Tính tổ hợp, chỉnh hợp và xác suất: công thức và cách sử dụng
Tổ hợp dùng khi chọn các phần tử mà không quan tâm thứ tự. Chỉnh hợp dùng khi thứ tự làm thay đổi kết quả. Xác suất cổ điển áp dụng cho không gian mẫu hữu hạn gồm các kết quả đồng khả năng.
Công thức và nguyên lý
Hướng dẫn từng bước
- Chọn tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị hoặc xác suất.
- Nhập n và k là các số nguyên không âm, k ≤ n.
- Với xác suất, nhập số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả đồng khả năng.
- Xem công thức và kết quả; tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị được tính bằng số nguyên chính xác.
Ví dụ có lời giải
Phân biệt tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị
Tổ hợp đếm cách chọn một nhóm khi thứ tự không tạo ra kết quả mới. Chọn An và Bình vào cùng một nhóm là một lựa chọn, dù gọi tên An trước hay Bình trước. Chỉnh hợp đếm cách chọn rồi sắp vào các vị trí có phân biệt; An làm trưởng nhóm và Bình làm thư ký khác với việc đổi hai vai trò.
Hoán vị là sắp thứ tự toàn bộ n phần tử phân biệt. Nó cũng là trường hợp k=n của chỉnh hợp không lặp. Trước khi bấm tính, hãy tự hỏi đổi chỗ hai phần tử có tạo ra một kết quả khác hay không và một phần tử có được dùng nhiều lần hay không. Công cụ hiện tại hỗ trợ chọn không lặp.
Giai thừa, miền giá trị và các trường hợp biên
Giai thừa n! là tích các số nguyên từ 1 đến n; quy ước 0!=1 làm các công thức đếm hoạt động nhất quán ở trường hợp rỗng. Có đúng một cách chọn không phần tử từ một tập, và có đúng một cách chọn toàn bộ phần tử nếu không xét thứ tự. Do đó C(n,0)=C(n,n)=1.
Các tham số n và k phải là số nguyên không âm, k không vượt quá n. Công cụ giới hạn n đến 2000 để giữ thời gian tính phù hợp trên trình duyệt. Kết quả dùng số nguyên lớn, tránh mất chữ số của những tổ hợp rất lớn; không nên chuyển ngay kết quả đếm đó thành số thực nếu vẫn cần độ chính xác nguyên.
Xác suất cổ điển đòi hỏi đồng khả năng
Tỉ số số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả chỉ áp dụng trực tiếp khi mọi kết quả sơ cấp trong không gian mẫu có xác suất bằng nhau. Một xúc xắc cân đối có thể tạo không gian mẫu gồm sáu mặt đồng khả năng. Nếu xúc xắc bị lệch, chỉ biết số mặt thuận lợi chưa đủ để tính xác suất theo tỉ số đếm.
Không gian mẫu phải được mô tả nhất quán. Khi tung hai đồng xu, các kết quả có thứ tự NN, NS, SN, SS là bốn kết quả sơ cấp trong mô hình cân đối độc lập. Ba nhãn “không có sấp, một sấp, hai sấp” không đồng khả năng, nên không thể lấy 1/3 làm xác suất có đúng một mặt sấp.
Quy tắc cộng, nhân và giới hạn của bộ tính
Quy tắc cộng xác suất cần xét phần giao của hai biến cố để tránh đếm trùng. Với hai biến cố độc lập, xác suất cùng xảy ra bằng tích hai xác suất, nhưng độc lập phải xuất phát từ mô hình hoặc giả thiết, không được suy ra chỉ từ tên gọi hai biến cố khác nhau.
Bộ tính ở trên giúp đếm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị và tính tỉ số cổ điển. Nó không tự phân tích một đề văn thành không gian mẫu, không suy luận tính độc lập và chưa hỗ trợ chọn lặp bằng một chế độ riêng. Với bài nhiều bước, hãy viết rõ mô hình đếm trước, rồi dùng từng phép tính để kiểm tra.
Bài tập minh họa và cách tự kiểm tra
1. Chọn hai đại diện và phân công hai chức vụ
Từ 5 bạn, chọn một nhóm 2 người có C(5,2)=10 cách. Nếu phân biệt trưởng nhóm và thư ký, mỗi nhóm có 2 cách phân vai nên số cách là 20.
2. Hai lần tung đồng xu cân đối độc lập
Trong bốn kết quả có thứ tự, NS và SN chứa đúng một mặt sấp. Do đó số kết quả thuận lợi là 2, tổng số là 4, xác suất bằng 1/2.
Lưu ý và lỗi thường gặp
Không dùng công thức xác suất cổ điển nếu các kết quả không đồng khả năng. Công cụ tổ hợp/chỉnh hợp xét chọn không lặp.