Bạn hãy nhìn một trận kéo co. Hai đội kéo hai đầu sợi dây theo hai hướng ngược nhau, sợi dây căng ra nhưng không nhúc nhích — vì hai lực kéo cân bằng nhau. Bây giờ bạn hãy tưởng tượng hai người cùng kéo một chiếc thuyền bị mắc cạn: một người kéo về phía đông, một người kéo về phía đông bắc. Chiếc thuyền sẽ đi theo hướng nào, và lực kéo thực sự tác dụng lên thuyền là bao nhiêu? Câu trả lời nằm ở phép tổng hợp lực: thay nhiều lực tác dụng đồng thời lên một vật bằng một lực duy nhất có tác dụng tương đương, gọi là hợp lực.
Tổng hợp lực là kĩ năng nền tảng của cả chương Động lực học lớp 10: muốn biết một vật chuyển động ra sao, trước hết bạn phải biết hợp lực tác dụng lên nó. Bài này sẽ dạy bạn quy tắc hình bình hành để tổng hợp hai lực đồng quy, công thức tính độ lớn hợp lực theo góc giữa hai lực, và quy tắc đa giác lực để tổng hợp nhiều lực cùng lúc. Bạn sẽ luyện qua bốn ví dụ tính từng bước — từ hai lực vuông góc tạo thành bộ ba 6-8-10 quen thuộc tới hai lực hợp nhau góc 60 độ — rồi thử thách mình với năm bài tập có đáp án giải thích cặn kẽ.
1. Công thức tổng hợp hai lực đồng quy: quy tắc hình bình hành
Tổng hợp lực là phép thay thế hai hay nhiều lực tác dụng đồng thời vào một vật bằng một lực duy nhất sao cho tác dụng lên vật vẫn không thay đổi. Lực duy nhất đó gọi là hợp lực, kí hiệu là vectơ F. Hai lực được gọi là đồng quy khi giá của chúng cắt nhau tại một điểm — tức là hai lực cùng tác dụng vào một điểm của vật, hoặc giá của chúng gặp nhau tại một điểm. Để tổng hợp hai lực đồng quy F1 và F2, người ta dùng quy tắc hình bình hành: từ điểm đồng quy, bạn vẽ hai vectơ lực F1 và F2, dựng hình bình hành nhận hai vectơ đó làm hai cạnh kề nhau, thì đường chéo của hình bình hành vẽ từ điểm đồng quy chính là vectơ hợp lực F. Đây là nội dung của Bài 13 trong SGK Vật lí 10, bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống".
Về độ lớn, nếu hai lực F1 và F2 hợp với nhau một góc α thì độ lớn của hợp lực được tính bằng công thức: F² bằng F1² cộng F2² cộng 2 nhân F1 nhân F2 nhân cos α. Công thức này suy ra từ định lí hàm số côsin áp dụng cho hình bình hành, và nó bao quát mọi trường hợp đặc biệt mà bạn hay gặp. Khi hai lực cùng phương, cùng chiều, góc α bằng 0 độ, cos α bằng 1, công thức cho F bằng F1 cộng F2 — hợp lực bằng tổng hai lực. Khi hai lực cùng phương, ngược chiều, góc α bằng 180 độ, cos α bằng âm 1, công thức cho F bằng trị tuyệt đối của F1 trừ F2 — hợp lực bằng hiệu hai lực và cùng chiều với lực lớn hơn. Khi hai lực vuông góc nhau, góc α bằng 90 độ, cos α bằng 0, công thức còn lại F² bằng F1² cộng F2², tức là F bằng căn bậc hai của F1² cộng F2² — đúng như định lí Pythagore. Khi hai lực bằng nhau và hợp nhau góc 60 độ, cos 60 độ bằng 0,5 nên F² bằng F1² cộng F1² cộng 2 nhân F1 nhân F1 nhân 0,5 bằng 3 F1², tức là F bằng F1 nhân căn 3, khoảng 1,73 lần F1 — nhiều bạn nhớ nhầm thành F bằng F1, bạn hãy cẩn thận ở chỗ này.
Bạn hãy ghi nhớ khoảng giá trị của hợp lực: độ lớn của hợp lực luôn nằm trong khoảng từ trị tuyệt đối của F1 trừ F2 tới F1 cộng F2. Hợp lực lớn nhất khi hai lực cùng chiều, nhỏ nhất khi hai lực ngược chiều. Quy tắc này giúp bạn kiểm tra đáp án rất nhanh: nếu bạn tính ra hợp lực lớn hơn tổng hai lực hoặc nhỏ hơn hiệu hai lực thì chắc chắn đã tính sai. Khi làm bài, bạn hãy làm theo đúng trình tự: bước một, xác định góc α giữa hai lực; bước hai, chọn đúng trường hợp đặc biệt nếu có — cùng chiều, ngược chiều hay vuông góc — để dùng công thức rút gọn; bước ba, nếu góc α là một góc bất kì thì dùng công thức đầy đủ với cos α. Nếu muốn tính lực ma sát — một trong những lực thành phần hay gặp nhất khi tổng hợp lực — bạn hãy xem lại bài tính lực ma sát. Khi cần kiểm tra lại phép tính căn bậc hai, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
2. Tổng hợp nhiều lực: quy tắc đa giác lực
Quy tắc hình bình hành chỉ tổng hợp được hai lực một lúc. Khi vật chịu tác dụng của ba lực trở lên, bạn dùng quy tắc đa giác lực: bạn vẽ vectơ lực thứ nhất, rồi vẽ vectơ lực thứ hai nối tiếp vào đầu mút của vectơ thứ nhất, rồi vẽ vectơ lực thứ ba nối tiếp vào đầu mút của vectơ thứ hai, cứ thế cho tới lực cuối cùng. Vectơ nối từ điểm đầu của vectơ thứ nhất tới đầu mút của vectơ cuối cùng chính là hợp lực của tất cả các lực. Nếu đa giác lực khép kín — tức là đầu mút của vectơ cuối cùng trùng với điểm đầu của vectơ thứ nhất — thì hợp lực bằng không và vật đang ở trạng thái cân bằng.
Trong thực hành, người ta thường tổng hợp nhiều lực bằng cách khác tiện hơn: phân tích mỗi lực thành hai thành phần theo hai trục Ox và Oy vuông góc nhau, rồi cộng các thành phần theo từng trục. Hợp lực theo trục Ox bằng tổng các thành phần trên trục Ox, hợp lực theo trục Oy bằng tổng các thành phần trên trục Oy, và độ lớn hợp lực bằng căn bậc hai của tổng bình phương hai thành phần đó. Cách làm này đặc biệt hữu ích khi các lực có hướng bất kì và góc giữa chúng không phải là góc đặc biệt. Bạn hãy nhớ: dù dùng cách nào — hình bình hành, đa giác lực hay phân tích thành phần — kết quả hợp lực vẫn như nhau, vì tất cả đều là cách diễn đạt khác nhau của cùng một phép cộng vectơ: vectơ F bằng vectơ F1 cộng vectơ F2 cộng cho tới vectơ Fn. Nếu muốn ôn lại cách tính moment của một lực quanh một trục, bạn hãy xem lại bài tính moment lực.
3. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (hai lực vuông góc): Hai lực đồng quy F1 bằng 6 N và F2 bằng 8 N hợp với nhau một góc 90 độ. Tính độ lớn của hợp lực.
Hai lực vuông góc nhau nên góc α bằng 90 độ và cos α bằng 0. Bạn áp dụng công thức rút gọn cho trường hợp vuông góc: F² bằng F1² cộng F2² bằng 6² cộng 8² bằng 36 cộng 64 bằng 100. Suy ra F bằng căn bậc hai của 100 bằng 10 N. Vậy hợp lực có độ lớn 10 N. Bạn hãy ghi nhớ bộ ba số 6-8-10: đây là bộ ba Pythagore quen thuộc, đề thi rất hay dùng các bộ ba như 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 để số liệu ra tròn đẹp. Hướng của hợp lực hợp với lực F1 một góc mà tan của nó bằng 8 chia 6, tức là khoảng 53 độ — bạn chưa cần tính góc này trong bài tập cơ bản, chỉ cần nhớ hợp lực nằm giữa hai lực thành phần và lệch về phía lực lớn hơn.
Ví dụ 2 (hai lực cùng chiều): Hai lực đồng quy F1 bằng 5 N và F2 bằng 7 N cùng phương, cùng chiều. Tính độ lớn của hợp lực.
Hai lực cùng chiều nên góc α bằng 0 độ và hợp lực bằng tổng hai lực: F bằng F1 cộng F2 bằng 5 cộng 7 bằng 12 N, cùng chiều với hai lực thành phần. Đây là trường hợp đơn giản nhất và cũng là trường hợp cho hợp lực lớn nhất. Bạn hãy hình dung hai người cùng đẩy một chiếc xe theo cùng một hướng: lực đẩy của hai người cộng lại với nhau, xe nhận được toàn bộ 12 N. Ngược lại, nếu hai người đẩy ngược chiều nhau thì hợp lực chỉ còn bằng hiệu hai lực — bạn sẽ thấy rõ ở ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 3 (hai lực ngược chiều): Hai lực đồng quy F1 bằng 10 N và F2 bằng 4 N cùng phương, ngược chiều. Tính độ lớn và chiều của hợp lực.
Hai lực ngược chiều nên góc α bằng 180 độ và hợp lực bằng hiệu hai lực: F bằng trị tuyệt đối của F1 trừ F2 bằng 10 trừ 4 bằng 6 N. Hợp lực cùng chiều với lực lớn hơn, tức là cùng chiều với F1. Bạn hãy hình dung trận kéo co mà một đội kéo 10 N, đội kia kéo 4 N: sợi dây sẽ chuyển động về phía đội mạnh hơn với lực ròng 6 N. Trường hợp đặc biệt là khi hai lực ngược chiều và bằng nhau thì hợp lực bằng không — vật đứng yên, đó chính là điều kiện cân bằng của hai lực mà bạn đã học ở bậc trung học cơ sở.
Ví dụ 4 (góc 60 độ): Hai lực đồng quy F1 bằng 10 N và F2 bằng 10 N hợp với nhau một góc 60 độ. Tính độ lớn của hợp lực.
Đây là trường hợp góc bất kì nên bạn phải dùng công thức đầy đủ. Bạn tính: F² bằng F1² cộng F2² cộng 2 nhân F1 nhân F2 nhân cos 60 độ. Thay số: F² bằng 10² cộng 10² cộng 2 nhân 10 nhân 10 nhân 0,5 bằng 100 cộng 100 cộng 100 bằng 300. Suy ra F bằng căn bậc hai của 300, khoảng 17,3 N. Vậy hợp lực có độ lớn khoảng 17,3 N. Bạn hãy kiểm tra tính hợp lí: hợp lực 17,3 N nằm trong khoảng từ hiệu hai lực (0 N) tới tổng hai lực (20 N), và lớn hơn từng lực thành phần vì hai lực hợp nhau góc nhọn nên "hỗ trợ" nhau. Nếu góc giữa hai lực càng nhỏ thì hợp lực càng gần tổng hai lực; nếu góc càng lớn thì hợp lực càng gần hiệu hai lực — bạn hãy nhớ quy luật này để ước lượng đáp án trước khi tính.
4. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cộng thẳng độ lớn của hai lực khi chúng không cùng phương.
Nhiều bạn thấy F1 bằng 6 N và F2 bằng 8 N thì viết ngay F bằng 14 N mà không xem góc giữa hai lực. Sai: cộng thẳng độ lớn chỉ đúng khi hai lực cùng chiều. Khi hai lực vuông góc, hợp lực chỉ bằng 10 N chứ không phải 14 N. Cách tránh: bạn hãy xác định góc giữa hai lực trước khi tính — cùng chiều thì cộng, ngược chiều thì trừ, vuông góc thì dùng định lí Pythagore, góc bất kì thì dùng công thức đầy đủ với cos α.
Lỗi 2: Nhầm góc α với góc bù của nó.
Nhiều bạn lấy góc giữa hai lực là góc kề bù với góc thật — ví dụ hai lực hợp nhau 120 độ mà bạn lại dùng 60 độ. Cos của hai góc bù nhau đối nhau, nên đáp số sai hoàn toàn. Cách tránh: bạn hãy vẽ hai vectơ lực cùng xuất phát từ một điểm, góc giữa chúng là góc nhỏ hơn tạo bởi hai vectơ đó khi đặt chung gốc — luôn nằm trong khoảng từ 0 độ tới 180 độ. Bạn đừng lấy góc trong hình bình hành ở phía đối diện.
Lỗi 3: Quên rằng hợp lực là một vectơ, có cả độ lớn lẫn hướng.
Nhiều bạn tính xong độ lớn là dừng lại, dù đề bài hỏi cả hướng của hợp lực. Cách tránh: bạn hãy trả lời đủ hai phần — độ lớn bằng bao nhiêu niutơn và hợp lực hợp với lực nào một góc bao nhiêu độ, hoặc hợp lực cùng chiều với lực nào. Trong bài tập cơ bản, đề thường chỉ hỏi độ lớn, nhưng khi đề hỏi hướng thì bạn phải xác định thêm: hợp lực lệch về phía lực lớn hơn, và góc hợp với F1 thỏa mãn tan bằng F2 chia F1 trong trường hợp vuông góc.
Lỗi 4: Dùng quy tắc hình bình hành cho hai lực song song.
Nhiều bạn áp dụng quy tắc hình bình hành cho hai lực song song cùng chiều. Sai: hai lực song song không đồng quy — giá của chúng không cắt nhau — nên không dựng được hình bình hành. Trường hợp này phải dùng quy tắc tổng hợp hai lực song song cùng chiều: hợp lực bằng tổng hai lực và điểm đặt chia trong khoảng cách hai lực theo tỉ lệ nghịch với độ lớn. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra hai lực có đồng quy không trước khi chọn quy tắc — giá cắt nhau thì dùng hình bình hành, giá song song thì dùng quy tắc chia trong.
Lỗi 5: Tính sai cos của các góc đặc biệt.
Nhiều bạn nhớ nhầm cos 60 độ bằng căn 3 chia 2, hoặc cos 120 độ bằng 0,5 thay vì âm 0,5. Cách tránh: bạn hãy thuộc lòng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: cos 0 độ bằng 1, cos 30 độ bằng căn 3 chia 2, cos 45 độ bằng căn 2 chia 2, cos 60 độ bằng 0,5, cos 90 độ bằng 0, cos 120 độ bằng âm 0,5, cos 180 độ bằng âm 1. Một mẹo nhớ: cos giảm dần từ 1 xuống âm 1 khi góc tăng từ 0 độ lên 180 độ, nên cos của góc tù luôn âm — nếu bạn tính ra cos của góc 120 độ là số dương thì chắc chắn đã nhớ sai.
5. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định góc giữa hai lực trước khi chọn công thức, và kiểm tra đáp án có nằm trong khoảng từ hiệu tới tổng hai lực hay không.
Câu 1: Hai lực đồng quy F1 bằng 3 N và F2 bằng 4 N vuông góc nhau. Độ lớn của hợp lực bằng bao nhiêu?
A. 1 N
B. 5 N
C. 7 N
D. 12 N
Câu 2: Hai lực đồng quy F1 bằng 6 N và F2 bằng 6 N hợp với nhau một góc 120 độ. Độ lớn của hợp lực bằng bao nhiêu?
A. 0 N
B. 6 N
C. 12 N
D. 8,5 N
Câu 3: Hai lực đồng quy F1 bằng 9 N và F2 bằng 3 N cùng phương, cùng chiều. Độ lớn của hợp lực bằng bao nhiêu?
A. 6 N
B. 9 N
C. 12 N
D. 3 N
Câu 4: Hai lực đồng quy F1 bằng 8 N và F2 bằng 15 N cùng phương, ngược chiều. Hợp lực có độ lớn và chiều như thế nào?
A. 7 N, cùng chiều với F1
B. 7 N, cùng chiều với F2
C. 23 N, cùng chiều với F2
D. 0 N
Câu 5: Hai lực đồng quy có độ lớn F1 và F2. Độ lớn của hợp lực F thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. F luôn bằng F1 cộng F2
B. F luôn bằng trị tuyệt đối của F1 trừ F2
C. F nằm trong khoảng từ trị tuyệt đối của F1 trừ F2 tới F1 cộng F2
D. F luôn bằng 0
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | C | B | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (5 N) đúng: Hai lực vuông góc nên F² bằng F1² cộng F2² bằng 3² cộng 4² bằng 9 cộng 16 bằng 25, suy ra F bằng 5 N — đây là bộ ba Pythagore 3-4-5 quen thuộc. Đáp án A (1 N) sai vì 1 N bằng hiệu hai lực, chỉ đúng khi hai lực ngược chiều. Đáp án C (7 N) sai vì 7 N bằng tổng hai lực, chỉ đúng khi hai lực cùng chiều. Đáp án D (12 N) sai vì 12 N bằng tích hai lực, không có ý nghĩa vật lí gì ở đây.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (6 N) đúng: Cos 120 độ bằng âm 0,5. Bạn tính: F² bằng 6² cộng 6² cộng 2 nhân 6 nhân 6 nhân âm 0,5 bằng 36 cộng 36 trừ 36 bằng 36, suy ra F bằng 6 N. Đáp án A (0 N) sai vì hợp lực chỉ bằng 0 khi hai lực ngược chiều và bằng nhau, còn ở đây góc giữa hai lực là 120 độ chứ không phải 180 độ. Đáp án C (12 N) sai vì 12 N bằng tổng hai lực, chỉ đúng khi hai lực cùng chiều. Đáp án D (8,5 N) sai vì 8,5 gần bằng 6 nhân căn 2 — đó là kết quả khi góc là 90 độ, không phải 120 độ.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (12 N) đúng: Hai lực cùng chiều nên hợp lực bằng tổng hai lực: F bằng 9 cộng 3 bằng 12 N. Đáp án A (6 N) sai vì 6 N bằng hiệu hai lực, chỉ đúng khi hai lực ngược chiều. Đáp án B (9 N) sai vì đó chỉ là lực F1, bạn quên cộng thêm F2. Đáp án D (3 N) sai vì đó chỉ là lực F2, bạn quên cộng thêm F1.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (7 N, cùng chiều với F2) đúng: Hai lực ngược chiều nên hợp lực bằng hiệu hai lực: F bằng 15 trừ 8 bằng 7 N, cùng chiều với lực lớn hơn là F2. Đáp án A sai chiều: hợp lực cùng chiều với lực lớn hơn F2 chứ không phải F1. Đáp án C (23 N) sai vì 23 N bằng tổng hai lực, chỉ đúng khi hai lực cùng chiều. Đáp án D (0 N) sai vì hợp lực chỉ bằng 0 khi hai lực ngược chiều và bằng nhau, còn ở đây 8 N khác 15 N.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: Độ lớn hợp lực luôn nằm trong khoảng từ trị tuyệt đối của hiệu hai lực tới tổng hai lực, tùy thuộc vào góc giữa hai lực. Đáp án A sai vì F chỉ bằng tổng khi hai lực cùng chiều. Đáp án B sai vì F chỉ bằng hiệu khi hai lực ngược chiều. Đáp án D sai vì hợp lực chỉ bằng 0 trong trường hợp đặc biệt hai lực ngược chiều và bằng nhau.
6. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Hợp lực có thể nhỏ hơn từng lực thành phần không?
Đáp: Có. Khi hai lực hợp nhau một góc tù lớn, hợp lực có thể nhỏ hơn từng lực thành phần. Ví dụ hai lực bằng nhau hợp nhau góc 120 độ thì hợp lực bằng đúng một lực thành phần; nếu góc là 150 độ thì hợp lực còn nhỏ hơn nữa. Trường hợp cực đoan là hai lực ngược chiều và gần bằng nhau thì hợp lực gần bằng 0, nhỏ hơn rất nhiều so với từng lực. Vì vậy bạn đừng nghĩ hợp lực luôn lớn hơn lực thành phần — điều đó chỉ đúng khi góc giữa hai lực là góc nhọn.
Hỏi: Vì sao phải dùng quy tắc hình bình hành mà không cộng thẳng độ lớn?
Đáp: Vì lực là đại lượng vectơ, có cả độ lớn lẫn hướng. Cộng hai vectơ không giống cộng hai số — hướng của chúng quyết định kết quả. Hai lực cùng chiều thì cộng lại, hai lực ngược chiều thì trừ nhau, hai lực vuông góc thì hợp lại theo định lí Pythagore. Quy tắc hình bình hành chính là cách cộng vectơ bằng hình học, và công thức F² bằng F1² cộng F2² cộng 2 F1 F2 cos α là cách cộng vectơ bằng đại số. Cả hai cho cùng một kết quả.
Hỏi: Ba lực đồng quy cân bằng nhau khi nào?
Đáp: Khi hợp lực của chúng bằng không, tức là đa giác lực khép kín. Điều kiện này tương đương với: hợp lực của hai lực bất kì trong ba lực phải cân bằng với lực thứ ba — tức là bằng nhau về độ lớn, ngược chiều và cùng giá. Ví dụ một vật treo bằng hai sợi dây: trọng lực của vật cân bằng với hợp lực của hai lực căng dây. Bạn hãy nhớ: vật đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều thì hợp lực tác dụng lên nó bằng không — đây là điều kiện cân bằng mà bạn sẽ dùng rất nhiều trong chương Động lực học.
Hỏi: Phân tích lực là gì, có liên quan gì tới tổng hợp lực?
Đáp: Phân tích lực là phép ngược lại của tổng hợp lực: thay một lực bằng hai hay nhiều lực thành phần có tác dụng tương đương. Ví dụ trọng lực của vật trên mặt phẳng nghiêng được phân tích thành hai thành phần: một thành phần song song với mặt phẳng kéo vật trượt xuống, một thành phần vuông góc với mặt phẳng ép vật vào mặt phẳng. Tổng hợp và phân tích là hai phép toán ngược nhau, giống như cộng và trừ — bạn phải thành thạo cả hai mới giải được các bài toán động lực học.
Hỏi: Góc α trong công thức là góc nào?
Đáp: Góc α là góc hợp bởi hai vectơ lực khi chúng được đặt chung gốc — tức là góc nhỏ hơn tạo bởi hai giá của hai lực tại điểm đồng quy, luôn nằm trong khoảng từ 0 độ tới 180 độ. Bạn đừng nhầm với góc trong của hình bình hành ở phía đối diện, vì hai góc đó bù nhau và có cos đối nhau. Khi vẽ hình, bạn hãy đặt hai vectơ lực cùng xuất phát từ một điểm rồi đo góc giữa chúng — đó chính là α trong công thức.
7. Kết luận
Tổng hợp hai lực đồng quy chỉ gói gọn trong quy tắc hình bình hành và công thức F² bằng F1² cộng F2² cộng 2 nhân F1 nhân F2 nhân cos α. Bạn nhớ ba điều: cùng chiều thì cộng, ngược chiều thì trừ, vuông góc thì dùng định lí Pythagore — và với góc bất kì thì dùng công thức đầy đủ. Bạn cũng nhớ rằng hợp lực luôn nằm trong khoảng từ hiệu tới tổng hai lực, và khi có nhiều lực thì dùng quy tắc đa giác lực hoặc phân tích thành phần theo hai trục. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tìm hợp lực trong mọi bài toán lớp 10, từ kéo co trên sân trường tới tính lực căng dây treo một vật nặng. Bạn hãy nhìn hai người cùng khiêng một tấm ván: lực mà tấm ván nhận được không phải là tổng đơn thuần của hai lực khiêng, mà là hợp lực của chúng — và bây giờ bạn đã biết tính nó chính xác.