Vì sao nguyên hàm phải có C?

Các hàm chỉ khác nhau một hằng số có cùng đạo hàm trên khoảng đang xét. C biểu diễn toàn bộ họ nguyên hàm.

Có thể nhập cận pi hoặc pi/2 không?

Có. Các ô cận nhận biểu thức hằng số. Hàm lượng giác sử dụng radian, vì vậy pi và pi/2 thường là lựa chọn phù hợp.

Công cụ có miễn phí và cần đăng nhập không?

Bạn có thể sử dụng trực tiếp miễn phí trên trình duyệt, không cần đăng nhập hoặc cài ứng dụng.

Dữ liệu nhập được xử lý ở đâu?

Phép tính của công cụ này chạy trong trình duyệt. Không cần gửi nội dung bài toán lên máy chủ để tính kết quả.

Máy tính tích phân online – Miễn phí, có hướng dẫn

Máy tính tích phân online: công thức và cách sử dụng

Tích phân xác định tính tổng tích lũy của một hàm trên đoạn [a,b]. Công cụ dùng Simpson thích nghi, so sánh các lần chia nhỏ để ước lượng sai số. Chế độ nguyên hàm hỗ trợ các dạng cơ bản được nêu bên dưới.

Công thức và nguyên lý

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F\prime(x)=f(x)\]

Hướng dẫn từng bước

Chọn tích phân xác định hoặc nguyên hàm cơ bản.
Nhập hàm theo x, dùng * và ^; lượng giác theo radian.
Với tích phân xác định, điền hai cận hữu hạn a và b.
Xem kết quả, phương pháp và ước lượng sai số; kiểm tra miền xác định trên cả đoạn.

Ví dụ có lời giải

∫ từ 0 đến 1 của x² dx = [x³/3] từ 0 đến 1 = 1/3. Nguyên hàm của sin(x) là −cos(x) + C.

Phân biệt nguyên hàm và tích phân xác định

Nguyên hàm là một hàm F có đạo hàm bằng hàm đã cho trên khoảng đang xét. Do đạo hàm của hằng số bằng 0, họ nguyên hàm phải kèm hằng số C. Tích phân xác định trên đoạn [a,b] lại là một giá trị số; không viết thêm C vào kết quả cuối của phép tính này.

Công cụ có hai chế độ riêng. Chế độ nguyên hàm dùng bảng các dạng cơ bản như tổng đa thức, sin(x), cos(x), exp(x) và 1/x. Chế độ xác định có thể tính số cho nhiều biểu thức hơn, nhưng yêu cầu hàm thích hợp trên toàn đoạn. Không tìm được nguyên hàm bằng chế độ cơ bản không đồng nghĩa tích phân xác định không tồn tại.

\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)\]

\[\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C\quad(x\ne0)\]

Ý nghĩa diện tích có dấu và cách chọn cận

Tích phân của một hàm trên đoạn được hiểu là diện tích có dấu khi các điều kiện thích hợp được thỏa mãn. Phần đồ thị phía dưới trục hoành đóng góp giá trị âm. Vì vậy, tích phân có thể bằng 0 dù hình phẳng giữa đồ thị và trục hoành có diện tích dương.

Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân. Nếu cần tính diện tích hình phẳng, phải xét dấu của hàm hoặc tích phân giá trị tuyệt đối, đồng thời có thể chia đoạn tại các nghiệm. Không lấy giá trị tuyệt đối của tích phân tổng khi hàm đổi dấu, vì các phần dương và âm đã có thể triệt tiêu nhau.

\[\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx\]

\[S=\int_a^b |f(x)|\,dx\]

Phương pháp Simpson thích nghi hoạt động như thế nào?

Simpson xấp xỉ hàm trên một đoạn bằng một đa thức bậc hai qua ba điểm lấy mẫu. Thay vì chia đều thành một số đoạn cố định, cách thích nghi so sánh xấp xỉ trên cả đoạn với tổng xấp xỉ trên hai nửa. Những vùng có chênh lệch lớn được chia nhỏ thêm.

Ước lượng sai số được hiển thị là một chỉ báo của thuật toán dựa trên các mẫu đã tính, không phải chứng nhận rằng mọi điểm trong đoạn đều hợp lệ. Hàm dao động rất nhanh, vùng biến thiên hẹp hoặc điểm kỳ dị không rơi vào mẫu có thể gây khó khăn. Khi kết quả chưa hội tụ, hãy kiểm tra miền xác định thay vì chỉ tăng số chữ số hiển thị.

\[S(a,b)=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]\]

Các trường hợp không nên dùng trực tiếp tích phân số

Biểu thức 1/x trên đoạn chứa 0 có điểm gián đoạn; không được coi các giá trị hai bên triệt tiêu để kết luận tích phân thông thường bằng 0. Những bài có cận vô hạn, hàm không bị chặn hoặc điểm gián đoạn cần xét tích phân suy rộng bằng giới hạn. Công cụ hiện tại không thay thế bước phân tích này.

Để tự kiểm tra một nguyên hàm, lấy đạo hàm của kết quả và so sánh với hàm ban đầu trên miền hợp lệ. Với tích phân xác định có nguyên hàm quen thuộc, dùng công thức Newton–Leibniz để kiểm tra chéo. Giữ phân số hoặc biểu thức chính xác đến bước cuối giúp tránh sai số làm tròn không cần thiết.

Bài tập minh họa và cách tự kiểm tra

1. Tích phân đa thức trên đoạn đơn vị

Nguyên hàm của x² là x³/3. Thay cận trên rồi trừ giá trị ở cận dưới cho kết quả 1/3; máy tính số hiển thị một giá trị xấp xỉ của phân số này.

\[\int_0^1 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac13\]

2. Diện tích và tích phân có thể khác nhau

Trên đoạn [−1,1], hàm f(x)=x đổi dấu tại 0. Tích phân có dấu bằng 0, trong khi hai tam giác ở hai phía trục có tổng diện tích bằng 1.

\[\int_{-1}^1 x\,dx=0,\qquad\int_{-1}^1|x|\,dx=1\]

Lưu ý và lỗi thường gặp

Tích phân số chỉ phù hợp với hàm liên tục, đủ trơn trên đoạn. Không dùng cho tích phân suy rộng hoặc đoạn đi qua điểm gián đoạn; thuật toán lấy mẫu không bảo đảm phát hiện mọi điểm kỳ dị. Nguyên hàm cơ bản hỗ trợ tổng đa thức số mũ nguyên không âm, sin(x), cos(x), exp(x) và 1/x.

Cần thực hiện thêm phép tính khoa học hoặc luyện thao tác Casio? Hãy thử máy tính online với giao diện Casio, các chế độ tính toán và nhiều hàm hỗ trợ học tập.

Máy tính tích phân online

Bắt đầu với bài toán của bạn