Dùng 2*x để phép nhân được nhận diện rõ. Dùng ^ cho lũy thừa và ngoặc tròn để gom đối số, ví dụ sin(x^2).

Kết quả nhiều ngoặc có sai không?

Không nhất thiết. Công cụ ưu tiên biểu thức đạo hàm đúng cấu trúc; các biểu thức tương đương có thể có cách viết khác nhau và chưa được rút gọn hoàn toàn.

Công cụ có miễn phí và cần đăng nhập không?

Bạn có thể sử dụng trực tiếp miễn phí trên trình duyệt, không cần đăng nhập hoặc cài ứng dụng.

Dữ liệu nhập được xử lý ở đâu?

Phép tính của công cụ này chạy trong trình duyệt. Không cần gửi nội dung bài toán lên máy chủ để tính kết quả.

Máy tính đạo hàm online – Miễn phí, có hướng dẫn

Máy tính đạo hàm online: công thức và cách sử dụng

Đạo hàm mô tả tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. Máy tính phân tích biểu thức thành các phép toán rồi áp dụng quy tắc tổng, tích, thương và hàm hợp; không dùng hiệu sai phân để thay thế công thức đạo hàm.

Công thức và nguyên lý

\[(u+v)\prime=u\prime+v\prime,\quad(uv)\prime=u\prime v+uv\prime,\quad\left(\frac uv\right)\prime=\frac{u\prime v-uv\prime}{v^2}\]

Hướng dẫn từng bước

Nhập biểu thức theo biến x, dùng dấu * cho phép nhân, ^ cho lũy thừa.
Có thể dùng sin, cos, tan, exp, ln, sqrt và ngoặc tròn; lượng giác tính theo radian.
Nhập điểm x₀ nếu cần tính giá trị đạo hàm tại đó.
Bấm tính và đối chiếu các quy tắc áp dụng trong lời giải.

Ví dụ có lời giải

f(x) = x^3 + 2*x. Áp dụng quy tắc lũy thừa và tổng: f′(x) = 3x² + 2. Tại x = 2, f′(2) = 14.

Đạo hàm biểu thị điều gì?

Đạo hàm tại một điểm đo tốc độ thay đổi tức thời của giá trị hàm khi biến đầu vào thay đổi. Trong hình học, đó là hệ số góc của tiếp tuyến nếu tiếp tuyến có hệ số góc hữu hạn. Trong chuyển động, nếu s(t) là quãng đường có hướng theo thời gian thì s′(t) là vận tốc tức thời, với đơn vị phụ thuộc vào đơn vị của s và t.

Giá trị f(x₀) và f′(x₀) có ý nghĩa khác nhau. Hàm có thể đạt giá trị lớn nhưng đang thay đổi chậm, hoặc có giá trị nhỏ nhưng đang tăng rất nhanh. Khi nhập điểm x₀ vào máy tính, kết quả đạo hàm tại điểm được lấy từ biểu thức đạo hàm vừa xây dựng, không phải giá trị của hàm ban đầu.

\[f\prime(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\]

Nhận diện cấu trúc trước khi chọn quy tắc

Trước tiên tìm phép toán nằm ngoài cùng của biểu thức. Với x²·sin(x), phép toán ngoài cùng là phép nhân nên dùng quy tắc tích. Với sin(x²), phép toán ngoài cùng là hàm sin áp dụng cho x² nên dùng quy tắc hàm hợp. Hai biểu thức này cần hai cách tính khác nhau dù chứa các thành phần giống nhau.

Công cụ phân tích biểu thức thành cây phép toán và áp dụng quy tắc tương ứng. Khi thấy nhiều dấu ngoặc trong kết quả, bạn có thể rút gọn đại số sau khi kiểm tra các điều kiện xác định. Đừng rút gọn bằng cách triệt tiêu các biểu thức có thể bằng 0 mà quên ghi điều kiện.

\[\frac{d}{dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2)\]

\[\frac{d}{dx}\bigl(x^2\sin x\bigr)=2x\sin x+x^2\cos x\]

Bảng đạo hàm cơ bản và điều kiện

Quy tắc lũy thừa áp dụng trực tiếp với số mũ hằng; nếu cả cơ số lẫn số mũ đều chứa x, cần công thức tổng quát hơn. Với x^x trên miền x>0, có thể viết thành exp(x·ln(x)) rồi dùng hàm hợp. Kết quả không phải chỉ là x·x^(x−1), vì số mũ cũng đang thay đổi.

Hàm ln(x) trên số thực đòi hỏi x>0; sqrt(x) có giá trị tại x=0 nhưng không có đạo hàm hữu hạn ở điểm đó. Các công thức đạo hàm lượng giác quen thuộc giả sử góc tính theo radian. Nếu bài dùng độ, phải chuyển đơn vị hoặc đưa hệ số đổi đơn vị vào phép đạo hàm.

\[(\sin x)\prime=\cos x,\quad(\cos x)\prime=-\sin x,\quad(e^x)\prime=e^x\]

\[(\ln x)\prime=\frac1x\ (x>0),\quad(\sqrt x)\prime=\frac1{2\sqrt x}\ (x>0)\]

Dùng đạo hàm để viết tiếp tuyến và xét biến thiên

Khi biết điểm x₀ thuộc miền xác định và đạo hàm hữu hạn, tiếp tuyến đi qua điểm (x₀,f(x₀)) với hệ số góc f′(x₀). Hãy tính riêng giá trị hàm và đạo hàm rồi thay vào phương trình tiếp tuyến. Đây là một cách thực hành hữu ích sau khi máy tính cho kết quả.

Để xét tăng giảm trên một khoảng, cần xác định dấu của đạo hàm trên khoảng đó, không chỉ tại một điểm. Nghiệm f′(x)=0 là điểm cần xét, chưa tự động là cực trị. Bạn còn phải kiểm tra sự đổi dấu hoặc dùng điều kiện phù hợp. Công cụ này tính đạo hàm; không tự lập đầy đủ bảng biến thiên.

\[y=f(x_0)+f\prime(x_0)(x-x_0)\]

Bài tập minh họa và cách tự kiểm tra

1. Đạo hàm đa thức và tiếp tuyến

Với f(x)=x³+2x, đạo hàm là 3x²+2. Tại x₀=2, ta có f(2)=12 và f′(2)=14, nên tiếp tuyến là y=12+14(x−2).

\[f\prime(2)=14,\qquad y=14x-16\]

2. Đạo hàm thương

Đặt u=x và v=x+1, ta có u′=v′=1. Áp dụng quy tắc thương rồi rút gọn tử số, thu được kết quả dưới đây với điều kiện x khác −1.

\[\left(\frac{x}{x+1}\right)\prime=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac1{(x+1)^2}\]

Lưu ý và lỗi thường gặp

Đạo hàm chỉ có ý nghĩa trên miền xác định thích hợp. ln(x) cần x > 0; mẫu số phải khác 0. Biểu thức kết quả có thể chưa được rút gọn hoàn toàn.

Cần thực hiện thêm phép tính khoa học hoặc luyện thao tác Casio? Hãy thử máy tính online với giao diện Casio, các chế độ tính toán và nhiều hàm hỗ trợ học tập.

Máy tính đạo hàm online

Bắt đầu với bài toán của bạn