Vì sao công cụ đổi thứ tự các phương trình?

Đổi dòng giúp chọn hệ số trụ phù hợp, đặc biệt khi hệ số tại vị trí đang xét bằng 0. Đây là phép biến đổi tương đương.

Hệ ba ẩn có thể có đúng hai nghiệm không?

Một hệ tuyến tính trên số thực chỉ có thể vô nghiệm, có một nghiệm hoặc có vô số nghiệm; không có đúng hai nghiệm phân biệt.

Hệ có định thức bằng 0 có giải được không?

Có thể phân loại bằng khử Gauss. Nếu xuất hiện dòng mâu thuẫn thì vô nghiệm; nếu không có mâu thuẫn và có ẩn tự do thì vô số nghiệm.

Tôi có thể nhập phân số vào hệ số không?

Có. Nhập dạng 1/2 hoặc -3/4. Kết quả được tính bằng số thực và hiển thị xấp xỉ khi cần.

Làm sao kiểm tra nghiệm của hệ 3 ẩn?

Thế nghiệm vào từng phương trình ban đầu, tính vế trái rồi so sánh với vế phải. Công cụ hiển thị sai số dư cho nghiệm duy nhất.

Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn – Miễn phí, có hướng dẫn

Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn: công thức và cách sử dụng

Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn gồm 3 phương trình tuyến tính cùng chứa các ẩn cần tìm. Công cụ trên trang này đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang rút gọn bằng phép biến đổi sơ cấp. Mỗi lần đổi dòng, chia dòng hoặc khử một hệ số đều được ghi lại để bạn có thể tự làm lại trên giấy.

Công thức và nguyên lý

\[\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}\]

Hướng dẫn từng bước

Đưa mỗi phương trình về cùng thứ tự ẩn và chuyển hằng số sang vế phải. Hệ số của ẩn vắng mặt phải nhập là 0.
Nhập đủ 3 dòng hệ số. Cột cuối cùng là hằng số sau dấu bằng; có thể nhập số thập phân hoặc phân số như 1/2.
Chọn Giải hệ. Theo dõi phần tử trụ, các phép đổi dòng và khử cột trong lời giải.
Đọc kết luận: dòng 0 = số khác 0 cho biết hệ vô nghiệm; thiếu phần tử trụ thì có ẩn tự do; đủ trụ thì có nghiệm duy nhất.
Thế từng nghiệm vào các phương trình ban đầu. Sai số nhỏ có thể xuất hiện do phép tính số thực.

Ví dụ có lời giải

x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2. Lấy dòng 2 trừ 2 lần dòng 1 và dòng 3 trừ dòng 1, ta có −3y − z = −9 và y − 2z = −4. Giải tiếp được z = 3, y = 2, x = 1.

Từ ba phương trình đến ma trận mở rộng

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn xuất hiện khi cần xác định đồng thời ba đại lượng, chẳng hạn giá của ba loại hàng hoặc ba thành phần trong một hỗn hợp. Mỗi dòng cung cấp một quan hệ tuyến tính; ba phương trình không tự động bảo đảm có duy nhất ba giá trị nếu dữ kiện phụ thuộc nhau.

Viết các ẩn theo thứ tự x,y,z trong cả ba phương trình. Cột thứ tư chỉ chứa hằng số vế phải, không phải hệ số của ẩn thứ tư. Với phương trình 2x+z=5, cần điền 2,0,1,5. Nếu quên số 0 ở cột y, các hệ số sẽ gắn sai ẩn và máy tính đang giải một bài toán khác.

\[[A\mid b]=\left[\begin{array}{rrr|r}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\a_3&b_3&c_3&d_3\end{array}\right]\]

Khử Gauss theo thứ tự cột và thế ngược

Đầu tiên chọn một dòng có hệ số x khác 0 làm dòng trụ, rồi khử x ở các dòng còn lại. Trong phần hệ còn lại, tiếp tục chọn hệ số y làm trụ để khử y ở dòng cuối. Nếu thu được phương trình chỉ chứa z với hệ số khác 0, có thể tìm z rồi thế ngược để lần lượt tìm y và x.

Gauss–Jordan đi thêm một bước: khử cả những hệ số nằm phía trên trụ để phần ma trận hệ số trở thành ma trận đơn vị khi hệ có nghiệm duy nhất. Nhờ vậy, ba hằng số ở cột cuối chính là x,y,z. Công cụ có thể đổi dòng để chọn trụ phù hợp; thứ tự phương trình thay đổi nhưng tập nghiệm không đổi.

\[[A\mid b]\sim\left[\begin{array}{rrr|r}1&0&0&x_0\\0&1&0&y_0\\0&0&1&z_0\end{array}\right]\]

Đọc hạng ma trận và ẩn tự do

Hạng của ma trận hệ số là số cột có phần tử trụ sau khi khử. Nếu hạng bằng 3 và hệ tương thích, mỗi ẩn đều được xác định. Nếu hạng nhỏ hơn 3 nhưng không có dòng mâu thuẫn, hệ có ít nhất một ẩn tự do; các nghiệm phải được mô tả bằng tham số thay vì một bộ ba riêng lẻ.

Trong không gian, mỗi phương trình không suy biến biểu diễn một mặt phẳng. Ba mặt phẳng có thể giao tại một điểm, một đường thẳng, trùng nhau hoặc không có giao chung. Hai cặp mặt phẳng có giao riêng không đủ để chứng minh cả ba cùng có nghiệm. Cần xét toàn bộ ma trận mở rộng.

\[\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=r<3\Rightarrow\text{có }3-r\text{ ẩn tự do}\]

Giữ phép tính gọn và kiểm tra kết quả

Khi làm tay, hãy ưu tiên phép khử tạo ra hệ số nguyên nhỏ. Có thể nhân hai dòng trước khi trừ để tránh phân số xuất hiện quá sớm. Tuy nhiên, không được chia một dòng cho 0 hoặc chỉ biến đổi một số hạng mà quên các số hạng còn lại và vế phải.

Sau khi tìm được bộ ba nghiệm, tính lại cả ba vế trái. Với dữ liệu đo lường làm tròn, cần phân biệt sai số số học của máy với sai số đã có trong dữ kiện. Nếu thay đổi một hệ số rất nhỏ mà nghiệm thay đổi lớn, hệ có thể gần suy biến; nên thận trọng khi diễn giải kết quả thực tế.

Bài tập minh họa và cách tự kiểm tra

1. Giải mẫu ba ẩn

Khử x bằng R₂−2R₁ và R₃−R₁, ta được −3y−z=−9 và y−2z=−4. Từ đó z=3, y=2; thay vào x+y+z=6 suy ra x=1.

\[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\Rightarrow(x,y,z)=(1,2,3)\]

2. Nhận diện một ẩn tự do

Nếu sau khử chỉ còn hai phương trình độc lập x+z=4 và y−z=1, đặt z=t rồi biểu diễn x và y theo t. Đừng tự gán z=0 và coi đó là nghiệm duy nhất.

\[(x,y,z)=(4-t,1+t,t),\quad t\in\mathbb{R}\]

Lưu ý và lỗi thường gặp

Không chia cho hệ số bằng 0. Đừng kết luận vô nghiệm chỉ vì định thức bằng 0: hệ còn có thể có vô số nghiệm. Công cụ dành cho hệ tuyến tính với hệ số thực; không nhập x², xy hoặc tham số chưa biết vào ô hệ số.

Cần thực hiện thêm phép tính khoa học hoặc luyện thao tác Casio? Hãy thử máy tính online với giao diện Casio, các chế độ tính toán và nhiều hàm hỗ trợ học tập.

Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Bắt đầu với bài toán của bạn