó.

Lỗi 3: Nhầm sai số tuyệt đối của một lần đo với sai số tuyệt đối của phép đo.
Sai số tuyệt đối của phép đo là tổng của sai số ngẫu nhiên tuyệt đối trung bình và sai số dụng cụ, nhưng nhiều bạn chỉ lấy sai số ngẫu nhiên mà quên cộng sai số dụng cụ. Cách tránh: bạn hãy tính sai số tuyệt đối theo đúng quy trình trong sách giáo khoa, làm đủ ba bước rồi mới tính sai số tỉ đối.

Lỗi 4: So sánh độ chính xác bằng sai số tuyệt đối.
Thấy hai phép đo đều có sai số tuyệt đối 0,4 cm, nhiều bạn kết luận ngay là hai phép đo chính xác như nhau. Đây là lỗi về tư duy, rất hay xuất hiện trong các câu hỏi lí thuyết. Cách tránh: mỗi khi đề bài hỏi phép đo nào chính xác hơn, bạn hãy tính sai số tỉ đối của từng phép đo rồi mới so sánh. Phép đo nào có sai số tỉ đối nhỏ hơn thì chính xác hơn.

Lỗi 5: Ghi sai số tỉ đối kèm theo đơn vị của đại lượng đo, hoặc làm tròn sai.
Có bạn viết sai số tỉ đối là 0,35% cm, thừa một đơn vị cm, hoặc viết 0,354% trong khi các số liệu đầu vào chỉ có hai chữ số có nghĩa. Sai số tỉ đối không có đơn vị, vì đơn vị đã triệt tiêu nhau khi chia, chỉ còn lại dấu phần trăm. Cách tránh: bạn hãy ghi sai số tỉ đối với hai hoặc ba chữ số có nghĩa, chỉ ghi dấu phần trăm, không ghi thêm cm, gam hay giây, và chỉ làm tròn ở bước cuối cùng.

Năm bài tập trắc nghiệm tự kiểm tra

Bạn hãy làm năm câu dưới đây trước khi xem đáp án. Mỗi câu chỉ có một đáp án đúng, bạn hãy tính ra giấy rồi mới đối chiếu với bảng đáp án và phần giải thích phía sau.

Câu 1. Một phép đo chiều dài có giá trị trung bình Ā = 50,00 cm và sai số tuyệt đối ΔA = 0,25 cm. Sai số tỉ đối của phép đo là bao nhiêu?
A. 0,05%
B. 0,5%
C. 5%
D. 0,25%

Câu 2. Một phép đo khối lượng có giá trị trung bình m = 80,0 g và sai số tuyệt đối Δm = 0,8 g. Sai số tỉ đối của phép đo là bao nhiêu?
A. 0,1%
B. 10%
C. 1%
D. 0,8%

Câu 3. Một phép đo có sai số tỉ đối δA = 2% và giá trị trung bình Ā = 150 cm. Sai số tuyệt đối ΔA của phép đo là bao nhiêu?
A. 3,0 cm
B. 0,3 cm
C. 30 cm
D. 7,5 cm

Câu 4. Hai phép đo cùng có sai số tuyệt đối ΔA = 0,2 cm. Phép đo thứ nhất có giá trị trung bình Ā = 20 cm, phép đo thứ hai có giá trị trung bình Ā = 200 cm. Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Phép đo thứ nhất chính xác hơn
B. Hai phép đo chính xác như nhau
C. Không so sánh được độ chính xác của hai phép đo
D. Phép đo thứ hai chính xác hơn

Câu 5. Một phép đo thời gian có giá trị trung bình t = 4,00 s và sai số tuyệt đối Δt = 0,08 s. Sai số tỉ đối của phép đo là bao nhiêu?
A. 2%
B. 0,2%
C. 20%
D. 0,02%

Bảng đáp án

Giải thích cặn kẽ từng câu

Câu 1: Đáp án B. 0,5%.
Áp dụng công thức δA = ΔA / Ā × 100% = 0,25 / 50,00 × 100% = 0,005 × 100% = 0,5%. Đáp án A. 0,05% và đáp án C. 5% đều sai vì chia nhầm mẫu số. Đáp án D. 0,25% là sai, vì bạn đã lấy luôn sai số tuyệt đối làm đáp án.

Câu 2: Đáp án C. 1%.
Áp dụng công thức δm = Δm / m × 100% = 0,8 / 80,0 × 100% = 0,01 × 100% = 1%. Đáp án A. 0,1% và đáp án B. 10% đều sai vì chia nhầm mẫu số. Đáp án D. 0,8% là sai, vì bạn đã lấy luôn sai số tuyệt đối làm đáp án.

Câu 3: Đáp án A. 3,0 cm.
Đây là bài toán tính ngược: ΔA = δA × Ā / 100% = 2 × 150 / 100 = 3,0 cm. Đáp án B. 0,3 cm là sai, vì bạn đã chia nhầm cho 1000. Đáp án C. 30 cm là sai, vì bạn đã quên chia cho 100. Đáp án D. 7,5 cm là sai, vì bạn đã lấy 150 chia cho 20, một phép tính không liên quan đến công thức.

Câu 4: Đáp án D. Phép đo thứ hai chính xác hơn.
Phép đo thứ nhất có δA = 0,2 / 20 × 100% = 1%, phép đo thứ hai có δA = 0,2 / 200 × 100% = 0,1%. Vì 0,1% nhỏ hơn 1% nên phép đo thứ hai chính xác hơn gấp mười lần, mặc dù sai số tuyệt đối của hai phép đo bằng nhau. Đáp án A là sai, vì bạn đã so sánh ngược. Đáp án B là sai, vì bạn đã so sánh độ chính xác bằng sai số tuyệt đối. Đáp án C là sai, vì hai phép đo hoàn toàn so sánh được với nhau thông qua sai số tỉ đối.

Câu 5: Đáp án A. 2%.
Áp dụng công thức δt = Δt / t × 100% = 0,08 / 4,00 × 100% = 2%. Đáp án B. 0,2% và đáp án C. 20% đều sai vì chia nhầm mẫu số. Đáp án D. 0,02% là sai, vì bạn đã quên nhân với 100%.

Câu hỏi thường gặp về sai số tỉ đối

Câu 1: Sai số tỉ đối có đơn vị không?
Không. Sai số tỉ đối không có đơn vị, nó chỉ có dấu phần trăm, vì nó bằng sai số tuyệt đối chia cho giá trị trung bình, mà hai đại lượng này có cùng đơn vị nên đơn vị triệt tiêu nhau khi chia. Bạn chỉ ghi 0,35%, không ghi 0,35% cm hay 0,35% g.

Câu 2: Sai số tỉ đối càng nhỏ thì phép đo càng chính xác, có đúng không?
Đúng hoàn toàn. Sai số tỉ đối càng nhỏ thì kết quả đo càng gần với giá trị thật. Sai số tỉ đối bằng 0% là trường hợp lí tưởng, nhưng trong thực tế không bao giờ đạt được, vì mọi dụng cụ đo đều có giới hạn và mọi thao tác đo đều có sai số ngẫu nhiên.

Câu 3: Sai số tỉ đối khác sai số tuyệt đối ở điểm nào?
Sai số tuyệt đối cho biết bạn lệch bao nhiêu đơn vị, ví dụ lệch 0,1 cm, còn sai số tỉ đối cho biết bạn lệch bao nhiêu phần trăm so với giá trị đo, ví dụ lệch 1%. Chỉ sai số tỉ đối mới dùng để so sánh độ chính xác của hai phép đo khác nhau. Hai đại lượng này liên hệ với nhau qua công thức δA = ΔA / Ā × 100%.

Câu 4: Tính sai số tỉ đối của phép đo gián tiếp như thế nào?
Với phép đo gián tiếp, bạn tính đại lượng cần tìm từ các đại lượng đo trực tiếp khác. Sách giáo khoa đưa ra quy tắc: sai số tỉ đối của một tích hay một thương bằng tổng các sai số tỉ đối của các thừa số. Ví dụ, vận tốc bằng quãng đường chia cho thời gian, nên sai số tỉ đối của vận tốc bằng sai số tỉ đối của quãng đường cộng với sai số tỉ đối của thời gian.

Câu 5: Khi nào cần tính sai số tỉ đối trong bài thực hành?
Bạn cần tính sai số tỉ đối ở cuối mỗi bài thực hành, sau khi đã tính xong giá trị trung bình và sai số tuyệt đối, để nhận xét độ chính xác của phép đo trong phần kết luận của báo cáo thí nghiệm.

Kết luận

Sai số tỉ đối là một công thức ngắn nhưng rất mạnh: δA = ΔA / Ā × 100%. Chỉ với một phép chia và một phép nhân, bạn đã có trong tay thước đo độ chính xác của mọi phép đo, từ chiều dài cây bút đến gia tốc rơi tự do. Bạn hãy nhớ ba ý cốt lõi: sai số tỉ đối bằng sai số tuyệt đối chia cho giá trị trung bình rồi nhân với 100%, sai số tỉ đối càng nhỏ thì phép đo càng chính xác, và muốn so sánh hai phép đo thì phải so sánh sai số tỉ đối.

Để học tốt hơn, bạn hãy làm lại bốn ví dụ trong bài bằng tay, rồi làm lại năm câu trắc nghiệm mà không nhìn đáp án. Trong buổi thực hành tới, bạn hãy thử tính sai số tỉ đối cho chính phép đo của nhóm mình, ghi kết quả đo theo dạng A = Ā ± ΔA, rồi nhận xét độ chính xác của nhóm. Chúc bạn học tốt và đo thật chuẩn trong những buổi thí nghiệm sắp tới.